等差、等比数列前n项和公式的推广及其应用
-
等差、等比数列前
n
项和公式的推广及其应用<
/p>
吴家华（四川省遂宁中学校
629000
）
众所周知，等差、等比数列的通项公式分别为
a
n
a
1
(
n
1
)
d
,
a
n
a
1
q
n
1
它们的推广式分别为
a
n
a
m
< br>
(
n
m
)
d
,
a
n
a
m
q
n
m
.
受此启发，笔者试着将等差、等比数列前<
/p>
n
项和公式中的
a
1
换成
S
m
，也得到它们的各
自推广，且推广公式比原公式具有更广泛的应用
.
现介绍如下：
1.
前
n<
/p>
项和公式及变形式
（
< br>1
）等差数列的前
n
项和公式为
：
S
n
na
1
变形式
为：
S
n
n
n
(
n
1
)
d
，
2
S
1
n
(
n
< br>
1
)
d
；
1
2
a
1
(
1
q
n
)
（
2
）等比数列的前
n
项和公式为：
S
n
(
q
1
)
，
1<
/p>
q
S
1
(
1
q
n
)
变形式为：
S
n
(
q
1
)
.
1
1
q
< br>2.
公式的推广及其证明
<
/p>
由上面前
n
项和公式的变形式，通过类比
我们不难得到它们的如下推广：
定理
1
设
a
n
是公差为
d
的等差数列，
< br>S
n
是其前
n
< br>项和，
m
,
n
N
，且
m
n
，
*
则有
S
n
n
S
m
n
(
n
m
)
d
m
2
*
定理
2
设
a
n
< br>是公比为
q
(
q
1
)
的等比数列，
S
n
是其前
n
项和，
m
,
n
N
，且
S
m
(
1
q
n
)
m
n
，则有
S
n
m
1
q
证明
（
1
）
S
n
na
1
S
n
(
n
1
)
n
1
d
∴
n
a
1
d
①
2<
/p>
n
2
∴
S
m
m
1
a
1
d
m
2
②
由
①－②得：
S
n
S
m
n
1
m
1
d
d
n
m
2
2
S
n
S
< br>m
n
m
d
n
m
2
∴
S
n
S
m
n
(
n
m
)
< br>d
.
定理
1
得证
.
n
m
2
n
m
a
(
1
q
)
a
(
1
< br>q
)
1
1
（
2
）
当
q
1
时，<
/p>
S
∴
S
n
m
1
q
1
q
两式相除，得：
S
< br>m
(
1
q
n
)
S
n
1
q
n
(
q
1
)
，
即
S
n
< br>
m
m
1
q
S
m
1
q
又
当
m
为偶数且
q<
/p>
1
时，
q
m
1
，上式右端无意义，∴
q
1
S
m
(
1
q<
/p>
n
)
故
S
n
(
q
1
)
.
定理
2
得证
.
m
< br>1
q
3.
推广公式的应用
例
< br>1
．
（
06
年浙江）设
S
n
为等差数列
a
n
的前
n
项和，若
S
5
10
,
S
10
5
，则公差
d =
.
（用数字作答）
解
设等差
数列
a
n
的公差为
d,
则由已知及定理
1
，得：
5
S
10
10
解得：
d
1
.
S
5
10
(
10
5
)
d
< br>2
10
25
d
5
2
例
2
．
（
06
年山东）设
S
n
为等差数列
a
n
的前
n
< br>项和，
S
4
< br>14
，
S
10
< br>
S
7
30
,
则
S
9
.
解
设等差
数列
a
n
的公差为
d,
则由已知及定理
1
，得：
30
S
10
S
7
10
S
4
10
(
10
4
)
S
7
(
< br>7
4
)
d
[
7
4
d
]
4
2
4
2
3
39
S
4
d
4
2
3
39
14
d
4
2
∴
d
1<
/p>
∴
S
9
9
S
4
9
(
9
4
)
9
45
1
14
54
.
4
2
4
2
例
3
．设
a
n
为等差数列，
S
n
为数列
a
n
的前
n<
/p>
项和
.
已知
S
7
7
，
S
15
75
，
T
n
为
数列
S
n
的前
n
项和，求
T
n
.
n
解
设等差数列
a
n
的公差为
d,
则由已知及定理
1
，得：
75
< br>
S
15
15
∴
d
1
S
7
15
(
15
7
)
7
d
15
60
d
7
2
7
S
7
n
(
n
< br>
7
)
7
n
(
n
7
)
n
2
5
n
d
n
1
.
< br>
∴
S
n
n
7
2
7
2
2
即
S
n
1
(
n
5
)
< br>n
2
1
1
n
(
n
1
)
(
1
2
3
n
5
n
)
< br>[
5
n
]
2
2
2
∴
T
n
n
2
9
n
.
4
例
4
．
（课本
P
123
习题
3.3
第
10
题）已知数列
a
n
是
等差数列，
S
n
是其前
n
项和，求
证：
S
6
，
S
12
S
6
，
< br>S
18
S
12
成等差数列
.
设
k
N
，
S
k
，
S
2
k
S
k
，
S
3
k<
/p>
S
2
k
成等差
数列吗？
证明
设等
差数列
a
n
的公差为
d,
则由定理
1
，得：
*
S
12
12
S
6
12
(
12
6
)
d
2
S
6
36
d
6
2
S
6
18<
/p>
(
18
6
)
d
3
S
6
108
d
6
2
S
18
18