历年初联真题
-
2014
年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题：
（本题满分
42
分，每小题
7
分）
1
．<
/p>
已知
x
,
y
为整数，且满足
(
1
x
1
1
1
2
1
1
)(<
/p>
2
2
)
(
4
4
)
，则
x
y
的可能的值
y
x
y
3
x
y
有（）
A. 1
个
B. 2
个
C. 3
个
D.
4
个
2
．<
/p>
已知非负实数
x
,
y
,
z
满足
x
y
z<
/p>
1
，则
t
2
xy
yz
2
zx
的最大值为（）
4
5
9
12
B
．
C
．
D
．
7
9
16
25
3
．
在
△
ABC
中，
AB
AC
，
D
为
BC
的中点，
BE
AC
于
E<
/p>
，交
AD
于
P<
/p>
，已知
BP
3
，
PE
1<
/p>
，则
AE
＝（）
A
．
A
．
6
B
．
2
C
．
3
D
．
6
2
4
．
6
张不同的卡片上分别写有数字
2
，
2
，
4
，
< br>4
，
6
，
6
，从中取出
3
张，则这
3
张卡片
上所写的数字可以作为三角形的三边长的
概率是（）
A
．
1
2
2
3
B
．
C
．
D
．
2
5
3
4
3
5
．
设
[
< br>t
]
表示不超过实数
t
的最大整数，令
{
t
}
t
[
t
]
.
已知实数<
/p>
x
满足
x
1
18
，
3
x
1
x
1
1
A
．
B
．
3
5
C
．
(3
5)
D
．
1 <
/p>
2
2
6
．
在
△
ABC
中，
C
90
，
A
60
，
AC
1
，
D
在
BC
上，
E
在
AB
上，使得
△
ADE
为等腰直角三角形
,
ADE
90
,
则
BE
的长为（）
< br>1
A
．
4
2
3
B
．
2
3
C
．
(
3
1)
D
．
3
1
2
则
{
x
}
{
< br>}
（）
二、填空题：
（本题满分
28
分，
每小题
7
分）
1
．
已知实数
a
,
b
,
c
满足
a
b
c
1
，
2
．
使得不等式
1
1
1
1
，
则
abc
____
．<
/p>
a
b
c
b
c
a
c
a
b
9
n
8
对唯一的整数
k
成立的最大正整数<
/p>
n
为．
17<
/p>
n
k
15
3
．
已知
P
为等腰△
ABC
内一点，
AB
BC
，
BPC
108
，
D
为
AC
的中点，
BD
与
PC
交于点
E
，如果点
P
为△
ABE
的内
心，则
PAC
．
2
4
．
已知正整数
a
,
b
,
c
满足
:
1
a
b
c
，
a
b
c
111
，
b
ac
，则
b
．
第二试（
A
）
一、
（本题满分
20
< br>分）
设实数
a
,
b
满足
a
2
< br>(
b
2
1)
b
(
b
2
a
)<
/p>
40
，
a
(
b
1)
b
8
，
求
1
1
的值．
a
2
b
2
二．<
/p>
（本题满分
25
分）
如图，在平行四边形
ABCD
中，
E
为对角线
BD
上一点，且满
足
ECD
ACB
,
AC
的延长线与△
ABD
的外接圆交于点
F
.
证明：
DFE
AFB
．
D
A
E
C
F
B
三．
（本
题满分
25
分）
设
n
是整数，
如果存在整数
x
,
y
,
z
满足
n
x
y
z
< br>
3
xyz
，
< br>则称
n
具有性质
P
.
在
1
，
< br>5
，
2013
，
2014
这四个数中，哪些数具有性质
P
，哪些数不具有性
质
P
？并
说明理由
.
3
3
3
第二试（
B
）
<
/p>
一．
（本题满分
20
分）
同（
A
）卷第一题
.
二．
（本题满分<
/p>
25
分）
如图，已知
O
为△
ABC
的外心，
AB
AC
，
D
为△
OBC
的
外接圆上一点，过点
A
作直线
< br>OD
的垂线，垂足为
H
.
若
BD
7
，
DC
3
，求
AH
.
A
O
H
D
B
C
三．<
/p>
（本题满分
25
分）
设
n
是整数，如果存在整数
x
,
y
,
z
满足
n
x
y
z
3
xyz
，则称
n
具有性质
P
.
（
1
）试判断
1
，
2
，
3
是否具有性质
P
；<
/p>
（
2
）在
1
，
2
，
3
，
…
，
2013
，
2014
这
2014
个连续整数中，不具有性质
P
的数有多少
个？
3
3
3
2013
年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分
42
分，每小题
7
分
）
1.
计算
4
3
2
2<
/p>
41
24<
/p>
2
（）
（
A
）
2
1
（
B
）
1 <
/p>
（
C
）
2
2.
满足等式
<
/p>
2
m
m
2
m
2
（
D
）
2
1
< br>的所有实数
m
的和为（）
（
A
）
3
（
B
）
4
（
C
）
5
（
D
）
6 <
/p>
3.
已知
AB
是
圆
O
的直径，
C
为圆
O
上一点，
< br>CAB
15
，
ABC
的平分线交圆
O
于点
D
，若
CD<
/p>
3
，则
AB=
（）
（
A
）
2 <
/p>
（
B
）
6
（
C
）
2
2
（
D
）
3 <
/p>
4.
不定方程
3
x
2
7<
/p>
xy
2
x
5
y
17
0
的全部正整数
角（
x,y
）的组数为（）
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
4 <
/p>
5
矩形
ABCD
的边长
AD=3
，
AB=2
，
E
为
AB
的中点，
F
在线段
BC
上，且
BF
：
FC
=1
：
2
，
AF
分别与
DE
，
DB
交于点
M
，
N
，则
MN=
< br>（）
（
A
）
3
5
5
5
9
5
11
5
（
B
）
（
C
）
（
D
）
7
14
28
28<
/p>
6.
设
n
为正整
数，若不超过
n
的正整数中质数的个数等于合个数，则称
n
为
―
好数
‖
，那么，
所有
―
好数
‖
之和为（）
（
A
）
33
（
B
）
34
（
C
）
201
3
（
D
）
2
014
二、填空题（本题满分
28
分
，每小题
7
分）
1.
已知实数
x
,
y
,
z
满足
< br>x
y
4,
z
1
xy
2
y
9,
则
x<
/p>
2
y
3
z
2.
将一个正方体的表面都染成红色，再切割成
n
(
n
2)<
/p>
个相同的小正方体，若只有一面是
红色的小正方体数目与任何面都
不是红色的小正方体的数目相同，则
n=
3.
在
ABC
中，
A
60
,
C
75
,
AB
10
，
D
，
E
，
F
分别在
AB
，
BC
，
CA
上，
则
DEF
的周长最小值为
4.
如果实数
x
,
y
,
z
满足
x
y
z
xy
yz
zx
8
，用
A
表示
x
y
< br>,
y
z
,
z
x
的
2
2
2
3
最大值，则
A
的最大值为
第二试（
A
）
2
2
2
2
一、
（本题满分
20
分）已知实数
a
,
b
,
c
,
d
满足
2
a
3
c
2
b
3
d
ad
bc
6,
求
2
a
2
b
2
c
2
< br>d
2
的值。
< br>
二、<
/p>
（本题满分
25
分）已知点
C
在以
AB
为直径的圆
O
上，过点
B
、<
/p>
C
作圆
O
的切线
，交
于点
P
，连
AC
，若
OP
三、<
/p>
（本题满分
25
分）已知
t
是一元二次方程
x
x
1
0
的一个根，若正整数
a
,
b
,
m
使得
等式
at
m
bt
m
31<
/p>
m
成立，求
ab
的值。
2
9
PB
AC
，求
的值
。
2
AC
第二试（
B
）
一、
（本题满分
20
< br>分）已知
t
2
1
，若正整数
a
,
b
,
m
使得等式
at
m
bt
m
17
m
成立，求
ab
的值。
二、
（本题满分
25
分）在
ABC
中，
AB>AC
，
O
、
I
分别是
ABC
的外心和内心，且满足
AB-
AC=2OI
。
求证：
（
1
）
OI
∥
BC
；
< br>（
2
）
S
AOC
S
AOB
2
S
AOI
。
三、
（本题满分
25
分）若正数
a
,
b
,
c
满足
:
b
2
< br>
c
2
a
2
c
2
a
2
b
2
a
2
b
2
c
< br>2
3
，
2
bc
2
ca
2
ab
2
2
2
b
2
c
2
a
2
c
2
a
2<
/p>
b
2
a
2
b
2
c
2
求代数式
的值。
2
bc
2
ca
2
ab
2012
年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分
42
分，每小题
7
分
）
1
．
已知
a
2
1
，
b
3
2
，
c
6
< br>2
，那么
a
,
< br>b
,
c
的大小关系是（）
A.
a
b
c
B.
a
c
b
C.
b
a
c
D.
b<
/p>
c
a
2
．
方程
x
2
2
xy
3
y
2
34
的整数解
(
x
,
y
)
的组数为（）
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
3<
/p>
．
已知正方形
ABCD
< br>的边长为
1
，
E
为
BC
边的延长线上一点，
C
E
＝
1
，连接
AE
，与
CD
交于点
< br>F
，连接
BF
并延长与线段
DE
交于点
G
，则
BG
的长为（）
A
．
6
5
2
6
2
5
B
．
C
．
D
．
3
3
3
3
2
2
4
4
4
．
已知实数
a
,
b
满足
a
b
1
< br>，则
a
ab
< br>
b
的最小值为（）
A
．
1
9
B
．
0
C
．
1
D
．
8
8
2
2
3
2
3
5
．
若方程
x
2
px
3
p
2
0
的两个不相等的实数根
x
1
,
x
2
满足
x
1
x
1
4
(
x
2
x
2
)
，
则实数
p
的所有可能的值之和为（）
A
．
0
B
．
3
5
C
．
1
D
．
4
4
6
．
由
1
，
2
，
3
，
4
< br>这四个数字组成四位数
abcd
（数字可重复使用）
，
要求满足
a
<
/p>
c
b
d
.
这样的四位数共有（）
< br>
A
．
36
个
B
．
40
个
C
．
44
个
D
．
48
个
二、填空题（本题满分
28
分，每小题
7
分）
1
．
已知互不相等的实数
a
,
b
,
c
满
足
a
1
1<
/p>
1
b
c
t
，则
t
_________
．
b
c
a
m
2
．
使得
5
2
1
是完全平方数
的整数
m
的个数为．
BC
＝．
A
P
a
b
c
4<
/p>
a
b
c
4
，
2
2
2
，
4
．
已知实数
a
,
< br>b
,
c
满足
abc
1
，
a
3
a
1
b
<
/p>
3
b
1
c
3
c
1
9
3
．
在
△
ABC
中，已知
AB
＝
AC
，∠
A
＝
40°
，
P
为
AB
上一点，∠
ACP
＝
2
0°
，则
2
2
2
则
a
b<
/p>
c
＝．
第二试
一、
已知直角三角形的边长均为整数，周长为
60
< br>，求它的外接圆的面积
.
二、<
/p>
如图，
PA
为⊙
O
的切线，
PBC
为⊙
O
的割线，
AD
⊥
OP
于点
D
，
△
ADC
的外接圆与
BC
的另一个交点为
E.
证明：∠
BAE
＝∠
ACB
．<
/p>
A
O
D
P
B
E
C
三、
已知
抛物线
y
1
2
x
bx
c
的顶点为
P
，与
x
轴的正半轴交于
A
(
x
1
< br>,0)
、
B
(
< br>x
2
,0)
6
< br>（
x
1
x
2
）两点，与
y
< br>轴交于点
C
，
PA
是
△
ABC
的外接圆的切线
.
将抛物线向左平移
24(
3
1)
个单位，得到的
新抛物线与原抛物线交于点
Q
，且∠
Q
BO
＝∠
OBC.
求抛物线的
解析式
.
2010
年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题：
（本题满分
42
分，每小题
7
分）
1.
若
a
,
b
,<
/p>
c
均为整数且满足
(
a
b
)
10
(
a
c
)
10
<
/p>
1
，则
|
a
b
|
|
b
c
|
|
c
< br>
a
|
（）
A
．
1.
B
．
2.
C
．
3.
D
．
4.
2
．
若实数
a
,
b
,
c
满足等式
2
a
<
/p>
3|
b
|
6
，
4
a
9
|
b
|
6
c
< br>，则
c
可能取的最大值为（）
A
．
0.
B
．
1.
C
．
2.
D
．
3.
3
．
若
a
,
b
是两个正数，且
a
1
b
1
1
0
,
则（）
b
a
A
．
0
a
b
1
< br>1
4
4
.
B
．
a
b
1
.
C
．
1
a
b
.
D
．
a
b
2
.
3
3
3
3
4
．
若方程
x
2
3
x
1
0
的两根也是方程
x
4
ax
2
bx
c
0
的根，
则
a
b
2
c
的值为
（）
< br>
A
．－
13.
B
．－
9.
C
．
6.
D
．
0.
5
．
在
△
ABC
中，已知
CAB
60
< br>
，
D
，
E
分别是边
AB
，
< br>AC
上的点，且
AED
60
，
ED
DB
CE
，
CDB
2
CDE
,
则
DCB
(
)
A
．
15°
.
B
．
20°
.
C
．
25°
.
D
．
30°
.
6
．
对
于
自
然
数
n
，
将
其
各
位
< br>数
字
之
和
记
为
a
n
，
如
a
2009
2
0
<
/p>
0
9
11
，
a
2010<
/p>
2
0
1
0
3
，
a
1
a
2
a
3
a
2009
a
2010
（）
A
．
28062.
B
．
28065.
C
．
28067.
D
．
28068.
< br>二、填空题：
（本题满分
28
分
，每小题
7
分）
x
3
y
3
19,
2
2
1
．
已知
实数
x
,
y
满
足方程组
则
x
y
.
x
y
<
/p>
1,
2
．
二次函
数
y
x
<
/p>
bx
c
的图象
与
x
轴正方向交于
A
< br>，
B
两点，
与
< br>y
轴正方向交于点
C
．
已
知
AB
2
3
AC
，
CAO
30
，则
c
．
3
．
< br>在等腰直角
△
ABC
中，
AB
＝
BC
＝
5
，
P
是
△
ABC
内一点，且
PA
＝
5
，
PC<
/p>
＝
5
，则
PB<
/p>
＝
______
．
4
．
将若干个红、黑两种颜色的球
摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有
5
个或
10
个球的两个球必为同一种颜色的球
.
按这种要求摆放，最多可以摆放
_______
个球
.
第二试（
A
）
一
．
（
本
题
满
分
20
分
）
设
整
数
a
,
b
,
c
（
a
b
c
）
为
三
角
形<
/p>
的
三
边
长
，
满
足
a
2
b
2
c
2
ab
ac
bc
13
，求符合条件且周长不
超过
30
的三角形的个数
.
二．<
/p>
（本题满分
25
分）
已知等腰三角形
△
ABC
中，
AB
＝
AC
，∠<
/p>
C
的平分线与
AB
边交于点
P
，
M
为
△
ABC
的内切圆⊙
I
与
BC
边的切点，作<
/p>
MD//AC
，交⊙
I
< br>于点
D.
证明：
PD
是⊙
I
的切线
.
A
P
I
D
C
B
M
三．
（本题满分
25
分）
已知二次函数
y
x
bx
c
的图象经过两点
P<
/p>
(1,
a
)
，<
/p>
Q
(2,10
a
)
.
（
1
）
如果
a
,
b
,
c
都是整数，且
c
b
8
a
，求
a
,
b
,
c
的值
.
（
2
）设二次函数
y
x
bx
c
的图象与
x
轴的交点为
A
、
B
，与
y
轴的交点为
C.
如果关
2
于
x
的方程
x
bx
c
0
的两个根都是整数，求
△
ABC
的面积
.
2
2
第二试（
B
）
2
2
2
一．<
/p>
（
本题满分
20
分）
设整数
a
,
b
,
c
为三角形的三边长，
满足
a
b
c
ab
ac
bc
13
，
求符合条件且周长
不超过
30
的三角形的个数（全等的三角形只计算
1
次）
.
二．
（本
题满分
25
分）题目和解答与（
A
）卷第二题相同
.
三．
（本题满分
25
分）题目和解答
与（
A
）卷第三题相同
.
第二试（
C
）
一．
（本题满分
20
< br>分）题目和解答与（
B
）卷第一题相同
< br>.
二．
（本题满分
25
分）题目和解答与（
A
）卷第二题相同
.
三．
（本题满分
25
分）
设<
/p>
p
是大于
2
的质
数，
k
为正整数．
若函数
y
x
2
< br>
px
(
k
1
)
p
4
的图象与
x
轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求
k
的值．
2009
年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分
42
分，每小题
7
分
）
1.
设
a
7
1<
/p>
，则
3
a
3
12
a
2
6
a
12
（）
A.24.
B.
25.
C.
4
7
10<
/p>
.
D.
4
7
12
.
2
．
在
△
ABC
中，最大角∠
A
是最小角∠
C
的两倍，且
AB
＝
7
，
AC
＝
8
，则
BC
＝（）<
/p>
A.
7
2
.
B.
10
.
C.
3
．
用
[
x
]
表示不大于
x
的最大整数，则方程
x
2
2[
x
]
3
0
的解的个数为（）
A.1.
B.
2.
C. 3.
D.
4.
4
．
设正方形
ABCD
的中心为点
O
，在以五个点
A
、
B
、
C
、
D
、
O
为顶点所构成的所有三角
形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）
A.
105
.
D.
7
3
.
3<
/p>
3
1
4
.
B.
.
C.
.
D.
.
14
7
2
7<
/p>
A
D
5
．
如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝
3
，
BC
＝
2
，以
BC
为直径在矩形内作
半圆，自
点
A
作半圆的切线
AE
，则
sin
CBE
＝（）
2
1
6
10
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
10<
/p>
6
．
设
n
是大于
1909
的
正整数，使得
E
B
C
< br>n
1909
为完全平方数的<
/p>
n
的个数是（）
2009
n
A.3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
二、填空题（本题满分
28
分，每小题
7
分）
2
1
．
已知
t
是实数，若
a
,
b
是关于
x
的一元二次方程
x
2
x
t
1
0
的两个非负实根，则
(
a<
/p>
2
1)(
b<
/p>
2
1)
的最小
值是
____________.
2
．
设
D
是
△<
/p>
ABC
的边
AB
上的一点，作
DE//BC
交
AC
于点
E
，作
DF/
/AC
交
BC
于点
F
，
已知
△
ADE
、
△
DBF
< br>的面积分别为
m
和
n
，则四边形
DECF
的面积为
______.
2
2
2
2
3
．
如果实数
a
,
b
满足条件
a
b
1
，
|1
2
a
b
|
2
a
1
b
a
，则
a
b
______.
4
．
已知
a
< br>,
b
是正整数，且满足
2(
15
15
)
是整数，则这样的有序数对
(
a
,
b
)
共有
___
对
.
a
b
第二试（
A
）
一．
（
本题满分
20
分）
已知二次函数
y
x
bx
c
(
c
0)
的图象与
x
轴的交点分别为
A
、
B
，与
y
轴的交点为
C.
设△
ABC
的外
接圆的圆心为点
P.
2
（
1
）证明：⊙
P
与
y
轴的另一个交点为定点
.
（
2
）如果
AB
恰好为⊙
P
的直径且
S
△
ABC
＝
2
，求
b
和
c
的值
.
二．
（本题满分
25
分）
设
CD
< br>是直角三角形
ABC
的斜边
AD
上的高，
I
1
、
I
2
分别是△
ADC
、
△
BDC
< br>的内心，
AC
＝
3
，
BC
＝
4
，求
I
1
I
< br>2
.
三．<
/p>
（本题满分
25
分）
已知
a
,
b
,
c
为正数，满足如下两个条件：
a
b
c
32
①
b
c
a
c
a
b
a
b
c
1
②<
/p>
bc
ca
ab
4
证明：以
a
,
b
,
c
为三
边长可构成一个直角三角形
.
第二试（
B
）
一．
（本题满分
20
< br>分）题目和解答与（
A
）卷第一题相同
< br>.
二．
（本题满分
25
分）
已知
△
ABC<
/p>
中，∠
ACB
＝
90°
，
AB
边上的高线
CH
与
△
ABC
的两条
内角平分线
AM
、
BN
分别交于
P
、
Q
两点
.PM
、
QN
的中点分别为
E
、
F.
求证：
EF
∥
AB.
三．<
/p>
（本题满分
25
分）题目和解答与（
A
）卷第三题相同
.
第二试（
C
）
一．
（本题满分
20
< br>分）题目和解答与（
A
）卷第一题相同
< br>.
二．
（本题满分
25
分）题目和解答与（
B
）卷第二题相同
.
三．
（本题满分
25
分）
已知
a
< br>,
b
,
c
为正数，满足如下两个条件：
a
b
c
32
①
b
c
a
c
a
b
a
b
c
1
②
bc
ca
ab
4
是
否存在以
a
,
b
,
c
为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角<
/p>
.
2008
年全国初中数学联赛
2008
年
4
月
13
日上午
8
：<
/p>
30
—
9
：
30
一、选择题：
（本题满分
42
分，每小题
7
分）<
/p>
1
、设
a
2
+ 1 = 3
a
< br>，
b
2
+ 1 = 3
b
，且
a
≠
b
，则代数式
（
A
）
5
（
B
）
7
（
C
）
9
（
D
）
11
1
1
+
2
的值为（）
.
2
a
b
A
F
2
、如图，设
AD
，
BE
，
CF
为
△
ABC
的三条
高，若
AB = 6
，
BC =
5
，
EF = 3
，则线段
BE
的长为（）
.
（<
/p>
A
）
E
D
C
18
21
24
（
B
）
4
（
C
）
（
D
）
5
5
5
3
、从分别写有数字<
/p>
1
，
2
，
3
，
4
，
5
的
5
张卡片中任意取出
两张，把第
B
一张卡片上的数字作为十位数字，
第二张卡片上的数字作为个位数字，
组成一个两位数，
则
所组成的数是
3
的倍数的概率是（）
.
1
3
2<
/p>
1
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
5
10
< br>5
2
4
、在
△
ABC
中，∠
ABC =
12°
，∠
ACB = 132°
，<
/p>
BM
和
CN
分别
是这两个角的外角平分线，
且点
M
，<
/p>
N
分别在直线
AC
和直线
AB
上，则（）
.
（
A
）
BM
> CN
（
B
）
BM = CN
（
C
）
BM
< CN
（
D
）
BM
和
CN
的大小关系不确定
5
、现有价格
相同的
5
种不同商品，从今天开始每天分别降价
10
％或
20
％，若干天后，
这
5
种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为<
/p>
r
，则
r
的最小
值为（）
.
9
9
9
9
（
A
）
(
)
3
（
B
）
(
) <
/p>
4
（
C
）
(
)
5
（
D
）
8
8
8
8
6
、
已知实数
x
，
y
满足
(
x
–
x
2
2008
)
(
y
–
y
2
2008
) = 2008
，
则
3
x
2
–
2
y
2
+ 3
x
–
3
y
–
2007
的值为（）
.
（
A
）
–
2008
（
B
）
2008
（
C
）
–
1
（
D
）
1
二、填空题：
（本题满分
28
分，每小题
7
分）<
/p>
N
A
O
B
M
C
D
a
5
a
4
2
a
3
a
2
a
2
5<
/p>
1
1
、设
a
=
，则
=.
a
3
a
2
2
、
如图，
正方形
ABCD
的边长为
< br>1
，
M
，
N
为
BD
所在直线上的两点，
且
AM =
5
，
∠
MAN
= 135°
< br>，则四边形
AMCN
的面积为
.
3
、已知二次函数
y
< br>=
x
2
+
a x
+
b
的图象与
x
轴的两个交点的横坐标分别为
m
，
n
，且
|
m
| + |
n
| ≤ 1
。设满足上述要求的
b
的最大值和最小值分别为
p
，
q
，则
|
p
| + |
q
| =.
4
、依次将正整数
1
，
2
，
3
，
…
的平方数排成一串：
6481100121144…
，
排在第
1
个位置的数字是
1
，
排在第
5
个位置的数字
是
6
，
排在第
10
个位置的数字是
4
，
排在第
2008
个位置的数字是
.
2008
年全国初中数学联赛
2008
年
4
月
13
日上午
10
：
00
—
11
：
30
第二试（
A
）
一、
（本题满分
20
< br>分）已知
a
2
+
b
2
=
1
，对于满足条件
0
≤
x
≤ 1
的一切实数
x
，不等式
a
( 1
–
x
)
( 1
–
x
–
a x
)
–
bx
(
b
–
x
–
b x
) ≥ 0
< br>恒成立，当乘积
ab
取最小值时，求
a
，
b
的值
.
二、
（本题满分
25
分）如图，圆
O
与圆
D
相交于
A
，
B
两点，
BC
为圆
D
的切线，点
C
在
圆
O
上，且
AB = BC.
（
1
）证明：点
O
在圆
D
的圆周上；
<
/p>
（
2
）设
△
ABC
的面积为
S
，求圆
D
的的半径
r
< br>的最小值
.
三、
（本题满分
25
分）设
a
为质数，
b
为正整数，且
9 ( 2
a
+
b
)
2
= 509 ( 4
a
+ 511
b
)
求
a
，
b
的值
.
第二试（
B
）
一、
（本题满分
20
< br>分）
已知
a
2
+
b
2
=
1
，
对于满足条件
x
< br> +
y
=
1
，
xy
≥
0
的一切实数对
(
x
，
y
)
，
不等式
a
y
2
–
x y
+
b
x
2
≥
0
恒成立，当乘积
a b
取最小值时，
求
a
，
b
的值
.
二、（本题满分
< br>25
分）题目和解答与（
A
）卷
第二题相同
.
三、（本题满分
25<
/p>
分）题目和解答与（
A
）卷第三题相同<
/p>
.
第二试（
C
）
一、
（本题满分
25
< br>分）题目和解答与（
B
）卷第一题相同
< br>.
二、
（本题满分
25
分）题目和解答与（
A
）卷第二题相同
.
三
、（
本
题
满
分
25
分
）
设
a
为
质
数
，
< br>b
，
c
为
正
整
数
，
且
满
足
9(2
a
2
b
c
)
2
509(4
a
1022
b
51
1
c
)
，求
a
(
b
+
c
)
的值
.
b
c
2
2007
年全国初中数学联合竞赛试题
2006
年全国初中数学联合竞赛试题
2005
年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题：
(
每题
< br>7
分，共
42
分
)
1
、化简：
1
4
＋
59+30
2
＋
1
3
－
66
－
40
2
的结果是＿＿。
A
、无理数
B
、真分数
C
、奇数
D
、偶数
2
、圆内接四条边长顺次为
5
、
10
、
11
、
14
；则这个四边形的面积为＿＿。
A
、
78
1
1
B
、
97
C
、
90
D
、
102
2
2
3
、设
r
≥4
，
a
＝
－
1
r
1
1
，
b
＝
1
－
1
，
c
＝
，则下列各式一定成立的是＿
r+1
r
r+1
r(
r
+
r+1)
＿。
A
、
a>b>c
B
、
b>c
>a
C
、
c
>a>b
D
、
c>b>a
4
、
图中的三块阴影部分由两个半径为
1
的圆及其外公切线分割而成，
如果中间一块阴影的面积等
于上下两块面积之和，
则这两圆的公共弦
长是＿＿。
A
、
5
6
1
25
－
< br>π
2
D
、
1
16
－
π
2
B
、
C
、
2
2
2
2
5
、已知二次函数
f
(x)
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图象如图所示，
记
p
＝
|a
－
b
＋
c|
＋
|2a
＋
b|
，
q
＝
|a
＋
b
< br>＋
c|
＋
|2a
－
b|
，则＿＿。
A
、
p>q
B
、
p
＝
q
C
、
p
D
、
p
、
q
大小关系不能确定
0
1
6
、若<
/p>
x
1
，
x
2
，
x
3
，
x
4
，
x
5
为互不相等的正奇数，满足
(2005
－
x
1
< br>)(2005
－
x
2
)(2005
－
x
3
)(2005
2
2
2
2
2
－
x<
/p>
4
)(2005
－
x
5
)
＝
2
4
2
，则
x
1
的未位数字是＿＿。
+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
A
、
1
B
、
3
C
、
5
D
、
7
二、
填空题
(
共
28
分
)
1
、不超过
< br>100
的自然数中，将凡是
3
或
5
的倍数的数相加，其和为＿＿。
<
/p>
2
、
7x
+9x
+13+
7x
－
5x+13=7x
，则
x
＝＿＿＿。
3
、若实数
x
、
y
满足
2
2
x
＋
y
=1,
x
＋
y
=1,
则
x
＋
y
＝＿＿。
3
3<
/p>
+4
3
3
3
+6
3
5
3
+4
3
5
3
+6
3
4
、已知锐角三
角形
ABC
的三个内角
A
、
B
、
C
< br>满足：
A
＞
B
< br>＞
C
，用
a
表示
A
－
B
，
B
－
C
以
及
90°
－
A
中的最小者，则
a
的最大值为＿＿＿。
三、解答题
(
第
1
题
20
分，第
2
、
3
题各
2
5
分
)
1
、
a
、
b
、
c
为实数，
ac
＜
0
，且
2a+
3b+
5c=0
，证明：一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
有<
/p>
大于
3
而小于
1
的根。
4
另
一版本
1
、
a
、
b
、
c
为实
数，
ac
＜
0
，且
2a+
3b+
5c=0
，证明：一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
有大于
3
而小于
1
的根。
5
2
、锐角
Δ
ABC
中，
AB
＞
AC
，
CD
、
BE
分别是
AB
、
AC
边上的高，过
D
作
BC
的垂线交
BE
于
F
，交
CA
的
延长线于
P
，过
E
作
BC
的垂线，交
CD
于
G
，交
BA
的延长线于
Q
，证
明：<
/p>
BC
、
DE
、<
/p>
FG
、
PQ
四条
直线相交于一点。
另一版
本
2
、锐角
ΔABC
< br>中，
AB
＞
AC
，
CD
、
BE
分别是
AB
、
AC
边上的高，
DE
与
BC<
/p>
的
延长线交于
T
，
过
D
作
BC
的垂线交
BE
于
F
，
过
E
作
BC
的垂线交
CD
于
G
，
证明：
F
、
G
、
T
共线。
3
、
a
、
b
、
c
为整数，且
a
2
＋
b
3
＝
c
4
，求
c
的最小值。
2004
年全国初中数学联合数学竞
赛试题
第一试
一．选择题
a
2
b
2
c
2
1
．已知
abc
≠0
，且
a+b+c
=0,
则代数式
的值是（）
bc
ca
ab
(A) 3
(B) 2
(C)
1
(D) 0
2
．已知
p,q
均为质数，且满足
5p
2
+3q=59
< br>，则以
p+3,1-p+q,2p+q-4
为边长的三角
形是（）
(A)
锐角三角形
(B)
直角三角形
(C)
钝角三角形
(D)
等腰三角形
3
．一个三角形的边长分别为
a,a,b
，另一个三角形的边长分别为
b,b,a
，其中
a>b
，若两个三
角形的最小内角相等，则
a
的值等于（）
b
(A)
3
1
(B)
2
5
1
(C)
2
3
2
(D)
2
5
2
2
4<
/p>
．过点
P(-1,3)
作直线，使它与两
坐标轴围成的三角形面积为
5
，这样的直线可以作（）
(A) 4
条
(B) 3
条
(C)
2
条
(D)
1
条
5
．已
知
b
2
-4ac
是一元二次方程
ax
2
+bx+c=
0(a≠0)
的一个实数根，则
ab
的
取值范围为（）
(A)
ab
1
1
1
1
(B)
ab
(C)
ab
(D)
ab
8<
/p>
8
4
4
6
．如图，在
2×
3
矩
形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格
点为顶点的等腰直角三角形的个数为
（）
(A) 24
(B) 38
(C)
46
(D)
50
二．填空题
1
．计算
1
1
1
1
=.
1
2
2
3
3
4
2003<
/p>
2004
BN
=.
NC
2
．如图
< br>ABCD
是边长为
a
的正方形，
以
D
为圆心，
DA
为半径的圆弧与以
BC
为直径的半
圆交于另一点
P
，延长
AP
交
BC
于点
N
，则
3
．实数
a,b
满足
a
3
+b
3
+3ab=1,
，则
a+b=.
4
．设
m
是不能表示为三个合数之和的最大整数，则
m=.
第二试
一．
已知方程
x
2
-6x-4n
2
-32n=0
的根都是整数，求整数
n
的值
.
二．<
/p>
（
A
）已知如图，梯形
< br>ABCD
中，
AD
∥
BC,
以两腰
AB,CD
为一边分别向两边作正方形
ABGE
和
DCHF
，设线段
AD
的垂直平分线
l
交线段
EF
于点
M
，
EP
⊥
l
于
P
，<
/p>
FQ
⊥
l
于
Q
。
求证：
EP=FQ
二．
（
B<
/p>
）已知如图，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC,
以两腰
AB,CD
为一边分别向两边作正方形
ABGE
和
DCHF
，设线段
AD
的垂直平分线
l
交
线段
EF
于点
M
。
求证：
M
为
EF
的中点。
二．
（
C<
/p>
）已知如图，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC,
以两腰
AB,CD
为一边分别向两边作正方形
ABGE
和
DCHF
，连接
EF
，设线段
EF
的中点
为
M
。
求证
：
MA=MD
。
三．
已知
点
A(0,3)
，
B(-2,-1)<
/p>
，
C(2,-1) P(t,t
2
)
为抛物线
y
＝
x
2
上位于三角形
ABC
内
（包括边界）
的一动点，
BP
所在的直线交
AC
于
E
，
CP
所在的直线交
AB
于
F
。将
的函数。
BF<
/p>
表示为自变量
t
CE
2003
年全国初中数学联合竞赛试题
< br>一、选择题（
42
分）
1.
计算：
2
3
2
2
17
12
2
等于
()
(A)5-4
2
(B)4
2
-1
(C)5
(D)1
2.
在十边形的所有内角中
,
锐角的
个数最多是
()
(A)0
(B)1
(C)3
(D)5
3.
若函数
y=kx(k>0)
与函数
y=
面积为
(
)
(A)1
(B)2
(C)k
(D)k
2
4.
满足等式
x
y
y
x
2003
x
2003
y
2003
xy
=2003
的正整数对
(
x,y)
的个
数是
(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
5.
设
ΔABC
的面积为
1,D
是边
AB
上一点<
/p>
,
且
DECB
的
面积为
1
的图象相交于
A
、
C
两点，
AB
垂直于
x
轴于
B,
则
ΔABC
的
x
AD
1
.
若在边
AC
上取一点
E,
使四边形
AB
3
< br>A
D
E
B
C
3
CE
,
则
的值为
(
)
4
EA
1
1
1
1
(A)
(B)
(C)
(D)
2
3
4
5
6.<
/p>
如图
,
在
ABC
D
中
,
过
A<
/p>
、
B
、
C
三点的圆交
AD
于
E
，
且与
CD
相
切。
若
AB=4
，
BE=5
，
C
D
< br>则
DE
的长为（）
15
16
(A)3
(B)4
(C)
(D)
4
5
二、填空题（
28
< br>分）
E
A
B
1.
抛物线
< br>y=ax
2
+bx+c
与
x
轴交于
A
、
B
两点，与
y
轴交于
C
点
.
若
ΔABC
是直角三角形
,
< br>则
ac=_______.
2.
设
m
是整数
,
且方程
3x
2
+mx-2=0
的两根都大于
-
9
3
而小于
,
则
m
=______.
5
7
C
A
E
B
D
B
'
3.
如图
,AA
/
、
BB
/
分别是∠
EAB
，∠
DBC
的平分线
.
/
/
若
AA
=BB
=AB
，则∠
BAC
的度数为
________.
A
'
4.
已知正整数
a
、
b
之差为
120,<
/p>
它们的最小公倍数是其最大公约数的
105
倍
,
那么
a
、
b
中较
大的数是
__
__.
三、
（
20
分）在
ΔABC
中，
< br>D
为
AB
的中点，分别延长
CA
、
CB
到点<
/p>
E
、
F
，使
DE=DF
；
过
E
、
F
分别作
C
A
、
CB
的垂线，相交于
P.
设线段
PA
、
PB
的中点分别为
M
、
N.
求证：（
1
）
ΔDEM
≌
ΔDFN.
（
2
）∠
PAE=
∠
PBF.
四、<
/p>
（
25
分）已知实数
a
、
b
、
c
、
d
互不相等，且
< br>a +
的值
.
五、
（
25
分）已知四边形
ABCD
的面积为
32
，
AB
、
CD
、
AC
的长都
是整数，且它们的和
为
16.
（
1
）
这样的四边形有几个？（
2
）求这样的四边
形的边长的平方和的最小值
.
D
C
A
B
P
E
F
M
N
A
D
C
B
< br>1
1
1
1
= b +
= c +
= d
+
= x,
试求
x
b
c
a
d
2002
年全国初中数学联合竞赛试卷
一、选择题
1
、已知
a
＝
2
－
1
，
b
＝
2
2
－
6
，
c
＝
6
－
2
，那么
a
，
b
，
c
的大小关系是【】
(A)
a
＜
b
＜
c
(B)
b
＜
a
＜
c
(C)
c
＜
b
＜
a
2
、若
m<
/p>
2
＝
n
＋
2
，
n
2
＝
m
＋
2(m≠n)
，则
m
3
－
2mn
＋
n
3
的值为【】
(A) 1
(B)0
(C)
－
1
(D)
－
2
(D)c
＜
a
＜
b
3
、已知二次函数的图象如图所
示，并设
M
＝
|a
＋
b
＋
c|
－
|a
－
b
＋
c|
＋
|2a
＋
b|
－
|2a
－
b|
，则【】
(A)M
＞
0
(B)M
＝
0
(C)M
＜
0
(D)
不能确定
M
为正、为负或为
0
4
、
直角三角形Ａ
BC
的面积
为
120
，
且∠
BAC
＝
90º
，
< br>AD
是斜边上的中线，
过
D
作
DE
⊥
AB
于
E
，连
CE
交
AD
于
F
，则△
AFE
的面积为【】
< br>
(A)18
(B)20
(C)22
(D)24
5
、圆
< br>O
1
与
O
2
圆外切于点
A
，两圆的一条外公切
线与圆
O
1
相切于点
< br>B
，若
AB
与两圆的另
一条外公切线平行，则圆
O
1
< br>与圆
O
2
的半径之比为【】
(A)2
：
5
(B)1
：
2
(C)1
：
3
(D)2
：
3
6
、如果对于不小于
8
的自然数
n
，当
3n
＋
1
是一个完全平方
数是，
n
＋
1
都能表示成个
k
完
全平方数的和，那么
k
的最小值为【】
(A)1
二、填空题
(B)2
(C)3
(D)4
7
、已知
a
＜
0
，
ab
＜
0
，化简，
1
.
|
a
<
/p>
b
3
2
|
|
b
a
3
|
8
、如图，
7
根圆形筷子的横截面圆的半径均为
r
，则捆扎这
7
根筷子一周的绳子和长度为
______
_____
9
、甲乙两人到特价商
店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有
8
< br>元和
9
元，若两人购买商品一共花费了
< br>172
元，则其中单价为
9
元的
商品有件。
10
、设
N
＝
23x
＋
92y
为完全平方数，且不超过
2392
，则满足上述条件的一切正整数对（
x
，
y
）共有对。
三、解答题
a
b
8
2
11
、
已知
：
a
，
b
，
c
三数满足方程组
< br>，
试求方程
bx
＋
cx
－
a
＝
0
的根。
2
ab
c
< br>
8
2
c
48
12
、如图，等腰三角形
ABC
中，
P
为底边
BC
上任意点，过
P
作两腰的平行线分别与
AB
，
AC<
/p>
相交于
Q
，
R<
/p>
两点，又
P`
的对称点，证明：
P'
在△
ABC
的外接
圆上。
13
、试确定一切有理数
r
，使得关于
x
的方程
rx
2
＋
(r
＋<
/p>
2)x
＋
r
－<
/p>
1
＝
0
有且只有
整数根。