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2021年2月10日发(作者：很短但深入人心的句子)

圆的面积公式的证明

山东省莱芜市陈毅中学初四八班郑康杰作

设

f(x)=

r

2

−

x

2

(r>0)

f(x)=

r

2

−

x

2

( r>0)

的图形一定是一个半径为

r

π

r

2

2

证明之 前，我们需要明确

问题你们就自己考虑吧。

我们只需要证明

|

< br>r

−

r

半圆，为什么是个半圆？ 这么基础的

f

x

dx|

=

即可

（为什么积分的上下限分别为

r< /p>

和

-r

，

想想这 个函数与

x

轴的两个交点的

r

坐标）

，我们想要计算定积分

−

r

设

x=rsint

f

x

dx

，就必须要计算出

F(x)

< p>
,

使得

F

’

(x)=f(x)

,

怎么 计算呢？用不定积分去计算即可，计算过程：

f

x

dx

=

< /p>

r

2

−

x

2

dx

=

r

2

−

rsint

2

d(rsint)

=

r

1

−

sint

2

d(rsint)

=

rcost

d

rsint

=

r

∙

cost

∙

rcost dt

=

r

2

∙

cost

2

dt

=

r

2

∙

cost

2

dt

2< /p>

2

1

+

cos 2t

r

r

=

r

2

∙

dt

=

∙

1

+

cos2t dt

=

∙

1

dt

+

cos2t dt

2

2

2

r

2

sin

2t

r

< br>2

t

r

2

∙

sin

2t

=

∙

t

+

=

+

（为了计算简便，我省去了常数< /p>

C

）

2

2

2

4

∵

< p>
x=rsint

∴

sint=

< br>r

∴

t=arcsin(

r

)

将

t=ar csin(

)

代入

r

< br>x

x

x

r

2

t

2

+

r

2

∙

sin

2 t

4

得，

x

∙

sin2

∙

arcsin(

)

r

r

∴

F

x

=

+

2

4

r

接下来，再 用微积分基本定理计算

f

x

dx

即可。

−

r

r

2

r< /p>

x

2

r

arcs in(

)

f

x

dx

=

F

r

−

F

−

r

−

r

r

r

−

r

−

r

r

2

arcsin

r

2

∙

sin

2

∙

arc sin

r

2

arcsin

< br>r

2

∙

sin

< br>2

∙

arcsin

r

+

r

−

r

+

r

=

2

4

2

4

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