数列通项公式的求法(较全)
-
常见数列通项公式的求法
公式：
1
、
定义法
若数列是等差数列或等比数列
,
求通公式项时
,
只需求出
a
1
与
< br>d
或
a
1
与
q
,
再代入公式
< br>a
n
a
1
n
1
d
或
a
n
a
1
q
n
1
中即可
.
例
1
、成等差数列的三个正数的和等于
15
，并且这三个数分别加上
2
，
< br>5
，
13
后成为等比数列
b
n
的
b
3
,
b
4
,
b
5
,
求数列
b
n
的的通项公式
.
*
练
习
：
数
列
a
n
是
等
差
< br>数
列
,
数
列
b
n
是
等
比
数
列
,
数
列
c
n
中
对
于
任
< br>何
n
N
都
有
1
2
7
c
n
a
n
b
n
,
c
1
0,
c
2
,
c
3
,
c
4
,
分别求出此三个数列的通项公式
.
6
9
54
不同的信念，决定不同的命运
2
、
累加法
形如
a
n
1
<
/p>
a
n
f
n
已知
a
1
型的的递推公式均可用累加法求通项公式
.
（
1
）
当
f
n
d
为常数时，
a
n
为等差数列，则
a
n
a
1
n
1
d
；
（
2
）
当
f
n
为
n
的函数时，用累
加法
.
方法如下：由
a
n
1
< br>a
n
f
n
得
当
n
2
时，
a
n
a
n
1
f
n
1
，
a
n
1
a
n
<
/p>
2
f
n
2
，
a
3
a
2
f
2
a
2
a<
/p>
1
f
1
，
，
以上
<
/p>
n
1
个等式累加得
a
n
a
1
f
n
1
+
f
n
2
< br>
a
n
a
1
f
n
1
+
f
n
2
f
< br>
2
f
1
f
2
f
1
（
3
）已知
a
1
，
a
n
< br>1
a
n
f
n
，其中
f
n
可以是关于
n
的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通
项
. <
/p>
①若
f
n
可以是关于
n
的
一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
②若
f
n
< br>可以是关于
n
的二次函数，累加后可分组求和；
③若
f
n
可以是关于
n
的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
④若
f
n
可以是关于
n
的分式函数，累加后可
裂项求和求和
.
例
2
、数列
a
n
中已知
a
1
1,
a
n
< br>
1
a
n
2
n
3
,
求
<
/p>
a
n
的通项公
式
.
不同的信念，决定不同的命运
练习
1<
/p>
：已知数列
a
n
满足
a
n
1
a
n
3
n
2
且
a
1
2,
求
a
n
.
练习
2
：已
知数列
a
n
中，
a
1
1,
a
n
<
/p>
1
a
n
3
n
2
n
,
求
a
n
< br>的通项公式
.
练习<
/p>
3
：已知数列
a
n
满足
a
1
3
、
累乘法
1
1
,
a
n
1
a
n
2
,
求求
a
n
的通项公式
.
2
n
n
a
n
1
f
< br>
n
形如
a
n
已知
a
1
型的的递推公式均可用累乘法
求通项公式
.
给递推公式
a
n
1
f
n
< br>,
n
N
中的
n
依次取
1,2,3
，……，
n
1
,
可得到下面
n
1
个式子：
a
n
,
a
n
f
n
1
.
a
n
1
a
2
a
a
<
/p>
f
1
,
3
f
2
,
4
f
3
,
a
1
a
2
a
3<
/p>
利用公式
a
n
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
< br>a
3
a
n
,
a
n
0,
n
<
/p>
N
可得：<
/p>
a
n
1
a
n
a
1
f
1
f
2
f
3
<
/p>
f
n
1
.
不同的信念，决定不同的命运
例
3
、已知数列
a
n
满足
a
1<
/p>
练习
1<
/p>
：数列
a
n<
/p>
中已知
a
1<
/p>
1,
2
2
练习
2:
设
a
n
是首项为
1
的正项数
列，且
(
n
1)
a
n
1
na
n
<
/p>
a
n
1
a
n
0
，求
a
n
的通项公式
.
2
n
,
a
n
1
a
n
,
求
a
n
.
3
n
1
a
n
1
n
2
,
求
a
n
的通项公式<
/p>
.
a
n
n
4
、
奇偶分析法
(1)
对于形如
a
n
1
a
n
f<
/p>
n
型的递推
公式求通项公式
①当
a
n
1
< br>a
n
d
d
为常数
时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周
期为
2
，其通项分奇数项和偶
数项来讨
论
.
②
当
f
n
为
n
的
函
数
时
，
由
a
n
1
< br>a
n
f
n
，
a
n
a
n
1
f
n
1
两
式
相
< br>减
，
得
到
a
n
+
1
a
n
<
/p>
1
f
n
f
n
1
，分奇偶项来求通项
.
例
4
、数列
a
n
满足
a<
/p>
1
1,
a
n
1
a
n
4
，求
a
n
的通项公式
.
不同的信念，决定不同的命运
练习：数列
a
n
满
足
a
1
6,
a
n
1
a
n
6
，求
a
n
的通项公式
.
例
5
、数列
a
n
满足
a
1
0,
a
n
1
a
n
2
< br>n
，求
a
n
的通项公式
.
练习
1:
数列
a
n
满足
a
1
<
/p>
1,
a
n
1
a
n
n
1
，求
a
n
的通项公式
.
练习
2<
/p>
：数列
a
n<
/p>
满足
a
1
2,
a
n
1
a
n
3
n
1
，求
< br>a
n
的通项公式
.
不同的信念，决定不同的命运
(2)
对
于形如
a
n
1
a
n
<
/p>
f
n
型的递推公式求通项公式
①当
a
n
1
< br>
a
n
d
d
为常数
时，则数列为“等积数列
”，它是一个周期数列，周期为
2
，其通项分奇数项和偶
数项来讨论
.
②当
f
n
为<
/p>
n
的函数时，由
a
n
1
a
n
f
n
，
a
n
a
n
1
f
< br>
n
1
两式相除，得到
f
n
< br>a
n
+1
，分奇偶项
a
n
1
来求通项
.
例
6
、已知数列
a
n
满足
a
1
2,
a
n
1
a
n
4
，求
a
n
的通项公式
.
练习：已知数列
< br>a
n
满足
a
1
2
3
,
a
n
<
/p>
1
a
n
2
，求
a
n
的通项公式
.
n
例
7
、已知数列
a
1
n
满足
a
1
3,
a
n
1
a
n
< br>2
，求
a
n
的通项公式
.
不同的
信念，决定不同的命运
f
n
1
n
练习
1:
数列
a
n
满足
a
1
<
/p>
2,
a
n
1
a
n
3
，求
a
n
的通项公式
.
n
练习
2<
/p>
：数列
a
n<
/p>
满足
a
1
1,
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
< br>的通项公式
.
5
、
待定系数法（构造法）
若给出条件直
接求
a
n
较难
,
可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列
,
从而根据等差或者等比数列的定
义求出通项
.<
/p>
常见的有
:
(1)
a
n
1
pa
n
q
p
,
q
为常数
a
n
1
t
p
a
n
t
,
< br>构造
a
n
t
为等比数列
.
(2)
a
n
1
< br>
pa
n
tp
n
1
1
n
t
,
p
为常数
n
1
p
两边同时除以
p
n
< br>1
a
a
n
t
p
n
(3)
两边同时除以
p
a
n
1
pa
n
tq
n
1
t
,
p
,<
/p>
q
为常数
n
1
a
n
1
p
a
n
t
,
再参考类型
1
n
1
n
q
q
q
(4)
a
n
1
pa
n
qn
r
p
< br>,
q
,
r
是常数
a
n
1
n
1
p
a
n
n
< br>
(5)
< br>a
n
2
pa
n
1
+
qa
n
a
n
2
ta
n
1
p
a
n
1
t
a
n
,
构造等比数列
a
n
1
< br>
t
a
n
不
同的信念，决定不同的命运