(完整版)五年级奥数培训教材(上)
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思维教育
思维数学五年级课程
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思维教育辅导讲义
课
题
授课时间：
平均数问题
授课教师：
把几个不相等的数，在总
数不变的条件下，通过移多补少，使他们完全相等，求得的相等
知
识
点
梳
理
数
就是
平均数
，通常把这样的问题叫做
平
均数问题
。
解答平均数问题的关键在
于确定“总数量”以及与总数量相对应的“总份数”
。灵活运用
有关数量关系式来解题：
总数量÷总份数
=
平均数
平均数×总份数
=
总数量
总数量÷
平均数
=
总份数
例
1
五（<
/p>
4
）班有学生
41
人，在一次英语测试中有
3
名同学因病缺考，平均成绩是
80
分。后来这三位同学补考，
成绩分别为
100
分，
96
分，
85
分。这时全班的平均成绩是多少？
< br>
分析
解答本题必须抓住：
1
、要求全班的平均成绩，就要知道全
班的总分和总人数；
2
、全班的总分由两部分组成：一部分是先
考的
4
1
－<
/p>
3=38
（人）
，总分为
80
×
38=3040
分，另
一部分是补考的
3
人，总分为
100<
/p>
＋
96
＋
85=
281
分，再把两部分的总分合起来才是
全班的总分；
3
、用全班总分÷总人数
=
全班平均分。
教学内容
小结
解答本题的关键在于全班的总分
分成了先考的和补考的两个部分，要求求出全班的总分，才能求出全班的平均分。
例
2
甲乙两城相距
< br>120
千米。一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶
60<
/p>
千米，返回时平均速度是每小时
40
千米
。
求这辆汽车往返的平均速度。
分析
按照求平均数问题的数量关系
，求“往”
“返”的平均速度，应该用“往”与“返”的总路程除以“往”与“返”的总
时间。
例
3
把五个数按照从小到大的顺序排列，其平均数是
30
，前三个
数的平均数是
28
，后三个数的平均数是
35
，中
间的那个数是多少？
分析
根据题中已知五个数的平均数
，可以求出五个数的总和：
30
×
5=
150
；已知前三个数的平均数，可以求出前三个数的总和：
2
8
×
3=84
；已知后三个数的平均数
，可以求出后三个数的总和：
35
×
3
=105
；前三个数的总和加上后三个数的总和，中间的那个数算
1
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了两次，这样就比五个数的总和多
，多出的部分就是所求的中间的那个数。
例
4 <
/p>
小明前
5
次数学测试的平均分是
92
分，第六次数学测试的成绩比六次测试的平均分高
< br>5
分，他第六次测试
的成绩是多少？
分析
他第六次数学测试的成
绩比六次测试的平均分高
5
分，把这
5
分平均分给前
5
次，就可先求出六次测
试的平均成绩：
92
＋
5
÷
5=93
分，再用六次测试的平均分加上第六次测
试多出的
5
分，就可得出第六次的测试成绩。
< br>
例
5
一次考试中，小花语文得了
86
分，英语得了
90
分，现在还要考数学，他想争取三科平均成绩至少为
90
分
，
那么他的数学至少要得多少分？
练习：
1
、
五（<
/p>
1
）班有学生
40
人，期中数学测试，有
2
名同学因病缺考，这时班级平均成绩
是
89
分。缺考的同学补考
各得
99
分，这个班期中测试平均分是多少？
2
、
在一次
登山活动中，山路长
120
米，张三上山时每分钟走
40
米，下山时按原路返回，每分钟走
60
米，求张三
上山和下山平均每分钟走多少米？
3
、
甲、乙
、丙三人的平均年龄为
22
岁，如果甲、乙的平均年龄是
18
岁，乙、丙的平均年龄是
25
岁，那么乙的
年龄是多少岁？
4
、
某小组
加工一批零件，
7
天中平均每天加工
3
2
个。已知他们前
4
天平均每天加工<
/p>
34
个，后
4
天
平均每天加工
31
个。求：第
4
天加工零件多少个？
5
、
十名参
赛者的平均得分是
82
分，前
6
人的平均分是
83
分，后
6
人的平均分是
80
分，那么第<
/p>
5
人和第
6
人的
平均分是多少分？
6
、
一个技
术工带
5
个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得
120
元，这位技工的收入比他们
6
人的平均收
入还多
20
元，问这位技术工得多少元？
2
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课
题
授课时间：
加法乘法原理
授课教师：
我们已经学会了用列举法
解答一些简单的计数问题。但是如果需要列举的对象
知
识
点
梳
理
较多时，就必
须先进行分析，然后找出一定的规律，采用计算的方法解决问题。加
法原理和乘法原理就
是列举时采用的两个基本计数原理。掌握这两个原理，可以解
决许多计数问题，而且为学
习排列组合做好准备。这节我们从基本例子入手，说明
加法原理和乘法原理的实际运用。
解题方法：
分步用乘法；分类用加法。
例
1
书架上有
15
本故事书，
20
本科普读物书。
（
1
）
、小明任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？
（
2
）
、如果从书架上取
一本故事书和一本科普书，共有多少种不同的取法
?
分析：<
/p>
（
1
）小明从书架上取一本故事书或一本
科普书都是一种不同的取法。因此取故事书有
15
中取法，取科
普书
有
20
种取法。所以一共有
15+20=35
（种）不同的取法。
（
2
）如果把取故事书当作第一步骤，取科普书为第二步骤。
小明取了第一本故事书后，再取科普书，
可以取
20
本中的任意一本，所以有
20
种不
同的取法。取出故事书
15
本中的
任意
一本，都可以取
20
本中的任意一本组成一种不同的取法，因此
，一共有
15
×
20=300(
种
)
不同的取法。
教学内容
例
2
用数字
0
、
3
、
2<
/p>
、
6
、
8
、
9
可以组成多少个三位数（各位上的数字允
许重复）？
分析：
组成一个三位数要
分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，除
0
以外有
5
种选法；第二步确定十位数上的
数字，因为数
字可以重复，有
6
种选法；第三步确定个位上的数字，也有
6
种选法，再根据乘法原理计算。
例
3
从甲地到乙地有
2
条路，从乙地到丙地有
4
条
路，从甲地到丁地有
3
条路，从丁地到丙地也有
3
条
3
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路。问：从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
例
4 <
/p>
有
A
、
B
、
C
三个方格（如图）
。现在有红、蓝、黄、绿四种颜料给图中方格染色，使相邻方格颜
色不同，问有多少种
不同的染色方法？
A
B
C
分析：
首先将染色的过程
分为依次给
A
、
B
、
C
染色三步。先给
A
染色，因为有四种颜色，故有四种不同的染色方
法；第
2
步给
B
染色，因不能与
A
同色，还剩下
3
种颜
色可选择，故有三种不同的染色方法；第
3
步给
C
染色，因
为不能与
A
、
B
同色，故有
2<
/p>
种不同的染色方法。根据乘法原理计算。
练习：
1
、
商店里
有
6
件不同的上衣，
5
件不同的裙子。
（
1
）
妈妈为女儿买上衣一件或裙子一条，有多少种不同的选法？
（
2
）
妈妈为女儿买上衣一件和裙子一条，有多少种不同的选法？
2
、
第一小
队有
9
位女同学和
8
< br>位男同学。
（
1
）
老师在第一小队里选一位同学担任旗手，有多少种不同的选法？
（
2
）
老师在第一小队里选一位男同学和一位女同学担任旗手，有多少种不同的选法？
3
、
< br>有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套 装
束。问：有多少种不同装束？
4
、
“
TMO
”是国际数学奥林匹克缩写，把这
3
个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求
能写出多少种不同颜色搭配的“
IMO
”？
< br>
5
、
用数字
5
、
6
、
7
、
9
可
以排成多少个没有重复数字的（
1
）两位数？
< br>(2)
三位数？（
3
）四位数？
6
、
用
2
、
4
、
5
、
8
、
0
五个数字，组成没有重复数字的四位数，共可以
组成多少个？
7
、
从甲地
到乙地有
2
条路，从乙地到丁地有
3<
/p>
条路，从丁地到丙地有
2
条路，从丙地到
甲地有
1
条路
.
问：从甲
地到丁地有多少种不同的走法？
8
、
如图：
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相
邻的区域染不同
的颜色，共有多少种不同的染色方法？
4
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课
题
授课时间：
还原问题
授课教师：
知
识
点
梳
理
还
原问题：
一个数量经过若干次变化成了另一个结果从结果出发根据每一次变化情
况，一步步地倒着想，把结果还原成开始状态的问题
对于简单的还原问题：可直接列式一步步倒着推算
对于变化复杂的问题：可借助列表和画图来帮忙解决问题
例题
1
.
小刚的奶
奶今年年龄减去
7
后，
缩小
9
倍，
再加上
2
之后，
扩大
10
倍，<
/p>
恰好是
100
岁，
小刚的奶奶今年多少岁？
分析：
这
属于简单的还原问题，所以可以直接列式一步步倒着推算。
例题
2
.
某
商场出售洗衣机，上午出售总数的一半多
10
台，下午出售剩下
的一半多
20
台，还剩
95
台，这个商场原来
有洗衣机多少台？
教学内容
例题
3
、
小明
.
小强和小勇三个人共有故事书
60<
/p>
本。如果小强向小明借
3
本后，又借给小
勇
5
本，结果三个人有的故
事书的本数
正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？
分析
：
无论三个人怎么借，书的总数是不变的，这样就可以开始倒推运算了。<
/p>
例题
4
、
甲乙两桶油
各有若干千克，
如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，
再从乙桶倒出和甲桶同样多
的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是
36
千克，问两桶油原来各有多少千克？
< br>分析：
从后往前倒推，即：如果后来乙桶不倒出和甲桶一样的油放入甲桶，可得出
甲桶内应有油多少克。
5
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例题
5<
/p>
、
两只猴子拿了
26
个桃子，甲猴眼疾手快，抢先得到，乙猴看到甲猴拿到太多，就去抢一半，甲猴不服，又
从乙猴那儿抢走了一半，乙猴不肯，甲猴就还给乙猴
5
个，
这时乙猴比甲猴多
2
个，问甲猴最初准备拿几个？
分析：
要根据已知条件先求出两只猴子现在各拿了
多少个桃，问题就会迎刃而解。
练习
：
1
、在
□
里填上适当的数
20
×□÷
8
＋
16
＝
26
2
、一个数的
3
倍加上
6
，再减
去
9
，最后乘以
2
，结果是
60
，就这个数。
3
、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：
“把我的年纪加上
9
，除以
4
，减去
2
，再乘上
3
，恰好是
30
岁，
”问王老
师今年多少岁？
4
、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多
3
< br>吨，第二次运出剩下的一半多
5
吨，还剩下
4
吨，问粮库原来有大
米多少吨？
< br>
5
、甲乙丙三个小朋友共有贺年卡
90
张，如果甲给乙
3
张后，乙又
送给丙
5
张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。
问甲乙丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？
6<
/p>
、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片给李强，李强再拿出同样
多的画片给王良，这
是两个人都有
24
张，问王亮和李强原来各有画片多少张？
7
< br>、有甲
.
乙
.
< br>丙三个数，从甲数中拿出
15
加到乙数，再从乙数中拿出
18
加到丙数。最后从丙数拿出
12<
/p>
加到甲数，这是
三个数都是
180.
问甲乙丙三个数原来各是多少？
6
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课
题
授课时间：
分类数图形
授课教师：
知
识
点
梳
理
1
.
做该类型题时，遵循不重复
.
不遗漏的原则，就能使数出的结果准确
2.
2.
分
类数图形的方法能够帮助我们找到数图形的规则，从而有秩序
.
有条理并且
正确地数出图形的个数
例
1
下面图形中有多少个正方形？
分析：
图中的正方形的个数可以分类数
例
2
下图中共有多少个三角？
分析：
为了保证不漏数而又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相
加
例
3
数出下图中所有三角的个数
分析：<
/p>
同位置的三角形一起数，例如：
是同类<
/p>
例
4
如下图，平面上有
12
个点，可任意取其中四
个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？
7
教学内容
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分析：
把相邻的两点连接起来，即可得到图形
例
5
数一数，下图中共有多少个三角形
分析：
分类数三角法
？练习：
1.
下图共有多少个正方形
2
.
下图中
共有多少个正方形，多少个三角形？
3.
下面图中共有多少个三角
4.
数一数，图中共有多少个三角
8
莱特
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5
、
数出下面图中分别有多少个三角
6.
图中共有（
）个三角
7.
图中共有（
）个三角形
9
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1+
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课
题
授课时间：
长方形、正方形的周长
授课教师：
知
识
点
梳
理
公
式：长方形的周长
=
（长
+
宽）×
2
正方形的周长
=
边长×
4
例题
1
.
一块长方形木板，
沿着它的长度不同的两条边各截去
4
厘米，
截掉的总面积为
< br>192
平方厘米。
现
在这块木板
的周长是多少厘米？
例题
2
.<
/p>
求下图的周长
（单位：厘米）
分析：
可将图补充完整，再计算
例题
3<
/p>
、
如图的正方形分成甲
.
乙两部分，下面哪几句话正确的？
A
甲的周长比乙大
B
甲乙周长相等
C
甲的面积比乙大
D
甲乙面积相等
教学内容
10