等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)
-
等比数列知识点总结与典型例题
1
、等比数列的定义：
2
、通项公式：
a
n
< br>a
1
q
n
1
a
1
n
q
A
B
n
a
1
q
0,
A
B
0
，首项：
a
1
；公比：
q
q
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
，
q
称为
公比
a
n
1
推广：
a
n
a
m
q
n
m
< br>
q
n
m
3
、等比中项：
a
n
a
q
n
m
n
a<
/p>
m
a
m
（
1
）如果
a
,
A
,
b
成等比数列，
那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，即：
A
2
ab
或
A
ab
< br>
注意：
同号的
两个数
才有
等比中项，并且它们的等比中项
有两个
（
（
2
）数列
a
n
是等比数列
a
n
2
a
n
1
a
n
1
< br>
4
、等比数列的前
n
项和
S
n
公式：
（
1
）当
q
1
时，
S
n
na
1
（
2
< br>）当
q
1
时，
S
n
a
1
1
q
n
1
q
a
1
a
n
q
1
< br>
q
a
1
a
1
q
n
A
A
B
n
A
'
B
n
A
'
（
< br>A
,
B
,
A
',
B
'
为常数）
1
q
1
q
5
、等比数列的判定方法：
（
1
）用定义：对任意的
n
，都有
a
n
1
qa
n
或
a
n
1<
/p>
q
(
q
为常数，
a
n
0)
{
a
n
}
为等比数列
<
/p>
a
n
（
2
）等比中项：
a
n
2
a
n
1
a
n
1
(
a
n
1
a
n
< br>
1
0)
{
a
n
}
为等比数列
（
3
）通项公式：
a
n
A
B
< br>n
A
B
0
{
a
n
}
为等比数列
6
、等比数列的证明方法：
依据定义：若
a
n
<
/p>
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
< br>或
a
n
1
qa
n
{
a
n
}<
/p>
为等比数列
a
n
1
7
、等
比数列的性质：
（
2
）对任何
m
,
n
N
*
，在等比数列
{
a
n
}
中，有
a
n
a
m
q
n
m
。
（
3
）若
m
n
s
t
(
m
,
n
,
s
,
t
N
*
)
，则
a
n
a
m
a
s
a
t
。特别的，当
m
< br>n
2
k
时，得
a
n
a
m
a
k
2
注：
a<
/p>
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
等差和等比数列比较：
等差数列
等比数列
定义
递推公
式
通项公
式
中项
A
<
/p>
a
n
1
a
n
d
a
n
1
q
(
q
0
)
a
n
a<
/p>
n
a
n
1
q
；
a
n
a
m
q
n
m
a
n
a
n
1<
/p>
d
；
a
n
a
m
n
md
a
n
< br>a
1
(
n
1
)
d
a
n
a
1
q
n
1
（
a
1
,
q
< br>0
）
a
n
k
a
n
k
2
（
n
,
k
N
*
,
n
k
< br>
0
）
G
a
n
k
a
n
k
(
a
n
k
a
n
k
< br>0
)
（
n
,
k
N
*
,
n
k
0
）
n
(
a
1
a
n
)
< br>2
S
n
前
n
项和
n
(
n
1<
/p>
)
S
n
na
1
d
2
na
1
(
q
1
)
S
n
a
1
1
q
n<
/p>
a
1
a
n
q
(
q
2
)
1
q
1
q
重要
性质
<
/p>
a
q
a
m
a
n
a
p
,
m
n
p
q
)
(
m
,
n<
/p>
,
p
,
q
N
*
a
m
a
n
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p<
/p>
,
q
N
*
,
m
n
p
q
)
经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例
1
．
等比数列
{<
/p>
a
n
}
中，
a
1
a
9
64
,
a
3
a
7
20
,
求
a
11
.
< br>
思路点拨：
由等比数列的通项公式，
< br>通过已知条件可列出关于
a
1
和
q
的二元方程组，
解出
a
1
和
q
，可得
a
11
< br>；或注意到下标
1
9
3
7
，可以利用性质可求出
a
3
、
a
7
，再求
a
11
.
解析：
8
a
1
a
9
a
1
a
1
q
64
法一：
设此数列公比为
q
，则
2
6
a
3
a
7
a
1
q
a
1
< br>q
20
(1)
(2)
由
(2)
得：
a
1
q
2
(1
q
4
)
20
< br>..........(3)
∴
a
1
0
.
由
(1)
得：
(
a
1
q
4
)
2
64
,
∴
a
1
q
4
8
......(4)
1
q
4
20
5
，
(3)÷(4)
得：
2
q
8
2
∴
2
q
4
5
q
2<
/p>
2
0
,
解得
q
2
2
或
q
2
1
< br>2
当
q
2
2
时，
a
1
2
，
a<
/p>
11
a
1
q
10
64
；
当
q
2
1
时，
a
1
32
，
a
11
a
1
q
10
1
.
2
法二：
∵
a
1
a
9
a
3
a
7
64
,
又
a
3
a
7
20
,
∴
a
3
、
a
7
为方程
x
2
20
x
64
0
的两实数根，
<
/p>
a
3
16
∴
或
a
7
4
2
a
3
4
< br>a
7
16
a
7
2
∵
a
3
a
11
a
7
, <
/p>
∴
a
11
1
或
a
11
64
.
a
3
总结升华：
①
列方程（组
）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②
解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形
要用
除法（除式不为零）
.
举一反三：
【变式
< br>1
】
{a
n
}
为等比数列，
a
1
=3
，
a
9
=768
，求
a
6
。
【答案】
±96
法一：
设公比为
q
，则
768=a
1
q
8
，
q
8
=256
，
∴
q=±2
，<
/p>
∴
a
6
=±96
；
法二：
a
5
2
=a
1<
/p>
a
9
a
5
=±48
q=±
2
，
∴
a
6<
/p>
=±96
。
【
变式
2
】
{a
n
}
为等比数列，
a
< br>n
＞
0
，且
a
1
a
89
=16
，求
a
44
< br>a
45
a
46
< br>的值。
【答案】
64
；
2
16
，又
a
n
＞
0
，
∴
< br>a
45
=4
< br>∵
a
1
a
89
a
45
3
64
。
∴
a
44
a<
/p>
45
a
46
<
/p>
a
45
【变式
3
】
已知等比数列
{
a
n
}
，若
a
1
a
2
a
3
7
，
a
1
a
2
a
3
8
，求
a
n
。
【答案】
a
n
2
< br>n
1
或
a
n
2
3
n
；
3
2
8
，
∴
a
2
2
法一：
∵
a
1
a
< br>3
a
2
，
∴
a
1
a
2
a
3
a
2
a
1
a
3
5
,
解之得
a
1
1
< br>，
a
3
4
或
a
1
4
，
a
3
1
从而
a
1
a
3
4
当
a
1
1
时，
q
2
；当
a
1
4
时，
q
故
a
n
2
n
1
或
a
n
2
3
n
< br>。
法二
：由等比数列的定义知
a
2
a
1
q
，
a
3
a
1
q
2
2
< br>
a
1
a
1
q
a
1
q
7
代入已知得
2
a
1
a
1
q
a
1
q
8
2
< br>2
a
1
(1
q
q
)
7,
a
1
(1<
/p>
q
q
)
7,
(1)
3
3
(2)
a
1
q
2
< br>a
1
q
8
1
。
2
将
a
1
2
代入（
1
）得<
/p>
2
q
2
5
q
2
0
，
q
解得
q
< br>2
或
q
1
2
a
4
a
1
1
1
由（
2
）得
或
1
，以下同方法一。
<
/p>
q
2
q
2
类型二：等比数列的前
n
项和公式
例
2
．
设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
+S
6
=2S
9
，求数列的公比
q.
解析：
若
q=1
，则有
S
3
=3a
< br>1
，
S
6
=6a
1
，
S
9
=9a
1
.
因
a
1
≠
0
，得
S
3
+
S
6
≠2S
9
，显然
q=1
与题设矛盾，故
q≠1.
a
1
(1<
/p>
q
3
)
a
1
(1
q
6
)
2
a
1
(1
q
9
)
由
S
3
S
6
2<
/p>
S
9
得，
，
1
q
1
q
1
q
整理得
q
3
(2q
6
-q
3
-1)=0
，
由
q≠0
，得
2q<
/p>
6
-q
3
-1=
0
，从而
(2q
3
+1)(q
3
-1)=0
，
因
q
3
≠1
，故
q
3
3
4
1
。
，所以
q
2
2
举一反三：
1
1
【变式
1
】
求等比数列
1,
,
,
L
的前
6
项和。
3
9
【答案】
364
；
243
1
∵
a
1
1
，
q
，
n
6
3
< br>
1
6
1
1
6
3
364
3
1
∴
< br>S
6
。
1
1
2
3
243
1
3
【变式
2
】
已知：
{a
n
}
为等比数列，
a
1
a
2
a
3
=27
，
S
3
=13
，求
S
5
.
【答案】
121
或
3
2
121
；
9
a
1
(1
q
3
)
1
q
3
或
q
，则
a
< br>1
=1
或
a
1
=9
∵
a
27
a
2
3
，<
/p>
13
1
q
3
1
9
1
－
1
< br>
3
5
3
5
121
121
或
S
5
＝
＝
∴
S
5
.
1
1
3
9
1
－
3
【变式
3
】
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
a
n
66
，
a
2
< br>a
n
1
128
，
S
n
126
，求
n
和
q
。
【答案】
q
1
或
2
，
n<
/p>
6
；
2
∵
a
2
a
n
1
a
1
a
n
，
∴
a
1
a
n<
/p>
128
<
/p>
a
1
a
n
128
a
64
a
2
解方程组
，得
1
或
1
a
1
a
n
66
a
n
2
a
n
64
a
1
64
a
a
q
1
①<
/p>
将
代入
S
n
1
n
，得
q
，
1
q
2
a
n
2
由
a
n
a
1
q<
/p>
n
1
，解得<
/p>
n
6
；
a
1
2
a
a
q
②
将
代入
S
n
1
n
，得
q
2
，
<
/p>
1
q
a
n
64
由
a
n
a
1
q
n
< br>
1
，解得
n
< br>
6
。
∴
q
1
或
2
，
n
6
。
2
类型三：等比数列的性质
例
3.
等比数列
{
a
n
}
中，若
a
5
a
6
9
,<
/p>
求
log
3
a<
/p>
1
log
3<
/p>
a
2
...<
/p>
log
3
a<
/p>
10
.
解析：
∵
{
a
n
}
是等比数列，
∴
a
1
a
10
a
2
a
9
a
3
a
8
a
4
a
< br>7
a
5
a
6
9
∴
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10
log<
/p>
3
(
a
1
a
2
a
3
L
a
10
)
log
3
(
a
5
< br>
a
6
)
5
log
3
9
5
10
举一反三：
【变式
1
】
正项等比数列
{
a
n
}
中，若
a
1
·
a
100
=100;
则
lga
1
+lga
2
+……+lga
100
=_____
________.
【答案】
100
；
∵
lga
1
+lga
2
+lga
3
+……+lga
100
=lg(a
1
·
a
2
·
a
3
·……·a
100
)
而
a
1
·
a
100
=a
2
·
a
99
=
a
3
·
a
98
=……=a
50
·
a
51
∴
原式
=lg(a
1
·
a
100
)
50
=50lg(a
1
·
a
100
)=50×lg100=100<
/p>
。
8
27
【变式
2
】
在
和
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积
为
3
2
________
。
【答案】
216
；
法一：
设这个等
比数列为
{
a
n
}
，其公比为
q
，
< br>
8
27
8
81
9
a
1
q
4
q
4
，
∴
q
4
，
q
2
∵
a
1
< br>，
a
5
3
2
3
16
4
8
∴<
/p>
a
2
a
3
a
4
a
1
q
a
1
q
2
a
1
q
3
a
1<
/p>
3
q
6
3
3
9
6
3
216
。
4
3
8<
/p>
27
法二：
设这个等比数列为
{
a
n
}
，公比为
q
，则
a
1
，
a
5
，
3
2
加入的三项分别为
a
2
，
a
3
，
a
4
，
< br>
8
27
2
由题意
a
1
，
a
3
，
a
5
也成等比数列，
∴
a
3
36
，故
a
3
6
，
3
2
2
3
<
/p>
a
3
a
3
216
。
∴
a
2
a
3
a
4
a
3
类型四：等比数列前
n
项和公式
的性质
例
4
．
在等比数列
{
a
n
}
中，已知
S
< br>n
48
，
S
2
n
60
，求
S
3
n
。
思路点拨：
等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中
前<
/p>
k
项和，第
2
个
k
项和，第
3
个
k
项和，
……
，第
n
个
k
项和仍然成等比数列。
解析
：
法一
：
令
b
1
=S
n
=48, b
2
=S
2n
-S
n
< br>=60-48=12
，
b
3
=S
3n
-S
2n
观察
b
1<
/p>
=a
1
+a
2<
/p>
+……+a
n
,
b
2
=a
n+
1
+a
n+2
+……+a
2n
=q
n
(a
1
+a
2
+……+a
n
)
，
b
3
=a
2n+1
+a
2n+2
+……+a
< br>3n
=q
2n
(a
1
+a
2
+……+a
n
)
2
b
2
12
2
易知
b
1
,b
2
,b
3
成等比数列，
∴
b
3
3
，
b
1
48
∴
S
3n
=b
3
+S
2n
=3+60=63
.
法二：
∵
S
2
n
2<
/p>
S
n
，
∴
q
1
，
a
1
(1
q
n
< br>)
48
①
1
q
由已知得
2
n
a
1
(1
q
)<
/p>
60
②
1
q
②÷①
得
1
q
n
③
代入
①
得
5
1
，即
q
n
< br>
③
4
4
a
1
64
，
1
q
a
1
(1
q
3
< br>n
)
1
64(1
3
)
63
。
∴
S
3
n
1
q
4
法三：
∵
{
a
n
}
为等比数列，
∴
S
n
，
S<
/p>
2
n
S
n
，
S
3
n
S
2
n
也成等比数列，
∴
(
S
2
n
S
n
)
2
S
n
(
S
3
n
S
2
n
)<
/p>
，
(
S
2
n
S
n
)
2
(60
48)
2
∴
S
3
n
S
2
n
60
63
。
S
n
48
举一反三：
< br>【变式
1
】
等比数列
{
a
n
}
中，公比
q=2, S
4
=1
,
则
S
8
=_
__________.
【答案】
1
7
；
S
8<
/p>
=S
4
+a
5<
/p>
+a
6
+a
7<
/p>
+a
8
=S
4<
/p>
+a
1
q
4
+a
2
q
4
+a
3
q
4
+a
4
q
4
=S
4
+q
4
(a
1
+a
2
+a
3
+a
4
)=S
4
+q
4
S
4
=S
4
(1+q
4
)=1×(1+2
4
)=17
【变式
2
】
已知等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
且
S
10
=10, S
20
=40,
求：
S
30
=
？