数列公式总结
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数列公式总结
一、
数列的概念与简单的表示法
数列前<
/p>
n
项和
:
对于任何一个数列，它的前
n
项和
Sn
与通项
an
都有这样的关系：
an=
二、
等差数列
1.
等差数列的概念
（
1
）等差中项：若三数
a<
/p>
、
A
、
b
成等差数列
（
2
）通
项公式：
A
a
b
2
a
n
a
1
(
n
1)
d
a
m
(
n
m
)
d
S
n
na
1
n
n
1
n
a
1
a
n
d
2
< br>2
（
3
）
.
前
n
项
和公式：
2
等差数列的
.
常用性质
a
a
n
a
p
a
q
（
1
）若
m
n
p
q
m<
/p>
,
n
,
p
,
q
N
，则
m
；
（
2
< br>）单调性：
a
n
的公差为
d
，则：
a
ⅰ）
d
0
n
为递增数列；
a
ⅱ）
d
0
n
为递减数列；
a
ⅲ）
d
0
n
为常数列；
（
3
）若等差数列
a<
/p>
n
的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2
k
S
k
、
S
3
< br>k
S
2
k
…
是等差数列。
三
、
等比数列
1.
等比数列的概念
2
a
、
G
、
b
G
ab
,
（
a
b
同号）
（
1
）等比中项：
若三数
成等比数列
。反之不一定成立。
n
< br>
1
n
m
a
a
q
a
q
1
m
（
2
）
.
通项公式：
n
（
3
）
.
前
n
项和公式：
S
n
a
1
1
q
n
1
q
< br>a
1
a
n
q
1
q
1
2.
等比数列的常用性质
a
a
a
p
a
q
（
1
）若
m
n
p
q
<
/p>
m
,
n
,
p
,
q
N
，则
m
n
；
< br>（
2
）单调性：
a
1
0,
q
1
或
a
1
0,0
q
1
a
n
<
/p>
为递增数列；
a
1
0,0
q
1
或
a
1
0,
q<
/p>
1
a
n
q
1
a
n
为常数列；
为递减数列；
为摆动数列；
q
0
a
n
（
3<
/p>
）若等比数列
a
n
的前
n
项和
S
n
，
则
S
k
、
S<
/p>
2
k
S
k
、
S
3
k
S
2
k
…
是等比数列
.
四、非等差、等比数列
前
n
项和公式的求法
⑴错位相减法
⑵裂项相消法
常见的拆项公式有：
①
1
1
1
< br>
；
n
(
n
1)
n
n
1
②<
/p>
1
1
1
1
(
);
(2
n
1)(2
n
1)
2
2
n
1
2
n
1
⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，
也不是等比数列，
若将这类数列适当拆开，
可分为几个
等差、等比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可
.
一般分两步：
①找通向项公式②由通项公式确定如何分组
.
⑷倒序相加法
2
一、
等差数列公式及其变形题型分析：
1
．设
S
n
是等
差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
S
S
3
1
＝
，则
6
＝
(
)
．
S
12
S
6
3
1
D
．
9
3
1
1
A
．
B
．
C
．
10<
/p>
3
8
2
．在等差
数列
{
a
n
}
中，若
a
1
003
＋
a
1
004
＋
a
1
005
＋
a
1 006
＝
18
，则该数列的前
2 0
08
项的和
为
(
)
．
A
．
18 072
B
．
3 012
C
．
9 036
D
．
12 048
< br>3
．已知等差数列
{
a
n
}
中，
a
7
＋
a
9
＝
16
，
a
< br>4
＝
1
，则
a
12
的值是
(
< br>
)
．
A
．
15
B
．
30
C
．
31
D
．
64
4
．在等差数列
{
a
n
}
中，
3
(
a
2
＋
a
6
)
＋
2
(
a
5
＋
a
10
＋
a
15
)
＝
24
，则此数列前
13
项之和为
(
)
．
A
．
26
B
．
13
C
．
52
D
．
156
5
．等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝－
24
，
a
18
＋<
/p>
a
19
＋
a
20
＝
78
，则此
数列前
20
项和等于
(
)
．
A
．
160
B
．
180
C
．
200
D
．
220
二、
等比数列公式及其变形题型分析：
1
．已知
{
a
n
}
是等比数列，
a
2
＝
2
，
a
5
＝
A
．<
/p>
16
(
1
－
4
n
)
－
1
，则
a
1
a
2
＋
a
2
a
3
< br>＋…＋
a
n
a
< br>n
＋
1
＝
(
)
．
4
B
．
16
(
1
－
2
n
)
－
C
．
32<
/p>
－
(
1
－
4
n
)
3
D
．
32
－
(
1
－
2
n
)
3
< br>2
．
已知等比数列
{
a
n
}
的前
10
项和为
32
，
前
20
项和为
56
，
则它的前
30
项
和为
．
3
．
在等比数列
{
a
n
}
中，
若
a<
/p>
1
＋
a
2
＋
a
3
＝
8
，
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＝－
4
，
则
a
13
＋
a
14
＋
a
15
＝
，
该数列的前
15
项的和
S
15
< br>＝
.
4
．等比
数列
a
n
中
,
a
2<
/p>
9
,
a
5
243
,
则
a
n
的前
4
项和为（
）
A
．
81
B
．
120
C
．
168
D
．
192
5
．
2
1
与
2
1
，两数的等比中项是（
）
A
．
1
B
．
1
C
．
1
D
．
1
2
3