等比数列的前n项和教学设计
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等比数列的前
n
项和
（
第一课时）
一．
教材分析。
（
1
）教材的地位与作用：《等比数列的前
n
< br>项和》选自《普通高
中课程标准数学教科书·数学（
5<
/p>
）》（人教
A
版）第二章第
5
节第
一课时
,
是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着
广泛的实际应用
，如储蓄、
分期付款的有关计算等等，而且公式推导
过程中所渗
透的类比、
化归、
分类讨论、
整体变换
和方程等思想方法，
都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
（
2
）从知识的体系来看：
“等比数列的前
n
项和”是“等差数列
及其前
n
项和”与“等比数列”内容的延续、
不仅加深对函数思想的
理解，也为以后学数列的求和，数学归纳
法等做好铺垫
。
二．学情分析。
（
< br>1
）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的
通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。
< br>（
2
）
教学对象：
高二理科班的学生，
学习兴趣比较浓
,
表现欲较强
,
逻
辑思维能
力也初步形成，
具有一定的分析问题和解决问题的能力，
但
由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片
面、不够严谨。
（
3
）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前
n
项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势
1
利导。
不利因素是：
本节公式的推导与等差数列前
n
项和公式的推导
有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于
q
=
1
这
一特
殊情况，
学生往往容易忽视，
尤其是在后面使用的过程中容易出
错。
三．教学目标。
根据教学大纲的要求
、本节教材的特点和本班学生的认知规律，
本节课的教学目标确定为：
< br>
（
1
）
知识技能目标————理解并掌握等比数列前
n
项和公式的<
/p>
推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有
关的问题。
（
2
< br>）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发
现，向学生渗透特殊到
一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培
养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维
能力和逆向思维的能力．
（
3
）情感，态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新
的精神，
从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称
美、形式的
< br>
简洁美。
四．重点
,
难点分析。
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。
教学难点：公式的推导方法及公式应用中
q
与<
/p>
1
的关系
。
五．教法与学法分析
.
2
培养学生学会学习、学会探究是
全面发展学生能力的重要前提，
是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、
学会探究
呢？建构主义认为：
“知识不是被动吸收的，而是由认
知主体主动建
构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：知识
不是通过教师传授
得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与<
/p>
他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，
建构主义教学模式强调以学生为中心，
视学生为认知的主体，
教师只
对学生的意义建构起帮助和促进作用。
因此，
本节课采用了启发式和
探究式相结合的教学方法，让老师的主导性和学生的
主体性有机结
合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等
步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成
完
整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。一句话：
还
课堂以生命力，还学生以活力。
六．课堂设计
（一）
创设情境，提出问题。（时间设定：
3
分钟）
[
利用投影展示
]
< br>在古印度，
有个名叫西萨的人，
发明了国际象棋，
当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨
说
：请给我棋盘的
64
个方格上，第一格放
1
粒小麦，第二格放
2
粒，
第三格放
4
粒，
往后每
一格都是前一格的两倍，直至第
64
格。国王令
宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？
3
[<
/p>
设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习
的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点
]
提出问题
1
：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小
麦吗？
引导学生写出麦粒总数
1
2
2
2
（二）师生互动
，探究问题
[5
分钟
]
提出问题
2
：
1+
2
+
2
2
+
2
3
+
< br>
+2
63
究竟等于
多少呢
?
有学生会说：用计算器来求
（老师当然肯定这种做法，但学生很快发
现比较难求。
）
提出问题
3
：同学
们，我们来分析一下这个和式有什么特征？（学生
会发现，后一项都是前一项的
2
倍）
提出问题
4
：如果我们把每一项都乘以
2
，就变成了它的后一项，那
么我们若在此等式两边同以
2
，得到另一式：
[
[
利用投影展示
]
2
3
2
63
...
S
6
4
1
2<
/p>
2
2
2
3
2
S
64
2
2
2
< br>
2
2
3
4
2
6
3
.........(1)
2
.......(2)
64
比较（
1
）
(2
）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（
1
）、
（
2
）两式有许多相同的项）<
/p>
提出问题
5
：
将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。（学
4 <
/p>
生会发现：
S
64
2
64
1
[
这五个问题的设计意图：
层层深入，
剖析了错位相减法中减的妙用，
使
学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突
然发现上述解法，也让学生
感受到这种方法的神奇
]
这时，老师向同学们介绍错位相减法，并
提出问题
6
：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程
，为什
么（
1
）式两边要同乘以
2
呢？
[
这个问题的设计意图
:
让学生对错位相减法有一个深刻的认识，
也为
探究等比数列求
和公式的推导做好铺垫
]
（三）类比
联想，解决问题。
[
时间设定：
10<
/p>
分钟
]
提出问题
7
：
设等比数列
< br>a
n
的首项为
a
1
,
公比为
q,
求它的前项和
S
n
即
S
n
<
/p>
a
1
a
2
a
3
a
n
学生开展合作学习
,
讨论
交流，
老师巡视课
堂，发现有典型解法的，叫同学板书在黑板上
。
[<
/p>
设计意图：从特殊到一般
,
从模仿到创新
,
有利于学生的知识迁移和
能力提高，
让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验
]
（四）分析比较，开拓思维。
[
时间设定：
5
分钟
]
将不同的的方法进行分析评价。
根据学生的认识状况，
可能有如下几
种方法：
< br>等比数列
{
a
n
}
,
公比为
q
,
它的前
n
项和
S
n
a
< br>1
a
1
q
a
1
q
2
a
1
q
n
2
a
1
q
n
< br>1
n
1
n
a
1
q
a
1
q
2
a
1
q
n
2
a
q
a
< br>q
1
1
错位相减法
1
：
< br>
qS
n<
/p>
(
1
q
)
S
n
a
1
a
1
q
n
5