数列通项公式前n项和求法总结全
-
一
.
数列通项公式求法总结：
< br>
1.
定义法
——
直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）
．
2
例
1
．等差数列
a
n
是递增数列，前
n
项和为
S
n
，且
a
1
,
a
3
,<
/p>
a
9
成等比数列，
S
5
a
5
．求数列
a
n
的通项公式
.
变式练习：
1.
等差数列
a
n
中
,
a
7
4,
a
< br>19
2
a
9
,
求
a
n
的通项公式
2.
在等比数列
{
a
n
}
中
,
a
2
a
1
2
,
且
2
a<
/p>
2
为
3
a
1
和
a
3
的等差中项
,
求数列
{<
/p>
a
n
}
的首项、
公比及
前
n
项
和
.
2.
公式法
S
1
<
/p>
n
1
求数列
a
n
的通项
a
n
可用公式
a
n
< br>
求解。
< br>S
S
n
2
n
1
n
特征：已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系
例
2.
已知下列两数列
{
a
n
}
的前
n
项和
s
n
< br>的公式，求
{
a
n
}
的通项公式。
（
1
）
S
n
n
3
n
1
。
（
2
）
s
n
n
2
1
变式练习：
1.
< br>已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
=2n
2
+n
，
n
∈
N
< br>﹡，数列
{b
n
}
满足
a
n
=4log
2
b
n
+3
，
n
∈
N
﹡
.
求
a
< br>n
，
b
n
。
1
2.
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
n
2
kn
（
k
N
*
）
,
且
S
n
的最大值为
8
，试确
定常数
k
2
并求
a
n
。
n
2
n
，
n
N
.
求数列
a
n
的通项公式。
3.
已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
2
3.
由递推式求数列通项法
类型
1
特征：
递推公式为
a
n
1
a
n
f
(
n
)<
/p>
对策：把原递推公式转化为
a
n
1
a
n
f
< br>(
n
)
，利用
< br>累加法
求解。
例
3.
已知数列
a
n
满足
a
1
1
1
，
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
。
2
n
n
变式练习：
1.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
n
1
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
2.
已知数列：
求通项公式
类型
2
特征：递推公式为
a
n
1
f
(
n
)
a
n
a
n<
/p>
1
f
(
n
)
，利用
累乘法
求解。
a<
/p>
n
对策：把原递推公式转化为
例
4.
已知数列
a<
/p>
n
满足
a
1
2
n
，
a
n
1
a
n
< br>，求
a
n
。
3
n
1
变式练习：
1.
< br>已知数列
a
n
中，
a
1
< br>
2
，
a
n
1
3
n
a
n
，求通
项公式
a
n
。
2
2
n
2.
设
a
n
是首项为
1
的正项数列，且
n
1
a
n
，求数
1
na
n
a<
/p>
n
1
a
n
0
（
=1
，
2
，
3
，…）
列的通项公式是
a
n
类型
3
特征：递推公式为
a
n
1
pa
< br>n
q
（其中
< br>p
，
q
均为常数）
对策：
（利用
构造法
消去
q
）
把原递推
公式转化为由
a
n
< br>1
pa
n
q
得
a
n
pa
n
1
q
(
n
2)
两式
相减并整理得
a
n
1
a
n<
/p>
p
,
构成数列
a
n
1
a
n
以
a
2
a
1
为首项，以
p
为公比的等比
a
n<
/p>
a
n
1
数列
.
求出
a
n
1
a
n
的通项再转化为类型
1
（累
加法）便可求出
a
n
.
例
5.
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
变式练习：
1.
< br>数列
{
a
n
}
满足
a
1
=1
，
3
a
n
1
a<
/p>
n
7
0
,
求数列
{
a
n
}
的通项公式。
2.
已知数列
a
n
满足
a
1
=1
，
a
n
1<
/p>
3
a
n
1
.
证明
a
n
1
是等比数列，并求
a
n<
/p>
的通项公式。
2
类型
4
特征：递推公式为
a
n
1
pa
n
f
(
n
)
（其中
p
为常数）
对策：
（利用构造法消去
p
）两边同时除以<
/p>
p
n
1
可得到
a
n
1
a
n
f
(
n
)
a
n
b
n
，则
，令
p
n
p
n
1
p
n
p<
/p>
n
1
b
n
1
b
n
f
(
n
)
n
a
p
b
n
b
，再转化为类型
1
（累加法）
，求出
之后得<
/p>
n
n
n
1
p
例
6
．已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
4
< br>
3
n
1
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
< br>
变式练习：
已知数列
a
n
满足
a
1
1
，
a
n
< br>3
n
2
a
n
1
(
n
2
)
，
求
a
n
．
二
.
数列的前
n
项和的求法总
结
1.
公式法
n
(
a
1
<
/p>
a
n
)
n
(
n
1)
na
1
d
2
2
（
1
）等差数列前
n
项和：
S
n
（
2
）等比数列前
n<
/p>
项和：
q=1
时，
S
n
n
a
1
1<
/p>
，求
x
x
2
x
3
x
n
< br>
的前
n
项和
.
log
2
3
例
1.
已知
log
3
x
变式练习：
1.
设等比数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
.
已知
a
2
6,
6
a
1
a
3
30,
求
a
n
和
S
n
.
2.
设
{
a
n
}
是等差数列，
{
b
n
}
是各项均为正数的等比数列，且
a
1
b
1
1
，
a
3
b
5
21
，
a
5
b
3
13
。
（
1
< br>）求
a
n
，
b
n
；
b
（
2
）求数列
{
n
}
的前
n
项和
S
n
。
a
n
2.<
/p>
错位相减法
①若数列
< br>
a
n
为等差数列，数列
b
n
为等比数列，则数列
a
n
b
n<
/p>
的求和就要采用此法
.
②将数列
a
n
b
n
< br>
的每一项分别乘以
b
n
的公比，
然后在
错位相减，
进而可得到数列
a
n
b
n
的前
n
项和
.