数学建模 淋雨模型
-
淋雨量模型
一、问题概述
要在雨中从一处沿直线
跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数
学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少
。
将人体简化成一个长方体，高
a=1
.5m
（颈部以下）
，宽
b=0.5m
，厚
c=0.2m
，
< br>设跑步的距离
d=1000m
，跑步的最大速度
v
m
=5m/s
，雨速
u=4m/s
，降雨量
ω
=2cm/h
，及跑步速度为
v
，按以下步骤进行讨论
[17]
：
（
1
）
、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全
程的总淋雨量
;
（
2
）
、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角
为
θ
，如图
1.
建立总淋雨量与速度
v
及参数
a
，
b
，
c
，
d
，
u
，
ω
，
θ
< br>之间的关系，
问速度
v
多大，总
淋雨里最少。计算
θ
=0
，
θ
=30
°的总淋雨量
.
（
3
）
、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角
为
α
，如图
2.
建立总淋雨量与速度
v
及参数
a
，
b
，
c
，
d
，
u
，
ω
，
α
< br>之间的关系，
问速度
v
多大，总
淋雨量最小。计算
α
=30
°的总淋雨
量
.
（说明：题目中所涉及
的图形为网
上提供）
（
4
）、以总淋雨量为纵轴，速度
v
为横轴，对（
3
）作
图（考虑
α
的影响）
，并解释结果的<
/p>
实际意义
.
（
5
）、若
雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型
二、
问题分析
淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示
为单位时间单位
面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
< br>
可得：
淋雨量
（
V
）
=
降雨
量（
ω
）×人体淋雨面积（
S
）×淋浴时间（
t
）
①
时间（
t
）
=
跑步距离（
d
）÷人跑步速度（
v
）
②
由①②
得：
淋雨量（
V
）
=
ω
×<
/p>
S
×
d/v
三、
模型假设
（
1
）
、
将人体简化成一个长方体，
高
a=1.5m
（颈部以下）
，
宽
b=0.5m
，
厚
c=0.2m.
设跑步距离
d=1000m
，跑步最大
速度
v
m
=5m/s
< br>，雨速
u=4m/s
，降雨量
ω
=2cm/h
，记
跑步速度为
v
；
（参考）
（
2
）
、假设降雨量到一定时间时，应为定值；
（
3
）
、此人在雨
中跑步应为直线跑步；
（
4
）
、问题中涉及的降雨量应指天空降落到
地面的雨，而不是人工，或者流失
的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；
四、
模型求解：
（一）
、模型Ⅰ建立及求解：
设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：
S
＝
2ab+2ac+bc
雨中奔跑所用时间为：
t=d/v
总
降雨量
V
＝
ω
×
S
×
d/v
ω
＝
2cm/h=2
×
10
/3600
(m/s)
将相关数据代入模型中，可解得：
S
＝
2.2
（㎡）
V
＝
0.00244446
(cm
³
)=2.44446 (L)
-2
（二）、模型Ⅱ建立及求解：
若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内
，
且与人体的夹角为
θ
.<
/p>
，则淋
雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量
.
（如图
1
）
设雨从迎面吹来时与人体夹角为<
/p>
.
，且
0
°<
/p>
<
<90
°，
建立
a
，
b<
/p>
，
c
，
d
，
u
，
，
之间的关系为：
<
/p>
（
1
）
、
考虑前部淋雨量：
（由图可知）
雨速的水平分
量为
u
sin
且方向与
v
相反，
故人相对于雨的水平速度为：
u
sin
v
则前部单位时间单位面积淋雨量为：
（
u
<
/p>
sin
v<
/p>
）
/
u
又因为前部的淋雨
面积为：
a
b
，时间为：
d/v
于是前部淋雨量
V
< br>2
为
：
V
2
a
b
u
< br>
sin
< br>v
/
u
d
/
v
即：
V
2
a
b
d
u
< br>s
i
n
v
/
u
v
①
（
2
）
、考虑顶部淋雨量：
< br>（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，
且与<
/p>
v
无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为
cos
，顶部面积为
b
c
< br>
，淋雨时间
为
d
/
v
< br>
，
于是顶部淋雨量为：
V
1
b
< br>c
d
cos
/
v
②
由①②可算得总淋雨量
:
V
V
1
V
2
b
c
< br>
d
cos
/
v
a
b
d
u
sin
v
/
u
v