2021版新高考数学一轮教师用书：第6章 第3节 等比数列及其前n项和 Word版含答案
-
第三节
等比数列及其前
n
项和
[
考点要求
]
1.
理解等比数列的概念．
2.
掌握等比数列的通项公式与前
n
项和公式．<
/p>
3.
能在具体的
问题情境中识别数列的等
比关系
，
并能用等比数列的有关知识解决相应的问题
.4.
了解等比数列与指数
函数的关系．
(
对应学生用书第
106
页
)
1
．
等比数列的有关概念
(1)
定义：如果一个数列从第
< br>2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数
(
不为零
)
，那么这
a
n
＋
1
个数
列就叫做等比数列．
这个常数叫做等比数列的公比，
通常用字母
q
表示，
定义的数学表达式为
a
n
＝
q
(
n
∈
N
< br>*
，
q
为非零常数
).
(2)
等比中项：如果
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项．即
G
是
a
与
b
的等比
中项
⇒
a
，
G
，
b
成等比数列
⇒
G
2
＝
ab
．
2
．
等比数列的有关
公式
(1)
通项公式：
a
n
＝
a
< br>1
q
n
1
＝
a
m
q
n
m
.
－
－<
/p>
(2)
前
n
项和
公式：
1
），
na
1
（
q
＝
n
S
n<
/p>
＝
a
1
（
1
－
q
）
a
1
－
a
n
q
＝
（
q
≠
1
）
.
1
－<
/p>
q
1
－
q
[
常用结论
]
等比数列的常用性质
< br>1
．
在等比数列
{
a
n
}
中
< br>，
若
m
＋
n
＝
p
＋
q
＝
2
k
(
m
，
n
，
p
，
q
，
k
∈
N
*
< br>)
，
则
a
m
·
a
n
＝
a
p
·
a
q
＝
a
2
k
．
1
a
< br>n
2
2
．
若数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}(<
/p>
项数相同
)
是等比数列
< br>，
则
{
λa
n
}(
λ
≠
0)
，
a
，
{
a
n
}
，<
/p>
{
a
n
·
b
n
}
，
b
仍然是
n
n
等比数列．
3
．
等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
则
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S<
/p>
2
n
仍成等比数列
，
其公比为
q
n
，
其中当
公比为－
1
时
，
n
为偶数时除外．
一、思考辨析
(
正确的打“√”，错误的打“×”
)
(1)
满足
a
n
＋
1
＝
qa
n
(
n
∈
N
*
，
q
为常数
)
的数列
{
a
n
}
为等比数列．
(
)
(2)
G
为
a
，
b
的等比中项
⇔
< br>G
2
＝
ab
.(
)
(3)
若
{
a
n
}
为等比数列，
b
n
＝
a
2
< br>n
－
1
＋
a
2
n
，则数列
{
b
n
}
也是等比数列．
(
)
a
（
1<
/p>
－
a
n
）
(4)
数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
a
，则
其前
n
项和为
S
n
＝
.(
)
1
－
a<
/p>
n
(5)
数列
{
a
n
}
为等比
数列，则
S
4
，
S
8
－
S
4
，
S
12
－<
/p>
S
8
成等比数列．
(
)
[
答案
]
(1)
×
(2)
×
(3)
×
(4)
×
(5)
×
二、教材改编
1
．在等比数列
{
a
n
}
中，
a
3
＝
2
，
a
7
＝
8
，则
a
5
等于
(
)
A
．
5
B
．±
5
C
．
4
D
．±
4
2
C
[
∵
a
5
＝
a
3
a
7
＝
2
×
8
< br>＝
16
，
∴
a
5
＝
±
4.
又
∵
a
5
＝
a
3
q<
/p>
2
＞
0
，
∴
a
5
＝
4.]
2
．等比数列
{
a
n
}
的前<
/p>
n
项和为
S
n<
/p>
，已知
S
3
＝<
/p>
a
2
＋
10
a
1
，
a
5
＝
9
，则
a
1
＝
(
)
1
< br>1
1
1
A
．
3
B
．－
3
C
．
9
D
．－
9
a
5
C
[
∵
S
3
＝
a
2
＋
10
a
1
，
∴
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝
a
2
＋<
/p>
10
a
1
，
∴
a
3
＝
9
a
1
，
即公比
q
2
＝
9
，
又
a
< br>5
＝
a
1
q
4
，
∴
a
1
＝
q
4
9
1
＝
81
＝
9
.
故选
C.]
3
．在数列
{
a
n
}
中，<
/p>
a
1
＝
2
，
a
n
＋
1
＝
2
a
n
，
S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和．若
S
n
＝
126
，则
n
＝
________
．
6
[
∵
a
1
＝
2
，
a
n
＋
1
＝
2
a
n
，
<
/p>
∴数列
{
a
n<
/p>
}
是首项为
2
，
公比为
2
的等比数列．
2
（
1
－
2
n
）
又
∵
S
n
＝<
/p>
126
，
∴
＝<
/p>
126
，
1<
/p>
－
2
解得
n
＝
6.]
4
．<
/p>
一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存
1 MB
，
然后每
3
秒自身复制
一次，
复制后所
占内存是原来的
2
倍，那么开机
________
秒，该病毒
占据内存
8 GB(1
GB
＝
2
10
MB).
39
[
< br>由题意可知
，
病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比
数列
{
a
n
}
，
且
a
1
＝
2
，
q
＝
2
，
∴
a
n
＝
< br>2
n
，
则
2
n
＝
8
×
2
10
＝<
/p>
2
13
，
∴
n
＝
13.
即病
毒共复制了
13
次．
∴所需时间为
13
×
3
＝
39(
秒
).]
(
对应学生用书第
< br>106
页
)
考点
1
等比数列的基本运算
等比数列基本量运算的解题策略
<
/p>
(1)
等比数列的通项公式与前
n
项和公式共涉及五个量
a
1
< br>，
a
n
，
q
，
n
，
S
n
，
已知其中三个就能求另
外两个
(
简称
“
知三求二
”
).
(2
)
运用等比数列的前
n
项和公式时
，
注意分
q
＝
1
和
q
≠
1
两类分别讨论．
1.
设
S
n<
/p>
为等比数列
{
a
n
}
的前
n
项
和，已知
3
S
3
＝
a
4
－
2
，
3
S
2
＝
a
3
－
2
，则公比
q
＝
(
)
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
B
[
因为<
/p>
3
S
3
＝
a
4
－
2
，
3
S
2
＝
a
3
－
2
，
所以两式相减
，
得
3(
S
3
－
S
2
)
＝
(
a
4
－
2)
－
(
a
3
－
2)
，<
/p>
即
3
a
3
＝
a
4
－
a
3
，
a
4
得
a
4
＝
4
a
3
，
所以
q
＝
a
＝
4.]
3
1
2
．
(2019·
全国卷
Ⅰ
)
记
S
n
为等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和．若
a
1
＝
3
，
a
2
4
＝
a
6
，则
S
5
＝
________
．
121
1
1
3
2
1
5
2
q
3
<
/p>
[
设等比数列的公比为
q
，
由已知
a
1
＝
3
，
a
4
＝
a
6
，
所以
3
＝
3
q
，
又
q
≠
0
，
所以
q
＝
3
，
1
5
（
1
－
3
）
5
a
1
（
1
－
q
）<
/p>
3
121
所以
S
5
＝
＝
＝
3
.]
1
－
q
1
－
3
3
9
3
．等比数列
{
a
n
}
的各项均为实数，其前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
＝
2
，
S
3
＝
2
，则
a
2
＝
_
_______
．
3
－
3
或
2
[
法一：
(
直接法
)
∵
数列
< br>{
a
n
}
是等比数列
，
3
< br>9
∴当
q
＝
1
时
，
a
1
＝
a
2
＝<
/p>
a
3
＝
2
，
显然
S
3
＝
3
a
3
＝
2
.
当
q
≠
1
时
，
由题意可知
a
1
（
1
－
q
3
）
9
1
－
q<
/p>
＝
2
，
2
3
a
1
q
＝
，
2
1
解得
q
＝－
2
或
q
＝
1(
舍去
).
a
3
3
∴
a
2
＝
q
＝
2
×<
/p>
(
－
2)
＝－<
/p>
3.
3
综上可知
a
2
＝－
3
或
2
.
3
法
二：
(
优解法
)
由
a
3
＝
2
得
a
1
＋
a
2
＝
3.
a
3
a
3
∴
q
2
＋
q
＝
3
，
< br>
即
2
q
2
－
q
－
1
＝
0
，
1
∴
q
＝－
2
或
q
＝
1.
a
3
3
∴
a
2
＝
q
＝－
3
或
< br>2
.]
4
．
< br>(2018·
全国卷
Ⅲ
)
等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
5
＝
4
a
3
.
(1)
求
{
a
n
}
< br>的通项公式；
(2)
记
S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和，若
S
m
＝
63
，求
m
.
[
解
]
(1)
设
{
a
n
}
的公比为
q<
/p>
，
由题设得
a
n
＝
q
n
－
1
.
由已知得
q
4
＝
4
q
2
，
解得
q
＝
0(
舍去
)
，
q
＝－
2
或
q
＝
2.
故
a
n
＝
(
－
2)
n
－
1
或
a
n
＝
2
n
－
1
(
n<
/p>
∈
N
＋
). <
/p>
(2)
若
a
n<
/p>
＝
(
－
2)
n
－
1
1
－（－
2
）
n
，
则
S
n
＝
.
3
由
S
m
＝
63
< br>得
(
－
2)
m
＝－
188
，
< br>
此方程没有正整数解．
若<
/p>
a
n
＝
2
n
－
1
，
则
S
n
＝
2
n
－
1.
由
S
m
＝
63
得
2
m
＝
64
，
解得
m
＝
6.
综上
，
m
＝
6.
抓住基本量
a
1,
< br>q
，
借用方程思想求解是解答此类问题的关键
，
求解中要注意方法的择优．
考点
2
等比数列的判定与证明
判定一个数列为等比数列的常见方法
a
n
＋
1
(1
)
定义法：若
a
＝
q
(
q
是不为零的常数
)
，
则数列
{
a
n
}
是等比数列；
n
(2)
等比中
项法：若
a
2
n
＋
1
＝
a
n
a
n
＋
2
(
n
∈
N
＋
，
a
n
≠
0)
，
则数列
{
a
n
}
是等比数列；
(3)
通项公
式法：若
a
n
＝
Aq
n
－
1
(
A
，
q
是不
为零的常数
)
，
则数列
{
a
n
}
是等比数列．
5
5
2
设数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
2
＝
3
，
a
n
＋
2
＝
3
a
n
＋
1
－
3
a<
/p>
n
，令
b
n
＝
a
n
＋
1
－
a
n
(
n
∈
N
< br>*
)
(1)
证明：数列
{
b
n
}
是等比数列；
(2)
求
数列
{
a
n
}
的通项公式．
5
2
[
解
]
(1)
∵
a
n
＋
2
＝
3
a
n
＋
1
－
3
a
n
，
2
∴
< br>a
n
＋
2
－
a
n
＋
1
＝
3
(
a
n
＋
1
－
a
n
)
，
而
b
n
＝
< br>a
n
＋
1
－
a
n
，
2
2
∴
b
n
＋
1
＝
3
b
n
，
又
b
1
＝
< br>a
2
－
a
1
＝
3
，
2
2
∴
{
b
n
}
是首项为<
/p>
3
，
公比为
3<
/p>
的等比数列．