高阶等差等比数列的通项及其前N项和求法
-
高阶等差、等比数列
a
n
的性质、通项、前
n
项和求法
章君
（福建师范大学
数学系
福建
福州
350108
）
★高阶等差数列
定义：
对于一个给定的数列
a
n
，把它连续的两项
a
n
1
与
a
n
的差
a
n
1
-
a
n
记为
b
n<
/p>
.
得到一个新的数列
b
n
.
称数列
b
n
为原数列
a
< br>n
的
一阶差数列
.
如果
c
n
=
b
n
1
-
b
n
（
n
1
,<
/p>
2
,
3
...<
/p>
）
，则数列
c
n
是
b
n
的
一阶差数列
.
称
c
n
为
a
n
的二阶差数列
.
以此类
推，
可以得到数列
a
n
< br>
的
P
阶差数列
，其中
P
N
*
.
如果某一数列的
P
阶差数列
是
一个非零常数列，则称此数列为
P
阶等差数列
.
性质：
1
若
数列
a
n
是
P
阶等差数列，则它的一阶差数列是
P
-1
阶等差数列
.
○
2
数列
a
n
是
P
阶等差数列的
充要条件
是：数列
a
n
的通项是关于
n
的
P
次多项式
.<
/p>
○
．．．．
3
若数列
a
n
是
P
阶等差
数列，则其前
n
和
S
< br>n
是关于
n
的
< br>P
+1
次多项式
.
○
★高阶等比数列
定义：
对于一个给定的数列
a
n
，把它连续的两项<
/p>
a
n
1
与
a
n
的比
a
n
1
记为
b
n
.
a
n
b
n
< br>
1
b
n
得到一个新的数列
b
n
.
称数列
b
n
为原数列
a
n
的
一阶比数列
.
如果
c
n
=
（
n
1
,
2
,
3
...
）
，则数列
c
n
是
< br>b
n
的
一阶比数列
.
称
< br>c
n
为
a
n
的
二阶比数列
.
以此类
推，可以得到数列
a
n
的
P
阶差数列
，其
中
P
N
*<
/p>
.
如果某一数列的
P
< br>阶比数列
是
一个非零常数列，则称此数列为
P
阶等比数列
.
一、高阶等差数列的通项
a
n
及
S
n
的求法
求高阶等差数列的通项
a
n
及前
n
项和
S
n
的时候，通常采用
逐差法
或
待定系数法
.
．．．
．．．．．
下面先介绍
逐差法
求
通项
.
．．．
．．
1
★方法一
逐差法
我们先看一个例题：
【例
1
】
求数列
{
a
n
}
的通项：
{
a
n
}
：
1
，
7
< br>，
25
，
61
< br>，
121
，
211
，…
解：
先作各阶差数列：
数列：
1
，
7
，
25
，
61
，
121
，
211
，…
一阶差数列
{<
/p>
b
n
}
：
6
，
18
，
36
，
60
，
90
，…
二阶差数列
{
c
n
}
：
12
，
18
，
24
，
30
，…
三阶差数列：
6
，
6
，
6
，…
由此可见，数列
{
a
n
}
是
3
阶等差数列，数列
{
c
n
}
是首项为
12
、公差为
6
的等
差数列，
故：
c
n
12
(
n
1
)
6
6
n
6
∵
b
1
b
n
1
c
n
1
(
< br>n
2
)
，
∴
b
1
b
n
1
6
(
n
1
)
6
6
< br>n
，
于是得到
(
n
2
)
b
n
b
n
1<
/p>
6
n
b
n
1
b
n
2
6
(
n
1
),
b
n
2
b
n
3
6
(
n
2
),
…
b
2
b
1
6
2
.
将以上各式两边分别相加，得：
b
n
b
1
6
(
2
3
n
)
< br>
6
(
1
2
3
n
)
6
6
n
(
1
n
6
< br>)
6
3
n
2
3
n
6
2
∴
b
n
3
n
2
3
< br>n
6
b
1
3
n
2
3
n
(
n
2
).
因为此公式当
n
1
时的值
b
1
6
，故数
列
{
b
n
}<
/p>
的通项公式为：
b
n
3
n
2
3
n
(<
/p>
n
1
,
2
,
3
,
)
又∵
a
n<
/p>
1
a
n
b
n
(
n
1
,
2
,
3
,
)
∴
a
n
1
a
n
3
n
2
3
n
< br>(
n
1
,
2
,
3
,
)
由此可
得，当
n
2
时，
a
n
a
n
1
3
n
2
3
n
,
a
n
< br>1
a
n
2
3
(
n
1
)
2
3
(
n
1
),
2
…
a
2
a
1
3
2
2
3
2
< br>,
将以上各式相加，得：
<
/p>
a
n
a
1
3
[
n
2
(
n
1
)
2
2
2
]
3<
/p>
[
n
(
n
1
)
2
]
3
[
n
2
(
n
1
)<
/p>
2
2
2
1
2
]
3
[
n
(
n
1
)
2
<
/p>
1
]
3
1
2
3
1
3
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
n
(
n
1
)
3
n
3
n
,
< br>
6
2
∴
a
n
n
3
n
a
1
n
< br>3
n
a
1
n
3
n
1
(
n
2
),
又此式当
n
1
时的值
a
1
1
，故数列<
/p>
{
a
n
}
的通项公式为：
a
n
n
3
<
/p>
n
1
(
n
1
,
2
,
3
,
).
(
< br>K
)
}
，如果数列
{
a
n
}
< br>是
P
阶等差数列，那
一般地，设
数列
{
a
n
}
的
K
阶差数列记为
{
a
n
(
P
1
)
(<
/p>
P
1
)
}
是等差数列，于是可以求出数列
{
a
n
}
的通项公式，利
用
么（
P-1
）阶差数列
{
a
n
(
< br>P
2
)
(
P
2
)
(
P
1
)
(
P
2
)
a
n
a
a
< br>(
n
1
,
2
,
3
,
)
{
a
}
的通
，仿照上述例题的作法，可以求出数
列
1
n
<
/p>
1
n
n
项公式，
依次类推，可求出数列
{
a
n
}
的通项公式
.
利用
逐差法求高阶差数数列的通项还是比较麻烦，下面介绍待定系数法求通项
.
★
方法二
待定系数法
下面先证明两个定理
.
(
P
)
定理
1
设
P
为正整数，前
n<
/p>
个自然数的
P
次幂的和记为
S
n
，即
(
P
)
(
P
)
S
n
1
p
2<
/p>
p
3
p
n
p
.
则
S
n
是关于
n
的（
p+1
）次多项式
.
证明：
<
用数学归纳法
>
(
1
)
当
p=1
时，∵
S
n
1
2
3
n
n
(<
/p>
n
1
)
1
2
1
n
n
，
2
2
2
它是关于
n
的
2
< br>次多项式，故结论是正确的
.
(
k
)
1
k
2
k
3
k
n
k
是关于
n
的（
k+1
）次多
设结
论当
p
k
(
k
1
)
是正确的，则
S
n
项式
.
∵
n
k
2
j
j
1
n
k
2
< br>
(
j
1
)
k
2
j
1
n
3
j
j
1
1
k
2
n
k
2
k
1
2
k
3
k
1<
/p>
[
j
k
2
C
k
1
C
k
(
1
)
k
2<
/p>
]
2
j
2
j
C
k
2
j
j
1
n
C
l
1
n
n
j
k
1
C
2
k
2
j
1
n
< br>j
C
k
3
k
2
j
1
n
n
j
k
1
(
1
)
< br>k
2
n
]
，
n
于是
<
/p>
j
l
1
k
1
1
C
k
1
2
n
[
n
k
2
C
2
k
<
/p>
2
j
1
j
C
k
3
k
2
j
1
j
k
1
(<
/p>
1
)
n
2
n
]
.
根据假设
j
、
（
k-1
）次，…
1
次多项
j
k
1
分别是关于
n
的（
k+1
）次、
k
次、
< br>k
l
1
j
1
n
式
，而
C
1
k
2
(
j
1
,
2
,
3
,
,
k
2
)
< br>与
n
无关，因此
j
k
1
< br>是关于
n
的
(k+2)
次多项式
.
就
j
1
n
(
p
)
S
n
是说，
当
p=k+1
时，<
/p>
是关于
n
的
(k
+2)
次多项式，
即结论当
p=k+1
时也是正确
.
因
< br>(
p
)
此，
S
n
是关于
n
的
(p+1)
次多项式
.
定理
2
数列
{
a
n<
/p>
}
为
p
阶等差数
列充要条件是：数列
{
a
n
}
通项为
n
的
p
次多项式
.
证明
：
先证
必要性
.
用数学归纳法
.
1
< br>当
p=1
时，数列
{
a
}
是等差数列，其通项
a
a
(<
/p>
n
1
)
d
，这是关于
n
的一
○
n
1
n
次多项式
.
设
p
=k
，即当
{
a
n
}
为
k
阶
差数列时，数列
{(
a
n
a
n
< br>1
)}(
n
< br>2
)
就是
k
阶差数列时，
根据假设可令
a<
/p>
n
a
n
1
an
k
bn
k
1
依次令
n=2,3,4
，…
得：
a
2<
/p>
a
1
a
2
k
b
2
k
1
a
3
a
2
a<
/p>
3
k
b
3
k
1
a
n
a
n
1
a
n<
/p>
k
b
n
n
1
将以上各式两边分别相加，化简后得：
a
n
a
(
2
k
3
k
n
k
)
b
(
2
k
< br>
1
3
k
1
n
k
1
)
a
1
4
根据定理
1
，右边第一个括号的和是关于
n
的
(k+1)
次多项式，第二个括号是关
于
n
的
k
次多
项式，…，因此，
a
n
是关于
n
的
(k+1)
次多项
式
.
2
当
{
a
}
为
(k+
1)
阶等差数列时，
a
是关于
n
的
(k+1)
次多项
式，
∴
○
即
p=k+1
时结论
n
< br>n
也是成立的
.
由上述证明可
知，当
{
a
n
}
为
p
阶等差数列时，
a
n
是关于
n
的
p
次多项式
.
充分性
.
设数列
{
a
n
}
的通项是关于
n
的
p
次多项
式
,
设
a
n<
/p>
an
p
bn
p
1
(
a
0
)
作它的一阶差数列：
a
n
a
n
< br>
1
[
an
p
bn
p
1
]
[
a
(
n
1
)
p
b
(
n
1
< br>)
p
1
]
a
pn
p
b
1
n
p
2
如果连续作
p
次，
则得到
p
阶差数列是常数列
{
ap
!
}
，
因此数列
{
a
n
}
是
p
阶等差数列
.
定理
3
若
数列
{
a
n
}
为
p
阶等差数列，则其前
n
项和
S
n
是关于
n
的（
p+1
）次多项式
.
证明：
∵
{
a
n
}
是
p
阶等差数列，
根据
定理
2
，
它的通项公式是关于
n
是
p
次多项式
.
设
a
n
an
p
bn
p
1
(
a
< br>
0
)
，
则
S
n
k
1
n
n
n
n
p
p
1
p
a
k
< br>(
ak
bk
< br>
)
a
k
k
b
k
p
1
k
1
k
1
k
< br>
1
n
n
根据定理
1
，
k
、
（
p-1
）次，…多项
k
p
1
,
< br>分别是关于
n
的（
p+1
）次、
p
次、
p
k
1
k
1
式，因此，
S
n
是关于
n
的（<
/p>
p+1
）次多项式
.
根据定理
2
和定理
3
，我们可以求出任
意的高阶等差数列的通项公式和前
n
项和公式
.
【例
1
】
<
/p>
求下面数列的通项公式及前
n
项和
5
，
17
，
35
，
59
，
89
，…
解
：先判断是几阶等差数数列
.
数列
{
a
n
}
：
5
，
17
，
35
，
59
，
89
，…
一阶差数列：
12
，
18
，
24
，
30
…
二阶
差数列：
6
，
6
，
6
，…
因此，数列
{
a
n
}
是二阶等差数列，根据定理
2
，
a
n
是关于
n
的
2
次多项式；根
据定理
3
，前项
n
和
S
n
是关于
n
的
3
次多项式
.
于是设：
5