第十讲：无穷等比数列的所有项的和(教师)
钱塘湖春行-
第十讲：无穷等比数列的所有项的和
问题
1
：
边长为
1
的正方形可以分割为：
1
2
1
1
1
...
，显然，无限的加下去的面积
4
8
16
n
无限趋近于
1
< br>，即极限为
1
；
1
是如何才能求出呢？
1
1
1
2
2
1
1
< br>1
先求等比数列
,
,
,...
的前
n
项和
S
n
1
2
4
8
1
2
< br>
n
1
1
,
(
S
n
也是数列<
/p>
)
2
1
n
则
lim
S
n
lim
1
1
< br>。
n
n
2
问题
2
、无限循环小数
0.9
0.999....
0.9
0.09
< br>
0.009
0.0009<
/p>
...
就是
等比数列
0.9,0.09,0.009,0.0009,...
的每一项一直无限的加下去，
该等比数列的前
n
项的和为
.
1
0.9[1
]
2
3
n
1
1
1
1
10
S
n
9
9
9
...
9
< br>
1
10
10
10
10
1
1
0
1
<
/p>
1
10
.
n
n
1
n
< br>于是把
0.9
看作
S
n
当
n
时的极限，即
0.9
lim
S
n
lim
1
1
，因此
n
n
10
.
0.9
1
。
上述两个问题有共同的特征：
都是无穷等比数列，
且它
们的公比
q
的绝对值都小于
1
。
下面，我们来讨论一般无穷等比数列的前
n<
/p>
项和的极限。
【知识结构】
设等比数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
(
a
1
< br>0)
，公比为
q
(
q
0)
，其前
n
项和为
S
n
，则
.
na
1
,
q
1,
S
n
< br>
a
1
[1
q
n
]
（
1
）当
q
1
时，
li
m
S
n
li
m
(
a
1
n<
/p>
),
a
1
0
无极限；
n<
/p>
n
<
/p>
1
q
,
q
1;
a
1
(1
q
n
)
a
a
lim
1
lim
(1
q
n
)
< br>1
；
（
2
）当
0
|
q
|
1<
/p>
时，
lim
S
n
lim
1
q
1
q
n
n
n
1
q
n
a
1
[1
(
1)
n
]
a
lim
1
lim
[1
(
1)
n
]
无极限；
（
3
）当
q
1
时，
lim
S
n
lim
1
(
1)
n
n
n
2
n
a
1
< br>(1
q
n
)
a
lim
1
lim
(1
< br>
q
n
)
无极限。
（
4
）当
q
1
或
q
1
时，
lim
S
n
lim
1
q
n
n
n
1
q
n
<
/p>
我们把
0
<
/p>
q
1
的无穷等
比数列的前
n
项和
S
< br>n
当
n
时的极限叫做
无穷等比数
列各项的
和
（即无穷等比数列所有项的和）
，并用符号
< br>S
表示，即
S
a
1
(0
< br>q
1)
。
1
q
理解：
（
1
）
a
1
a
2<
/p>
a
3
...
lim
[<
/p>
a
1
a
2
a
3
...
a
n
]
lim
S
n
n
n
a
1
S
,(0
|
q
|
1)
；
1
q
（
2
）
任何等比数列都有
a
1
的值，只有
0
q
1
时才有无穷等比数列的所有项的和这
1
q
个意义。
【典型例题】
例
1
、化循环小数为分数
0.29
29
;
..
..
1
0.
01
99
（
2
）
0.13
(1)0.29
；
..
0.13
13<
/p>
(2)0.13
0.13
0.0013
0.00
0013
...
< br>
1
0.01
99
(1)0.29
0.2
9
0.0029
< br>0.000029
...
<
/p>
..
1
1
1
1
L
n
4
2
4
2
< br>。
例
2
、
（
1
）
l
im
n
1
1
1
3
1
<
/p>
L
n
3
9
3
（
2
）等比数列
{
a
n
}
的公比为
a
a
2
...
a
n
1
。
，则
lim
1
3<
/p>
n
a
2
a
4
...
a
2
n
分析：原式
lim
(
a
1
a
2
...
a
n
)
n
lim
(
a
2
a
4
...
a
2
n
)
n
< br>2.