圆与扇形经典题汇总
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圆与扇形
公式与割补
内容提要
本讲主要讲解与圆和扇形有
关的概念，及周长、面积公式等•下面我们来说说这方面的基础知识
.
圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心
旋转任
何角度还保持原状•而且，所有的
平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的
.
我们知道
，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用
n
表示•另外，
径记作
d
，半径记作
r
,
如图
1
所示
.
所以，圆的周长
C
d
—
2
订，圆的面积
S
r
2
如图
3
,
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇
形•它是圆的一部分，所以关
于扇形的
各种计算可以应用圆里面的结论
.
扇形的圆心角为
n
°时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的
n
360
所以，扇形弧长
=
—
2
r
，面积
=
—
r
2
360
360
我们先来熟悉一下这些公式
.
练习
:
般把直
1.
半径是
2
的圆的面积和周长分别是多少
?
2.
直径是
5
的圆的面积和周长分别是多少？
3.
周长是
10
n
的圆的面积是多少？
4.
面积是
9
n
的圆的周长是多少？
例题
一、
基本公式运用
例题
< br>1•
已知扇形的圆心角为
12
0
°，半径为
2
,
则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按
例题
2.
已知扇形面积为
18.84
平方厘米，圆心角为
60
°则这个扇形的半径和周长各是多少
?
3.14
计算）
随堂练习：
1.
已
知一个扇形的弧长为
0.785
厘米，圆心角为
45°
< br>，这个扇形的半径和周长各是多少
?
2.
扇
形的面积是
31.4
平
方厘米
，
它所在圆的面积是
157
平方厘米
，
这个扇形的圆心角是多少
?
3.14
计算）
（圆周率按
例题
3•
如图，直角三角形
ABC
的面积是
45
,
分别以
B
,
C
为圆心，
3
为半径画圆•已知图中
阴影部分的面
积是
35.58
.
请问：角
A
是多少度？
（
n
取
3.14
）
A
圆中方，方中圆
2
< br>,
那么大圆、小圆的面积分别为
_____________
随堂练习
:
1.
4
,
里
面小圆的面积是多少？（答案用
n
表示）
、割补法
例题
5.
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，
圆周率按
3.14
计算）
:
2
随堂练习
:
求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按
（
1
）
（
2
）
3.14
计算）：
7
例题
6•
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按
（
1
）
（
2
）
3.14
计算）
:
2
例题
7
•
已知图中正方形的边长为
2
,
分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中
阴影部分的面积为
_
___________
•
（答案用
表示）
例题
8•
根据图中所给数值，求下面图
形的外周长和总面积分别是多少？（
n
取
3.14
)
4
随堂练习
:
1.
根据下图中给出的数值，求这个图形的外周长和面积
.
（
n
取
3.14
）
土
6
思考题
图中的
4
个圆的圆心是正方形的
4
个顶点，它们的公共点是该正方形的中心
.
如
果每个圆的半径都是
米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？
作业
:
1.
半径为
4
厘米的圆的周长是
______________
厘米，面积是
__________
平方厘米
;
2.
半径为
4
厘米，圆心角为
90
的扇形周长是
_________________
厘米，面积是
__________
平方厘米
.<
/p>
（取
3.14
）
3.
家里来客人了，淘气到超市买了
4
瓶啤酒，售货员阿姨将
4
瓶啤酒捆扎在一起
（如下图所示），捆
4
圈至少要用绳子
___________
厘
米
.
（取
3.14
，接
头处忽略
不
计）
4.
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按
3.14
计算）：
)
(2)
1
1 1
10
5.
F
列图形中的正方形的边长为
2
,
则下图中各个阴影部分面积的大小分别为
3.14
)
6.
用一块面积为
36
平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了
7
个同样大小
的圆铝板•问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
6.
圆与扇形
旋转与重叠
知识总结：
学习如何利用割补法和包
含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程
,
并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域
.
例题
:
一、
重叠问题
例题
1•
下图中甲区域比乙区域的面积大
57
平方厘米，且半圆的半径是
10
厘米，那么其中直角三角形的另
一条直
角边的长度是多少？（圆周率
取
3.14
）
例题
2•
下
图中有一个等腰直角三角形
ABC
,
—个以
AB
为直径的半圆，和一个以<
/p>
BC
为半径的扇形
.
已知
AB BC
10
厘米•图中阴影部分的面积为多少平方厘米？
（
n
取
3.14
）
随堂练习
1.
如图
17-13
，以
AB
为直径做半圆，三角形
ABC
< br>是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小
平方
厘米，
AB
长
40
厘米
.
求
BC
的长度
.
（取
3.14.
）
28
B
例题
3.
如
图，直角三角形的两条直角边分别为
3
和
5
，分别以三条边做了
3
个半圆（直角顶点在以斜边为
直径的半圆上），那么阴影部分的面积为
___________
•
例题
4.
图
1
是一个直径是
3
厘米的半圆，
AB
是直径
.
如图
2
所示，让
A<
/p>
点不动，把整个半圆逆时针转
60
°
此时
B
点移动到
C
点•请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
（
n
取
3.14
）
A
图
2
B
动态扫面积问题
例题
5.
如图，正方形
ABCD
边长为
1
厘米，依次以
A
、
B
、
C
、
D
为圆心，以
AD
、
< br>BE
、
CF
、
< br>DG
为半径画
出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为
_______________
平
方厘米
.
（取
3.14
）
E
G
例题
6•
如
图所示，以等边三角形的
B
、
C
、
A
三点分别为圆
心，分别以
AB
、
< br>CD
、
AE
为半径画弧，这样形
成的曲线
ADEF
< br>被称为正三角形
ABC
的渐开线，如果正三角形
ABC
的边长为
3
厘米，那么此渐开线的长
度为多少厘米，图中
I
、
II
、
< br>III
三
部分的面积之和是多少平方厘米？
E
三、
运动圆扫面积
例题
< br>7•
图中正方形的边长是
4
厘米，而圆环的半径是
来位置时，其扫过的面积有多大？
（
n
取
3.14
）
随堂练习
1.
图中长方形的长是
10
厘米，宽是
4
厘米，而
圆环的半径是
周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（
1
厘米
.<
/p>
当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原
1
厘米•当圆环绕正方形无滑动地滚动一
n
取
3.14
)