等差等比数列知识点梳理和经典例题
关于读书的名人名言-
.
.
A
、<
/p>
等差数列知识点及经典例题
一
、
数列
<
/p>
由
a
n
与
S
n
的关系求
a
n
由
S
n
求
a
n
时
，
要分
n=1
和
n
≥
2
两种情况讨论
，
然后验证两种情况可否用统一的解析式
表示
，
若不能
，
则用分段
函数的形式表示为
a
S
1
(
n
1)
n
。
S
n
S
n
1
(
n
2)
〖例〗
根据下列条件
，
确定数列
a
n
的通项公式
。
分析
：
（
1
）
可用构造等比数列法求解
；
（
2
）
可转化后利用累乘法求解<
/p>
；
（
3
）
将无理问题有理化
，
而后利用
a
n
与
S
n
的关系求解
。
解答
：
（
< br>1
）
（
2
）
…
…
累
乘
故
（
3
）
eord
完美格式
可
得
，
.
.
<
/p>
二
、
等差数列及其前
n
项和
（
一
）
等差数列的判定
1
、
等差数列的判定通常有两种方法
：
第
一
种
是
利
用
定
义
，
a
n<
/p>
a
n
1
d
(
常数
)(
n
2)
，
第
二
种
是
利
用
< br>等
差
中
项
，
即
2
a
n
a
n
1
a
n
1
(
n
2)
。
2
、
解选择题
、
填空题时
，
亦可用通项或前
n
项和直接判断
。
< br>（
1
）
通项法
< br>：
若数列
{
a
< br>n
}
的通项公式为
n
的一次函数
，
即
a
n
=An+B,
则
{
a
n
}
是等差
数列
；
2
（
2
）
前
n
项和法
：
若数列
{
a
n
}
的前<
/p>
n
项和
S
n
是
S
n
An
Bn
的形式
（
A
，
B
是常数
），
则
{
a
n
}
是等差
数列
。
注
：
若判断一个数列不是等差数列
，
则只需说明任意连续三项不是等差数列即可
。
〖例〗
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
且满足
S
n
S
n
1
2
S
n
S
n
1
0(
n
2),
a
1
（
1
）
求证
< br>：
{
1
2
1
}
是等差数列
< br>；
S
n
（
2
）
求
a
n
的表达式
。
分析
：
（
1<
/p>
）
S
n
S
n
1
2
S
n
S
n
1
0
1
1
与
的关系
结论
；
S
n
S
n
1
eord
完美格式
.
.
（
2<
/p>
）
由
1
的关系式
S
n
的关系
式
a
n
<
/p>
S
n
1
1
1
1
1
-
+2=0
，
即
-
=2
（
n
≥
2
）
.
∴
{
}
是
以
S
n
1
S
n
S
n
S<
/p>
n
1
S
n
解
答
：
（
1
）
等式
两
边同
除
以
S
n
S
n
1
得
1
1
=
=2
为首项
，
以
2
为公差的等差数列
。
S
1
a
1
（
2
）
由
（
1
）
知
1
1
1<
/p>
=
+
（
n-1<
/p>
）
d=2+(n-1)
×
2=2n,
∴
S
n
=
,
当
n
≥
2
时
，
S
n
S
1
2
n
1
<
/p>
1
1
2
a
n
=2
S
n
·
S
n
1
=
。
< br>又
∵
a
1
，
不适合上式
，
< br>故
a
n
1
2
n
(
n
1)
2<
/p>
2
n
(
n
1)
(
n
1)
。
(
n
2)
【
< br>例
】
已知数列
{
a
n
}
的各项均为正数
，
a
1
＝
1.
其前
n
项和
S
n
满足
2
S
n
＝
2
pa
2
n
＋
< br>a
n
－
p
(
p
∈R)，
则
{
a
n
}
的通项公式为
________
．
<
/p>
∵
a
1
＝
1
，∴2
a
1
＝
2
pa
2
1
＋
a
1
－
p
，
< br>即
2
＝
2
p
＋
1
－
p
，
得
p
＝
1.
2
＋
a
－
1.
于是
2<
/p>
S
n
＝
2
a
n
n
2
2
当
n
≥2
时
，
有
2
< br>S
n
－
1
＝
2
a
2
n
－
1
＋
a
n
－
1
－
1
，
两式相减
，
得
2
a
n
＝
2
a
n
－
2
a
n
－
1
＋
a
n
－
a
n
－<
/p>
1
，
整理
，
得
2(
a
n
＋
a
n
－
1
1
)·(
a
n
－
a
n
－
1
－
)
＝
0.
2
1
1
n
＋
1
又
∵
a
n
>0
，∴
a
n
－<
/p>
a
n
－
1
＝
，
于是
{
a
n
}
是等差数列
，
故
a
n
＝
1
＋
(
n
－1)·
＝
.
2
2
2
（
二
）
等差数列的基本运算
1
、
等差数列的通项公式
a
n
=
a
< br>1
+
（
n-1
< br>）
d
及前
n
项和公式
S
n
< br>n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)<
/p>
na
1
d
，
共涉及
2
2
五个量
a
1
，
a
n
，
d,n,
S
n
,
“
知三求二
”，
体
现了用
方程的思想
解决问题
；
2
、
数列的通项公式
和前
n
项和公式在解题中起到变量代换作用
，
而
a
1
和
d
是等差数列的两个基本量
，
eord
完美格式
.
.
用它们表示已知和未知是常用方法
。
注
：
因为
S<
/p>
S
n
d
d
d
n
a
1
a
1
(
n
1)
，
故数列
{
n
}
是等差数列
。
n
< br>n
2
2
2
n
〖例〗
已知数列
{
x
n
}
的首项
x
1
=3
< br>，
通项
x
n
2
p
nq
(
n
N
,
p
,
q
为常数
)
，
且
x
1
，
x
4
，
x
5
成等差数
列
。
求
：
（
1
）
p
,
q
的值
；
（
2
）
数列
{
x
n
}
的前
n
项和
S
n
的公
式
。
分析
：
（
1
）
由
x
1
=3
与
x
1
，
x
4
，
x
5
成等差数列列出方程组即可求出
p
,
< br>q
；（
2
）
通过
x
n
利用条件分成
两个可求和的数列分别求和
。
< br>解答
：（
1
）
< br>由
x
1
=3
得
2
p
q
3
……………………………………
①
4
5
又<
/p>
x
4
2
p
4
q
,
x
5
2
p
5
q
,
且
x
1
x
5
<
/p>
2
x
4
，
得
3
2
p
5
q
2
p
8
q
…………………②
5
5
由
①②
联立得
p
1,
q
1
。
n
（
2
< br>）
由
（
1
）
得
，
x
n
2
n
（
三
）
等差数列的性质
1
、
等差数列的单调性
：
等差数列公差为
d
，
若
d>0,
则数列递增
；
若
d<0,
则数列递减
；
若
d=0,
则数列为常
数列
。
★
2
、
等差数列的简单性质
：
略
典型例题
1
．
等差数列
a
n
中
,
若
S
n
25
,
S
< br>2
n
100
< br>，
则
S
3
n
225
；
2.
（
厦门
）
在等差数列
a
< br>n
中
，
a
2
a
8
4
,
则
其前
9
项的和
S
9
等于
（
A
）
A
．
18
B 27
C
36
D 9
eord
完美格式
.
.
3
、（
全国卷
Ⅰ
理
）
设等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
若
S
9
<
/p>
72
,
则
a
2
a
4
a
9
= 24
4
、
等差数列
{a
n
}
的前
m
项
和为
30
，
前
2m
项和为
100
，
< br>则它的前
3m
项和为
(
C
)
(A)130
(B)170
(C)210
(D)160
< br>5.(
湖北卷
)
已知两个等差数
列
{
a
n
}<
/p>
和
{
b
n
}
的前
n
项和分别为
A
n
和
B
n
，
且
A
n
7
n
45
a
，
则使得
n
为整数
b
n
B
n
n
3
的正整数
n
的个数是
（
D
）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
5
6<
/p>
、
在数列
{
a<
/p>
n
}
中
，
若
a
1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
3(
n
≥1)，
则该数列的通项
a
n
＝
________.
由
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
3
，
则有
a
n
＋
1
＋
3
＝
2(
a
n
＋
3)
，
即
a
n
＋
1<
/p>
＋
3
a
n
＋
3
＝
2.
所以数列
{
a
n
＋
3}
是以
a
1
＋
3
为首项
、
公比为
2
的等比
数列
，
即
a
n
＋
3
＝4·2
n
－
1
＝
2<
/p>
n
＋
1
，
所以
a
n
＝
2
n
＋
1
－
3.
7
、
已知方程
(
x
2
－
2
x
＋
m
)(
x
2
< br>－
2
x
＋
n
)
＝
0
1
的四个根组成一个首项为
的等差数列
，
则
|
m
－
n
|
的值等于
__
______
．
4
如图所示
，
易知抛物线
y
＝
x
2
－
2
x
＋
m
与
y<
/p>
＝
x
2
－
2
x
＋
n
有相同的对称轴
x
＝
1<
/p>
，
它们与
x
轴的
四个交点
依次为
A
、
< br>B
、
C
、
D
.
1
7
因为
x
A
＝
，
则
x
D
＝
.
4
4
3
5
又
|
AB
|
＝
|
BC
|
＝
|
CD
|
，
所以
x
B
＝
< br>，
x
C
＝
.
4
4
1
7
3
5
1
故<
/p>
|
m
－
n
|
＝
|
×
－
×
|
＝
.
4
4
4
< br>4
2
eord
完美格式
.
.
8
、<
/p>
在等差数列
{
a
n
}
中
，
a<
/p>
1
＝－
3,11
a
5
＝
5
a<
/p>
8
－
13
，
则数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
的最小值为
_
_______
．
设公差为
d
，
则
11(
－
3
＋
4
d
)
＝
5(
－
3
＋
7
d
)
－
13
，
5
∴
d
＝
.
9
∴<
/p>
数列
{
a
n
}
为递增数列
．
5
32
令
a<
/p>
n
≤0，∴－
3
＋
(
n
－1)·
≤0，∴
n
≤
，
9
5
∵
n
∈N
*
.
29
∴
前
6
项
均为负值
，∴
S
n
的最小值为
S
6
＝－
.
3
6.
若两个等差数列
a
n
和
b
n
的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，
且满足
7
．（
北京卷
）
（
16
）（
本小题
共
13
分
）
已知
a
n<
/p>
为等差数列
，
且
a
3
<
/p>
6
，
a
6
0
。
（Ⅰ）
求
a
n
的通项公式
；
（Ⅱ）
若等差数列
b
n
满足
b
1
8
，
b
2
a
1
a
2
a
< br>3
，
求
b
n
的前
n
项和公式
解
：（Ⅰ）
设等差数列
{
a
n
}
的公差
d
。
因为<
/p>
a
3
6,
a
6
0
S
n
7
n
3
< br>，
则
a
8
6
.
T
n
n
3
b
8
a
1
2
d
6
所以
解得
a
1<
/p>
10,
d<
/p>
2
a
5
d
0
1
所以
a
n
< br>10
(
n
1)
2
2
n
1
2
<
/p>
（Ⅱ）
设等比数列
{
b
n
}
的公比为
< br>q
因为<
/p>
b
2
a
1
a
2
a
3
24,
b
8
所以
< br>
8
q
24
即
q
=3
eord
完美格式
.
.
b
1<
/p>
(1
q
n
)
4(1
3
n
)
所以
{
b
n
}
的前
n
项和公式为
S
n
1
q
★
等差数列的最值
：
若
{
a
n
}
是等差数列
，
求前
n
项和
的最值时
，
a
n
0
（
1
）
若
a
1
>0,d>0,
且满足
< br>
，
前
n
项和
S
n
最大
；
a
0
n
1
a
n
0
（
2
）
若
a
1
<0,d>0
，
且满足
，
前
n
项和
S
n
最小
；
a
n
1
0
（
3
）
除上面方法外
，
还可将
{
a
n
}
的前
n
项和的最值问题看
作
S
n
关于
n
的二次函数最值问题
，
利用二次
函数的图象或配方法求解
，
注意
n
N
< br>。
〖例〗
已知数列
{
a
n
}
是等差数列
。
（
1
）
若
a
m
n
,
a
n
m
(
m
n
),
求
a
m
n
;
（
2
）
若
S
m
n
,
< br>S
n
m
(
m
n
)
,
求
S
m
<
/p>
n
.
解答
：
设首项为
a
1<
/p>
，
公差为
d
，<
/p>
（
1
）
由
a
m
n
,
a
n
m
，
d
n
m
1
m<
/p>
n
∴
a
m
n
a
m
(
m
n
m
)
d
n
n
(<
/p>
1)
0.<
/p>
n
(
n
1)
n
2
m
2
mn
m
n
m
na
1
d
a
1
2
mn
（
2
）
由已知可得
,
解得
.
n
ma
m
(
m
1)
d
d
2(
m
n
)
1
2
mn
S
m
n
(
m
n
)
a
1
(
m
n
)(
m
n
1)
d
(
m
n
)
2
【
例
】
已知数列
{
a<
/p>
n
}
的各项均为正数
，
S
n
为其前
n
项和
，
对于任意的
n
∈
N
*
< br>，
满足关系式
2
S
n
＝
3
a
< br>n
－
3.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
；
(2)
设数列
{
b
n
}
的通项公式是
b
n
＝
，
前<
/p>
n
项和为
T
n<
/p>
，
求证
：
对于任
意的正整数
n
，
总有
< br>log
3
a
n
< br>·log
3
a
n
＋
1
1
T
n
<1.
eord
完美格式