等比数列(拓展)
-
2.4
等比数列（拓展）
要点一：等比数列与指数函数的关系
n
1
等比数列
a
n
的
通项公式
a
n
a
1
q
a
1
n
y
q
x
是一个指数函数，
q
；
当
q
0
且
q
<
/p>
1
时，
q
设
c
a
1
n
x
则
a
n
cq
，等比数列
a
n
可以看成是函数
y
cq
，因此，等比数列
a
n
各项
q
< br>x
所对应的点是函数
y
cq
的图像上的一群孤立的点。
根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论：
（
1
）等比数列
a
n
递增<
/p>
a
1
0
a
1
0
或
；
q
1
0
q
1
（
2
）等比数列
a
n
递减
a
1
0
a
1
0
或
；
0
q
1
q
1
（
3
< br>）等比数列
a
n
为常数列
q
1
；
（
4
）等比数列
a
n
为摆动数列
q
0
.
要点二：等比数列的性质
< br>（
1
）若
a
n
是公比为
< br>q
的等比数列，
c
为非零常数，
则
ca
n
仍是公比为
q
的等比数列
.
（
2
）
若
a
n
是公比为
q
的等比数列，
则
的等比数列
.
（
3
）若数列
a
n
，<
/p>
b
n
是公比分别为
q
，
q
的等比数列，则数列
a
n
b
< br>n
是公比为
qq
的
等比数列，数列
1
1
是公比为
的等比数列，
且
a
n
是
公比为
q
q
a
n
<
/p>
a
n
q
是公比为
的等比数列
.
q
b
n
*<
/p>
（
4
）若
a
n
是等比数列
，且
m
n
p
q
（
m
，
n
，
p
，
q
N
）
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
< br>m
n
2
p
时，
a
m
a
n
<
/p>
a
2
p
；
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
…；
（
5
）若<
/p>
a
n
是等比数列，每隔
k
（
k
N
）项取出一项，按原来顺序排
列，所得数列仍是
*
等比数列，且公比为
q
k
1
.
1
<
/p>
（
6
）
在等比数
列
a
n
<
/p>
中，
连续相邻
k
项的和
（或积）
构成公比为
q
（或
q
k
）
的等比数列
.
k
2
（
7
）若
b
n
是等差数列，
公差为
d
，则数列
c
< br>n
是等比数列，其公比为
c
.
b
d
（
c
为常数且
c<
/p>
0
）
（
8
）若
a
n
是等比数列，且
a
n
0
，则数列
log
a
a
n
（<
/p>
a
0
且
a
1
）是等差数列
，且
公差为
log
a
< br>q
.
【典型例题】
类型一：等比数列性质及其应用
例<
/p>
1
等比数列
a
n
中，
a<
/p>
3
a
7
a
11
28
，
a
2
a
7
a
12
512
，求
q
.
2
3
解：∵
a
3
a
11
a
2
a
12
< br>a
7
，∴
a
7
512
，∴
< br>a
7
8
，
∴
a
3
a
11
20
2
，∴
a
3
与
a
11
是方程
x
20
x
64
0
的两根，<
/p>
a
3
a
11
64
解此方程得
x
4<
/p>
或
x
16
.
∴
a
3
4
a
3
16
11
3
a
3
q
8
，
或
，又
a
11
a
3
q
a
11
16
a
11
4
a
11
1
< br>1
4
，
q
4
2
或
q
4
.
2
4
a
3
1
8
1
8
∴
q
1<
/p>
8
【变式】已知实数列
1
，
x
，
y
，
z
，
2
是等比数列，求
xyz
的值
.
解：∵实数列
1
，
x
，
y
，
z
，
2
是等比数列，由等比数列的性质可知
2
xz
(
1)<
/p>
(
2)
2
，
y
(
1)
(
2)
2
，则
y
2
，
∴
xyz
2
2
.
例
2
在等比数列
< br>a
n
中，
a
n
0
且
a
2
1<
/p>
a
1
，
a
4
9
a
3
，求
a
4
a
< br>5
.
解：设等比数列
a
n
公比为
q
，由已知得
q
<
/p>
0
，
因为
a
1
a
2
1
，
a
3
a
< br>4
9
所以
q
2
a
3
a
4
<
/p>
9
，
a
1
a
2
3
解得
q
3
或
3
（舍）
，故
a
4
a
5
< br>(
a
1
a
2
)
q
27
.
例
3
等比数列
{
a
n
}
中，若
a
5
a
6
9
,
求
log
3
a
1
log
3
a
2
...
log
3
a
10
.<
/p>
2
解：∵
{
a
n
}
是等比
数列，∴
a
1
a
10
a
2
a
9
<
/p>
a
3
a
8
a
4
a
7
a
5
a
6
9
5
∴
log
3
a
1
log
3
a
2
…<
/p>
log
3
a<
/p>
10
log
3
(
a
1
a
2
a
3
…
a
10
)
log
3
(
a
5
a
6
)
log
3
9
10
.
5
n
【变式
1
】若等比数列
a
n
满足
a
n
a
n
1
16
< br>，求数列
a
n
的公比
.
n
解：因为等比数列
a
n<
/p>
满足
a
n
a
n
<
/p>
1
16
①
n
1
所以
a
n
1
a
n
2
16
②
由②÷①得
q
16
．
n
又因为
a
n
a
n
1
16
0
，知
q
0
，所以
q
4
.
2
【变式
2
】
（
1
）在等比数列
a
n
中，各项均为正值，且
a
6
a
10
< br>a
3
a
5
41
，
a
4
a
8<
/p>
5
，
则
a
4
a
8
；
（
2
）已知数列
a
n
为等比数列，若
a
< br>n
0
，且
a
2
a
4
2
a
3
a<
/p>
5
a
4
a
6
36
，则
a
3
a
5
.
2
2
解：
（
1
）∵
a
6
a
10
a
8
，
a
3
a
5
a
4
，由
a
6
a
10<
/p>
a
3
a
5
41
，得
2
2
2
2
a
8
2
a
4
a
8
51
，
a
8
a
4
41
，又
a
4
a
8
5
，得
(
a
4
a
8
)
2
a
4
又各项均为正值，故
a
4
a
8
51
.
2
2
2
2
（
2
）∵
a
2
< br>a
4
a
3
，
a
4
a
6
a
5
，由
a
2
a
4
2
a
3
a
5
a
4
a
6
36
，得
a
3
2
a
3
a
5
a<
/p>
5
36
，
2
得
(
a
3
a
5
)
36
，而
a
n
0
，∴
a
3
a
5
6
.
类型二：等比数列含参问题
例
4
在数列
a
n
中，
a
n
0
，且
a
n
a
n
1
是公比为
q
（
< br>q
0
）的等比数列，该数列满
足
a
n
a<
/p>
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
2
a
n
3
（
n<
/p>
N
*
）
，求公比
q
的取值范围
.
解：∵
a
n
a
n
1
a
n
<
/p>
1
a
n
2
a
n
2
a
n
3
，∴
a
n
a
n
1
(
a
n
a
n
1
)
q
(
a
n
a
< br>n
1
)
q
.
2
2
∵
a
n
0
，∴
a
n
a
n
1
0
，∴
1
q
< br>q
，即
q
q
1
0
，
2
解得
1
5
1
5
1
5
q
，而
q
0
，故公比
q
的取值范围是
0<
/p>
q
.
2
2
2
【变式】在数列
a
n<
/p>
中，
a
1
1
，
a
2
3
，
a
n
1
< br>
10
a
n
a
n
1
0
（
n<
/p>
2
且
n
N
*
）
，若
3
3
数列
<
/p>
a
n
1
a
n
是等比数列，则实数
.
*
解：设
a
n
1
a
n
(
a
< br>n
a
n
1
)
（
n
2
且
n
N
）
，所以
a
n
1
(
)
a
< br>n
a
n
1
0
.
10
1
所以
3
，解得
3
或
，
3
1
当
<
/p>
3
时，
a
2
3
a
1
0
，
a
n
1
< br>
3
a
n
不是等比数列，舍去，所以
<
/p>
类型三：构造等比数列（辅助数列）求通项公式
1
.
3
< br>2
a
n
4
，且
a
1
1
，求
a
n
的通项公式
.
3
2
2
1
解：设
a
n
1
x
<
/p>
(
a
n
x
)
，即
a
n
1
a
n
x
< br>，
3
3
3
1
2
∴
x
4
，解得
x
12<
/p>
，所以
a
n
<
/p>
1
12
(
a
n
12)
，
3
3
2
∴
a
n
12
是首项为
a
1
12
11
，公比为
的等比数列，
3
例
5
已知数
列
a
n
<
/p>
满足
a
n
1
2
∴
a
n
12
11
< br>
3
n
1
2
，∴
a
n<
/p>
12
11<
/p>
3
n
1
例
6
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
2
a
n
1
a
n
n<
/p>
2
.
n
(
n
1)(
n
2)
（
1
）若
b
n
a
n
1
，求证：数列
b
n
是等比数列；
n
(
n
1)
（
2
）求数列
a
n
的通项公式
.
解：由
2
a
n
1
a
n
<
/p>
n
2
，得
n
(
n
1)(
n
2)
2
a
n
1
a
n
2
n
(
n
2)
2
1
n
(
n
1)(
n
2)
(
n
1)(
n
2)
n
(
n
1)
∴
2
a
n
1
2
1
a
n
(
n
1)(
n
2)
n
(
n
1)
∴
a<
/p>
n
1
1
1
1
a
n
(
n
1)(
n
2)
2
n
(
n
1
)
b
1<
/p>
1
1
，∴
b
n
1
b
n
，即
n
1
，
b
n
2
n
(
n
1)
2
4
∵
b
n
a
n<
/p>