《无穷等比数列各项的和》教案
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《无穷等比数列各项的和》教案
教学目标：
知识与技能：
1
．理解无穷等比数列各项和的定义，掌握无穷等比数列各项和的公式；
2
．会利用无穷等比数列各项和的方法与公式，初步解决一些简单的问题；
过程与方法：
1
．经历由无穷等比数列前
n
项和
求各项和的过程，体会用极限的思想来解决无穷等
比数列的求和问题；
< br>
2
．体会有限和无限的区别和联系、感悟用有限刻划无
限的极限思想和由已知认识未
知的数学思想。
情感态度与价值观：
1
．通过提问、思考、探索、讨论、交流等形式培养学生的合作能力和探究能力；
2
．引导学生会从数学角度发现和提出问题解决问
题，调动学生的数学学习积极性。
教学重点与难点：
重点：
无穷等比数列各项和的定义及无穷等比数列各项和公式的推导；
难点：
无穷等比数列各项和公式的推导及极限思想在求无穷等比数列
各项的和中的
应用。
教学过程：
一、
复习引入
（一）复习：
1
、极限的运算法则；
2
、常用数列的极限：
（二）引入：一瓶水，每次喝掉其中的一半，永远也喝不完？
试从数学的角度来解释：
（
1
）
如图：
边长为<
/p>
1
的正方形
ABCD
中，
S
1
1
1
1
1
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
S
n
< br>n
2
4
8
16
2
如此无限做下去，这些小矩
形的面积和等于大正方形的面积
（
2
）极限的思想：
：
，
，
，
，
n
，
<
/p>
可得数列
a
n
引出课题：
无穷等比数列各项的和
<
/p>
1
2
1
4
1
8
1
2
二、概念形成
探究一：
猜测
发现一
：
我
们可以把无穷等比数列
．．．．．．
1
1
1
1
<
/p>
n
1
，为什么？
2
4
8
2
1
各项的和
看作是其前
n
项和
S<
/p>
n
当
n
时的极限；即
n
．．．．
2
S
lim
S
n
n
<
/p>
探究二：
无
穷等比数列前
n
项和的极限是否一定存在？若存在，极限是什么
？
发现二：
当且仅当公比
q
满足
：
<
/p>
0
q
1
时，无穷等比数列
a
n
前
n
项和的极限存在。
定义：
我们把公比
q
1
的无穷等比数列前
n
项和
S
n
当
n
时的极限叫做无穷等比数列各<
/p>
．．．．．．．
项的和
，并用符号
S
表示，即
S
lim
S
n
．．．
n
公式：
S
a
1
(
0
q
1
)
1
< br>q
注意：
①
< br>无穷等比数列前
n
项和
S
n
与它的各项和
S
的
区别与联系。
②求和前提：无穷递缩等比数列：
0
q
< br>1
,
三、简单应用
例
1:
求
l
im
[
n
1
3
1
1
1
(
1
)
n
1
< br>
n
]
9
27
3
例
2
：
试利
用求和公式化循环小数为分数：
0
.
3
1
；
四、小结
：
（
1
）无穷
等比数列各项的和有哪些等价的表达方式？
a
1
(
1
q
n
)
a
S
a
1
<
/p>
a
2
a
n
lim
a
1
a
2
a
n
lim
S
n
lim
1
(
0
q
1<
/p>
)
n
n
n
1
q
1
q
（
2
）通过本节课的学习，你有哪些收获？
五、作业：
1
、求下列无穷等比数列各项的和：