计算圆中阴影部分的面积
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计算圆中阴影部分的面积
圆中
“阴影部分”
的面积的求解是历年各地中考的一个
必须掌握的知识点，
求解时既可
以根据图形的特点，将其分解转
化为扇形、弓形、三角形、平行四边形、梯形等图形的组合
来求解，也可根据其特点，灵
活巧妙地运用一些方法技巧，可使问题化繁为简，
化难为易，收到事半功倍的奇效，现举
例说明，供同学们学习时参考．
例
1
（
08
孝感）
Rt
△
ABC
中，
C
90
，
AC
8
，
BC
6
，
两等圆⊙
A
，
⊙
B
外切，那么图
1
中两个扇形（即阴
影部分）的面积之和为（
）
A
．
B
A
25
<
/p>
4
B
．
25
8
C
．
25
16
D<
/p>
．
25
32
C
图
1
解析
:
此题综合考查圆、勾股定理的知
识以及转化的数学思想
.
由勾股定理可求得
< br>AB=10
，从而两圆的半径为
5
，阴影部分的面积
25
90
5
2
相当于圆心角为
90
°半径为
5
的扇形的面积
.
S
阴影
,
所以选
A.
360
4
例
2
（
08
遵义）
如图
2
，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
C
< br>90
，
AB
< br>AD
4
，
BC
6
，以
A
为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图
中阴影部分）的
面积是
．
解析
:
本题
综合考查圆的切线的性质和扇形面积的计算等知识
.
圆的切线垂
直于经过切点的半径，所以连接
AE
，
可知
AE
⊥
BC.
在
Rt
△
ABE
< br>中，
AB=4
，
BE=BC-A
D=6-4=2
，
根据勾股定理可得
A
E=
2
3
，
根
据三角函数可知∠
B=60
°，
C
E
B
D
图
2
A
n
r
∴∠<
/p>
BAD=120
°
.
所以最大的扇形（图中阴影部分）的面积为
360
2
120
2
3
360
2
4
.
例
3
（
08
桂林）
如图
3,
两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为
解析
:
本题
考查同心圆的概念、圆环面积的计算方法
.
求出圆环的面积，即
大圆的面积减去
小
圆
的
面
积
，
在
圆
环
中
，
阴
影
部
分
的<
/p>
面
积
是
圆
环
面
积
的
一
半
,
S
阴影
1
< br>S
大圆
S
小圆
1
3
2
1
2
1
8
4
.
2
2
< br>2
图
3
例
4
（
08
南宁）
如图
4
< br>，
Rt
△
ABC
中，
AC=8
，
BC=6
，∠
C=90
°，分别以
< br>AB
、
BC
、
< br>AC
为直径
作三个半圆，那么阴影部分的面积为
（平方单位）
解析
：
阴影部分面积可以看成是以
AC
、
BC
为直径
的两个半圆的面积加上一个直角三角形
ABC
的面积减去一个以
AB
为直径的半圆的面积，即
图
4
1
1<
/p>
1
1
AC
BC
AB
< br>
AC
BC
2
2
2
2
2
2
2
1
1
< br>1
1
2
2
2
AC
<
/p>
BC
AB
AC
BC
8
8
8
2
1
1
2
2
2
=
(
AC
BC
AB
)
AC<
/p>
BC
8
2
=
2
2
2
=
1
AC<
/p>
BC
=24.
2
圆中阴影部分不是一个规则图形，
不
能用公式直接求解。
所以考虑将它分割
为可求图形的面积求解，
下面谈谈求解阴影部分面积的方法。
例
1
如图
1
，
A
是半径
为
2
的⊙
O
外
一点，
OA
＝
4
，
AB
是⊙
O
的切线，点
B
是切点，弦
BC
∥
OA
，连结
AC<
/p>
，
求图中阴影部分的面积。
分析：
图中阴影部分可看作弓形
BC
面积与三角形
ABC
面积的和，
而△
ABC
不是
Rt
△，
所以考虑借助
OA
∥<
/p>
BC
将
△
ABC
移形，连接
OC
、
OB
，则
S
△
OCB
＝
S
△
ACB
。
则阴影
部分面积为扇形
AOB
面积。
解
连接<
/p>
OB
、
OC
，如
图
2
因为
BC
∥
OA
所以△
ABC
与△
OBC
在
BC
上的高相等
所以
S
ABC
S
OBC
，
所以
S<
/p>
阴
S
扇形
又∵
AB
是⊙
O
的切线
所以
OB
⊥
AB<
/p>
，而
OB
＝
2<
/p>
，
OA
＝
4
所以∠
AOB
＝
6
0
°，
由
BC<
/p>
∥
OA
得∠
OB
C
＝
60
°
所以△
OBC
为等边三角形，∠
BOC
＝
60
°
60
×
2
2
S
扇形
B
O
C
< br>
360
< br>3
例
2
<
/p>
如图
3
，
扇形<
/p>
AOB
的圆心角为直角，
若
OA
＝
4
，
以
AB
为直径作半圆，
求阴影
部分的面积。
分析
图<
/p>
3
中阴影部分面积为：
以
AB
为直径的半圆面积减去弓形
AmB
面积；
而弓形
面积等于扇形
AOB
面积减去△
AOB
面积。
解
∵
OA
＝<
/p>
4cm
，∠
O
＝
90
°，
OB
＝
4cm
∴
S
扇形
AOB
90
4
2
4
（
cm
2
）
360
又
AB
<
/p>
4
2
(
cm
)
所以
S<
/p>
半圆
2
（
2
2
）
2
4
(
cm
2
)
而
S
AOB
8
(
cm
2
),
所以
S
弓形
(
4
8
)
cm
2
故
S
阴
S
半圆
S
弓形
4
(
4
8)
8cm
2