淋雨量数学模型
-
论文题目：雨中行走淋雨量分析
雨中行走淋雨量分析
摘要
<
/p>
本文在给定的降雨条件下，
分别建立相应的数学模型，
分析人体在雨中奔跑
时淋雨多少与奔跑速度、
降雨
方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是
指从天空降落
到地面上的雨水，
未经蒸发、
渗透、
流
失而在水面上积聚的水层深
度，
它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，
是指人在雨中行走时全身所接收到
得雨的体积，
可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时
间的乘积。利用
MATLAB
软件对各个问
题进行了求解。
针对问题一，
设降雨
淋遍全身不考虑雨的方向，
经简化假设得人淋雨面积为
前后左右
及头顶面积之和。人以最大速度奔跑
1000m
，用
MATLAB
求解可得淋雨
量近似为
0.0024
m
3
。
针对问题二，
雨迎面吹来，
雨线方向与跑步方向在同一平面，
人淋雨面积为
前方和
头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，
故分别计算头
顶和前方
的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量
W
与跑步速度
v
之间的函
数关系。分析表明当跑步速度为
v
< br>m
ax
时，淋雨量最少。并计算出当雨与人体的夹
角
θ
=0
时，淋雨量
近似为
0.0012
m
3
；当
θ
=
30°时，淋雨量
近似为
0.0016
m
3
。
针对问题三，
雨从背面
吹来，
雨线与跑步方向在同一平面内，
人淋雨量与人
和雨相对速度有关。列出函数关系式分析并求解，可知当人速度
v=2
m
s
时淋雨
量最少
，
α
=
30°时的总淋雨量近似为
0.2405556E-03
m
3
。
针对问题四，<
/p>
列出淋雨量
W
和跑步速度
v
之间的函数关系式，
利用
M
ATLAB
画出
α
分别为
0
°，
10
°，
…
.90
°的曲线图。
针对问题五，
雨线与人跑步方向不在同一平面内，
则考虑人的淋雨面积为前
后左右以及头顶。分别列式表示，总的淋雨量即为三
者之和。
关键词
淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）
；路程的远近；行走的速度；
1
一、
问
题重述
生活中我们常常会遇到下雨却没有遮雨工具的时刻，
我们在那时会有很多选
择，
其中之一就是淋雨，
往往很多人会在雨中快走或奔跑以使自己身体淋雨量最
小化，<
/p>
但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，
反而有
时候淋雨量倒有所增加，
淋雨量和速度等有关参数的关系
如何，
让我们假设一数
学模型模拟计算真实情况。
当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，
如果雨速
为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多
少，
并且行走速度也同样影响着淋雨量，
将人体简化成一个长方体，
高
a
=1.5
米，<
/p>
宽
b
=0.5
米
，厚
c
=0.2m
，跑步距离
d
=1000
m
，跑步
最大速度
v
m
ax
=5
m/s
，雨速
6
u
=4
m/s
，降雨量
w
=2
㎝
/h
=
5.556
10
m
/<
/p>
s
，记跑步速度为
ν
。
1
.
当我们不考虑雨的方向时，假设降雨会淋遍全身，这时如果我们最大速度
奔跑会淋多少雨？
2
.<
/p>
雨从迎面吹来，
雨线方向与跑步方向在同一平面内，
且与人体的夹角为
θ
，
建立
总淋雨量与速度
ν
及参数
a b c
d u ω θ
之间的关系。问速度
ν
多大，总淋雨
量最少。
计算
θ
=0°
，
θ
=30°
时的总淋雨量。
3
.
雨从背面吹来，设雨线方向与跑步方向在同一平面内，
且与人体的夹角为
α
，
建立总淋雨量与
速度
ν
及参数
a b c d u w
α
之间的关系。
问速度
ν
多大，
总淋
雨量最少。计算
α
=30°
时的总淋雨量。
4
.
以总淋雨量为纵轴，速度
ν
为横轴对第
3
问作图（考虑
α
的影响），
并解
释结果的实际意义。
5
.
若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？
二、问题分析
2.1
问题一分析
2
若不考虑雨的方向，雨以降雨量
w
均匀地淋遍全身。将人体简化成长方体，
求出人接受雨的总面积，
人以最大速度跑步，
并计算淋雨时
间、
单位时间、
单位
面积上的降雨量，
求出人跑完全程的总淋雨量
W
。
2.2
问题二分析
雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向
在同一平面内且与人体夹角为
θ
，如图
1
所示。
根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个
方向上。
雨迎面吹
来时，
由于雨相对于
人的速度有变化，
因此人单位时间内接收雨量变化，
且与相
对速度成正比。
据此，
推算出前后侧上单位
时间接受雨量。
同理，
头顶部位接雨
量
与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。
分别计算出头顶侧与前后侧单位时间
接雨量，并分别乘以各自面积以及时间
d/t,
即
得到头顶及两侧淋雨的总量。在人
体总的淋雨量
.
据此可得
W
与
v
之间关系，
并能求出
θ
=
0
和
θ
=
30
°
时的总淋雨量。
图
1
2.3
问题三分析
雨从背面吹来，雨线与跑步方向在
同一平面内且与人体夹角为
α
，如图
2
所示。
左右方向上淋雨量为
0
。
头顶上单位时间内接收雨的量
w
1
与雨速垂直方向上的分
量成正比，
W
1
为头顶面积
bc
与时间的
d/v
以及
w
1
之积。当
v
u
sin
时，
前方不
3
受雨，前后方
向上单位时
间内淋雨
量
w
2
与人前进方向上人
相对于雨
的速度
（
usin
θ
-
v
）成正
比，据此推算出
W
2
；而当
v
u
sin
时，后方不受雨，由于人速
已经高于雨速，这时
前面会向前撞上雨滴，即
w
2
与
v
u
sin
成正比。
W
2
为人体
前面积
ab
和跑步时间
d/v
顶淋雨量以及
w
2
之积。
由此可计算出总的淋雨量。
W
W
1
W
2
据此可得
W
与
v
之间关系，并能求出
α
=
30°
时的总淋雨量。
图
2
2.4
问题四分析
以总淋雨量
W
为纵轴、
速度
ν
为横，
针对问题三的求解，
利用
MATLAB
作
出当
α
分别为
0°
，
10°
，
20°
，
30°
，
40°
，
50°
，
60°
，
70°
，
80°
，
90°
< br>时的曲线图并
加以分析。
2.5
问题五分析
4
csin
β
bcos
β
β
图
3
俯视图
如图三
，
为人体模型的俯视图。
需要分三部分计算，
< br>在前后面上，
雨垂直方
向分速度为
u
cos
，
相对速度为
v
u
< br>sin
cos
，
乘上垂直受雨的面积
ab
以及时
间
d
v
即为前后侧受雨量
W
2
。因为垂直于左
右面人的分速度为
0
，左右两面上相
d
v
对速度为
u
sin
sin
乘上面积
ac
以及时间
极为左右受
雨量
W
3
.
而
头顶受雨与
雨
速
和
人
速
的
夹
角
大
小
无
关<
/p>
，
因
此
W
1
仍
按
（
2
）
、
（
3
）
问
的
算
法
做
。
由
W
W
1<
/p>
W
2
W
3
可得雨量求法公式。
二、
模型假设
1.
人在
奔跑过程中，
ν
大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。
2.
对问题
1
人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒<
/p>
定。
3.
<
/p>
对问题
2
、
3<
/p>
雨线与跑步方向在同一平面内，
并且雨线与人体夹角不变。
在此
过程中左右两次因与雨速平行而不沾雨。
4.
假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变
5.
假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。
6.
将人体理想化为一个长、宽、高
、已知的长方体模型，且人体行走过程中的
震荡引起的误差可忽略不计。
5
三、
符号说明
a
人体高度
b
人体宽度
c
人体厚度
d
跑步距离
u
雨速
w
降雨量
θ
雨迎面吹来时与人体的夹角
β
俯视图中雨速与人速的夹角
v
m
ax
跑步最大速度
W
总淋雨量
s
1
头顶面积
s
2
人前或后表面积
u
1
雨点相对人头顶速度的垂直分量
u<
/p>
雨点相对人前后面速度的垂直分
2
量
w
1
头顶单位时间接收雨量
w
2
前后面单位时间接收雨量
W
1
头顶接收雨量
W
2
人体前后面接收雨量
W
3
人体左右面接收雨量
6
v
max
五、
模型建立与求解
5.1
问题一
不考虑雨的方向，因为降雨量
w
均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长
方体的情况下，忽略次要因
素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、
单位面积上的降雨量等有关条件，列
出总淋雨量
W
的求解公式如下：
W
2
ab
< br>
bc
2
ac
w
d
v
max
利用
MATLAB
编程求解（见附录一）
，可得：
W
0.0
024
m
3
5.2
问题二
根据题意，将降落在人体上的雨滴
分成两部分，
1
（顶部）
2
（前面）
，人
体接收的
雨量和头顶面积、
头顶部分与雨滴垂直下落方向分量
1
、
行走时间有关。
u
s
s
列式求解如下：
头顶：
u
1
u
cos
θ
s
1
bc
7