(完整版)高一数列通项公式常见求法
-
数
列
通
项
公
式
的
常
< br>见
求
法
一、公式法
高中重点学了等差数列和
等比数列，
当题中已知数列是等差或等
比数列，在求其通项公式
时我们就可以直接
利用等差或等比数列的公式
来求通项，只需求
得首项及公差公比。
1
、等差数列公式
< br>例
1
、已知等差数列
{
a
n
}
满足
a
2
=0
，
a
6
+
a
< br>8
=-10
，求数列
{
a
n
}
的通项公
式。
解：
（
I
）设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，由已知条件可得
a
1
d
< br>
0,
a
1
1,
解得
2<
/p>
a
12
d
10,
d
1.
1
故数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
2
n
.
2
、等比数列公式
< br>例
2
、设
{
a
n
}
是公比为正数的等比数列，
a
1
2
，
a
3
a
2
4
，求
{
a
n
}
的通
项公式。
解：
设
q
为等比数列
{
a
n
}
的公比，
则由
a
1
2,
a
3
a
2
4
得
2
q
2
2
q
4
，
即
q
2
q<
/p>
2
0
，解得
q
2
或
q
1
（舍去）
，因此
q
2.
所以
{
a
n
}
的通项为
a
n
2
2
n
1
2
n
(
n
N
*
).
3
、通用公式
若已知数列的前
n
项和
S
n
的表达式，求数列
a
n
的通项
a
n
可用公
式
S
n
n
1
a
n
求解。
一般先求出
a
1
S
1
，
若计算出的
a
n
中当
n=1<
/p>
S
n
S
n
1
n
2
适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例
3
、已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
n
2
< br>1
，求
{
a
n
}
的通项公式。
解：
a
1
s
1
0
，当
n
2
时
0
a
由于
1
不适合于此等式
。
∴
a
n
2
n
1<
/p>
(
n
1
)
(
n
2
)
二、
当题中告诉了数列任何前一项和后一项的
递推关系
即
：
a
n
和
a<
/p>
n
1
的
关系时，我们可以根据具体情况采用下列方法：
1
、累加法
一
般
地
，
对<
/p>
于
形
如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
类
型
的
通
项
公
式
，
且
f<
/p>
(
1
)
f
(
2
)
f
(
n
)
的和比较好求，我们可
以采用此方法来求
a
n
。
即：
a
n
(
a
n
a
n
< br>
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
L
(
a
2
a
1
)
< br>
a
1
(
n
2)
。
例
4
、数列
a
n
的首项
为
3
，
b<
/p>
n
为等差数列且
b
n
a
n
1
a
n
(
n
N
*)
．若
则
b
3
2
，
b
10
12
，则
a
8
A
．
0
B
．
3
C
．
8
D
．
11
解：由已知知
b
n
2
< br>n
8,
a
n
1
a
n
2
n<
/p>
8,
由累加法
例
5
、
已知数列
a
n<
/p>
满足
a
1
,
a
n
1
a
n
式。
解：由题知：
a
n
1
a
n
2
、累乘法
一般地对于
形如“已知
a
1
，且
a
n
1
f
(
n
)
（
f
(
n
)
为可求积的数列
）
”的形
a
n
a
n
a
n
<
/p>
1
a
L
2
a
1
(
n
2)
；
< br>a
n
1
a
n
2
a
1
1
2
1
，求数列
a
n<
/p>
的通项公
n
2
n
1
1
1
1
n
2
n
n
(
< br>n
1)
n
n
1
式
可通过累乘法求数列的通项公式。即：
a
n
例
6
、在数列｛
a
n
｝中，
a
1
=1, (n+1)
·
a
n
1<
/p>
=n
·
a
n
，求
a
n
的表
达式。
解：由
(
n+1)
·
a
n
1
=n
·
a
n
得
a
n<
/p>
1
n
，
a
n
n
1
1
2
3
n
1
1
1
a
n
a
2
a
3<
/p>
a
4
=
·
·
…
a
n
=
所以
a
n
n
n
n
a
1
< br>a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
3
4
3
、构造法
当数
列前一项和后一项即
a
n
和
a
n
1
的递推关系较为复杂时，我们
往往对原数列的递推关系进行变形，
重新构造数列，
使其变为我们学
过的熟悉的数列
（等比数列或等差数列）
。
具体有以下几种
常见方法。
（
1
）待定系数法：形如
a
n
1
ca
n
d
,
(
c
0
,
< br>其中
a
1
a
)
型
（
1
）若
c=1
时，数列
{
a
n
}
为等差数列
;
（
2
）若
d=0
时，数列
{
a
n
}
为等比数列
;
（
3<
/p>
）若
c
1
且d
0
时，数列
{
a
n
}
为线性递推数列，其通项可通过
待定系数法构造辅助数列来求
.
待定系数法：设
a
n
1
c
(
a
n
)
,
得
a
n
1
< br>ca
n
(
c
1
)
,
与题设
a
n
1
ca
n
d
,
比较系数得
d
d
d
,
(
c
0
)
a
n
c
(
a
< br>n
1
)
c
1
c
1
c
1
所以有：
(<
/p>
c
1
)
d
,
所以
d
d
a
n
< br>
a
1
c
1
构成以
c
1
为首项，
因此数列
< br>以
c
为公比的等比数
列，
a
n
d
d
d
d
(
a
1
)
c
n
1
a
n<
/p>
(
a
1
)
c
n
1
c
1
c
1
c
1
c
1
.
即：
所以
例
7
、已知数列
{
a
n
}
中
，
a
1
1,
a
n
2
a
n
1
1(
n
2)
，求数列
a
n
的通项公