等差等比数列的性质总结
-
一、等差数列
1.
< br>等差数列的定义：
a
n
a
n
1
d
（
d
为常数）
（
n
2
）
；
2
．等差数列通项公式：
a
n
a
1
(<
/p>
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
*
)
，
首项
:
a
1
，公差
:d
，末项
:
a
n
推广：
a
n
a
m
(
n
m
)
d
．
从而
d
3
．等差中项
（
1
）如果
a
，
A
，
b
成
等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A<
/p>
（
2
）等差中
项：数列
a
n
是等差数列
2
< br>a
n
a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
a
< br>n
a
n
2
4
．
等差数列的前
n
项和公式：
a
b
或
2
A
a
b
2
a
n
a
m
；
n
m
S
n
n
(
< br>a
1
a
n
)
n
(
n
1)
d
1<
/p>
na
1
d
n
2
(
a
1
d
)
n
< br>
An
2
Bn
2
2
2
2
（其中
A
、
B
是常数，所以当
d
≠
0
时，
S
n
是关于
n
的二次式且常数项
为
0
）
特别
地，当项数为奇数
2
n
1
时，
a
n
1
是项数为
2n+1
的等差数列的中间项
S
2
n
1
2
n
<
/p>
1
a
1
a
2
n
1
2
2
n
< br>
1
a
n
1
（项数为奇数的等差数列的各
项和等于项数乘以中间项）
5
．
等差数列的判定方法
< br>
（
1
）
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
< br>(
常数
n
N
)
a
n
是等
差数列．
⑶数列
a
n
是等差数列
a
n
kn
b
（其中
k
,
b
是常数）。
（
2
）
等差中项：数列
a
n
是等差数列
< br>2
a
n
a
n
-
1
a
n
1
(
n
2
)
2
a
n
1
< br>a
n
a
n
2
．
（
4
）数列
a
n
是等差
数列
S
n
An
2
Bn
,
（其中
A
、
B
是常数）。
6
．
等差数
列的证明方法
定义法：若
a
n
a
n
1
d
或
a
n
1
a
n
d
(
常数
n
N
)
a
n
是等差数列．
7.
提醒
：
（
1
）
等差数
列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到
5
个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d
称作为
基本元
素。只要已知这
5
个元素中的任意
3<
/p>
个，便可求出其余
2
个，即知
3
求
2
。
（
2
）设项技巧：
①一般可设通项
a
n
a
1
(
n
1)
d
②
奇数个数成等
差，可设为…，
a
2
d
,
a
d
,
a
,
a
d
,
a<
/p>
2
d
…（公差
为
d
）
；
<
/p>
③
偶数个数成等差，可设为…，
a
3
d
,
a
d
,
a
d
,
a
3
d
,
…（
注意；公差为
2
d
）
8..
等差数列的性质：
（
1
）当公差
d
0
时，
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(<
/p>
n
1)
d
dn
a
1
d
是关于
n
的一次函数，且斜率为公差
d
；
前
n
< br>和
S
n
na
1
n
(
n
1)
d
d
d
n
2
(
a
1
)
n
是关于
n
的二次函数且常数项为
0.
2
2
2
（
2
）若公差
d<
/p>
0
，则为递增等差数列，若公差
d
0
，则为递减等
差数列，若公差
d
0
，则为常数列。
（
3
）当
m
n
p
q
时
,
则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
< br>m
n
2
p
时，则有
a
m
a
n
2
a
p
.
注：
a
1
<
/p>
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
，
- 1 -
（
4
）若
<
/p>
a
n
、
b
n
为等差数列，则
a<
/p>
n
b
，
1
a
n
2
b
n
都为等差数列
(5)
若
{
a
n
}
是等差数列，则
S
n<
/p>
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
，…也成等差数列
（
6
）数列
{
a
n
}
为等差数列
,
每隔
k(k
N
)
项取出一项
(<
/p>
a
m
,
a
m
k
,
a
m
2
k
,
a
m
3
k
,
)
仍为等差数列
（
7
）设数
列
a
n
<
/p>
是等差数列，
d
为公差，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的和，
S
n
是前
n
项的和
1.
当项数为偶数
2
n
时，
*
n
a
1
< br>
a
2
n
1
S
奇
a
1
a
3
a
5
a
2
n
1
na
n
2
n
< br>a
2
a
2
n
S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2
n
na
n
1
2
S
偶
< br>
S
奇
na
n
1
na
n
n
a
n
1
a
n
S
奇
na
n
a
n
S
偶
na
n
1
a
n
1
2
、当项数为奇数
< br>2
n
1
时，则
S
奇
n
1
S
2
n
1
S
奇
S
偶
(2
n
1)
a
n+1
S
奇
(
< br>n
1)
a
n+1
S
S
a
S<
/p>
na
S
n
n+1
n+1
奇
偶
偶
偶
（其中
a
n+1
是项数为
2n+1
< br>的等差数列的中间项）
．
<
/p>
（
8
）
、
{
b
n
}
的前
n
和分别为
A
n
、
B
n
，且
则
（
9
）等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
m
n
，前
m
项和
S
n
m
< br>，则前
m+n
项和
S
m
n
m
n
(10)
求
S
n
的最值
法一：因等差数列前
n
项是关于
n
的二次函数，故可转化为求二次
函数的最值，但要注意数列的特殊性
A
n
f
(
n
)
，
B
n
a
n
(2
n
1)
a
n
A
2
n
1
< br>f
(2
n
1)
.
b
n
(2
n
1)
b
n
B
2
n
1
n
<
/p>
N
*
。
法二：
（
1
）
“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大
值是所有非负项之和
即当
a
1
0
，
d
0
，
< br>
由
a
n
0
可
得
S
n
达到
最
大值
时的
n
值．
a
n
1
0
a
n
0
可得
S
n
达到
最小值
时的
n
值．
a
n
1
0
（
2
）
“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最
小值是所有非正项之和。
即
当
a
1
0
，
d
0
，
由
或求
a
n
中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前
n
项和的图像是过原点的二次函数，故
n
取离二次函数对
称轴最近的整数时，
S
n
取最大值（或最小值）
。若
S
p
=
S
q
则其对称轴为
n
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于
a
1
和
d
的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
p
q
2
- 2 -
二、等比数列
1.
等比数列的定义：
2.
通项公式：
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
，
q
称为
公比
a
n
1
a
n
a
1
q
n
1
a<
/p>
1
n
q
A
B
n
a
1
q
0,
A
< br>
B
0
，
首项：
a
1
；公比
：
q
q
n<
/p>
m
推广：
a<
/p>
n
a
m
q
n
m
，
从而得
q
3.
等比中项
a
n
a
或
q<
/p>
n
m
n
a
m
a
m
2
（
1
）如果
a
,
A
,
b
成等比数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
ab
或
A
ab
注
意：
同号的
两个数
才有
等比中项，并且它们的等比中项
有两个
（两个等比中项
互为相反数）
（
2
< br>）数列
a
n
< br>
是等比数列
a
n
2
a
< br>n
1
a
n
1
4.
等比数列的前
n
项和
S
n
< br>公式：
(1)
当
q
1
时，
S
n
< br>na
1
(2)
当
q
1
< br>时，
S
n
a
1
1
q
n
1<
/p>
q
a
1
a
n
q
1
q
a
1
a
1
q
n
A
A<
/p>
B
n
A
'
B
n
A
'
（
A
,
B
,
A
',
B
'
为常数）
1
q
1
q
5.
等比数列的判定方法
（
1
）用定义：对任意的
n,
< br>都有
a
n
1
qa
n
或
a
n
1
q
(
q
为常数，
a
n
<
/p>
0)
{
a
n
}
为等比数列
a
n
（
2
）
等比中项：
a
n
2
a
n
1
a
n
1
（
a
n
1
a
n
< br>
1
0
）
{
a
n
}
为等比数列
（
3
）
通项公式：
a
n
A
B
n
A
B
0
{
a
n
}
< br>为等比数列
n
n
（
4
）
< br>前
n
项和公式：
S
n
A
< br>A
B
或
S
n
A
'
B
A
'
A
,
B
,
A
',
B
'
为常数
{
a
n
}
为等比数列
6.
等比数列的证明方法
依据定义：若<
/p>
a
n
q
q
0
n
2,
且
< br>n
N
*
或
a
n
1
qa
n<
/p>
{
a
n
}
为等比数列
a<
/p>
n
1
7.
注意
（
1<
/p>
）
等比数列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到
5
个元素：
a
1
、
q
、
n
、
a
n<
/p>
及
S
n
，其中<
/p>
a
1
、
q
称作为
基本元素。只要已知这
5
个元素中的任意
3
个，便可求出其余
2
个，即知
3
求
2
。
（
< br>2
）
为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项
；
a
n
a<
/p>
1
q
n
1
如奇数个数成等差，可设为…，
a
a
,
,
a
,
aq
,
aq
2
…（公比为
q
，中间项用
a
表示）
；
2
q
q
- 3
-
8.
等比数列的性质
(1)
当
q
1
时
①等
比数列通项公式
a
n
a
1
q
n
1
a
1
n
q
A<
/p>
B
n
A
B
0
是关于
n
的带有系数的类指数函数，
底数为公比
q
q
②前
n
项和
S
n
a
1
1
< br>
q
n
1
q
a
1
a
1
q
n
a
1
a
1
q
n
A
< br>A
B
n
A
'
B
n
A
'
，系数
和常数项是互为相反
1
q
1
q
1
q
数的类指数函数，底数为公比
q
(2)
对任何
m,n
N
*
,
在等比数列
{
a
n
}
中
,
有
a
n
< br>a
m
q
n
m
,
特别的
,
当
m=1
时
,
便得到等比数列的通项公
式
.
因此
,
此公式比等比数列的通项公式更具有
一般性。
(3)
若
m+n=s+t (m, n, s, t
< br>
N
*
),
则
a
n
a
m
a
s<
/p>
a
t
.
特别的
,
当
n+m=
2k
时
,
得
a
n
a
m
a
k
2
注：
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
<
/p>
2
a
k
(4)
列
{
a
n
}<
/p>
,
{
b
n
}
为等比数列
,
则数
列
{
}
,
{<
/p>
k
a
n
}
,
{
a
n
k
}
,
{
k
a
n
b
n
}
{
n
}
(k
为非零常数
)
< br>均为等比数
b
n
a
n
列
.
(5)
数列
{
a
n
}
为等比数列
,
每隔
k(k
N
*
)
项取出一项
(
a
m
,
a
m
k
,
a
m
2
k
,
a
m
< br>3
k
,
< br>)
仍为等比数列
(6)
如果
{
a
n
}
是各项均为正数的
等比数列
,
则数列
{log
a
a
n
}
是
等差数列
(7)
若
{
a
n
}
为等比数列
,
则数列
S
n
，
S
2
n
S
n
，
S
3
n
S
2
n
< br>,
，成等比数列
(8)
若
{
a
n
}
为等比数列
,
则数列
a
1
a
2
a
n
,
a
n
1
a
n
2
a
2
n
,
a
2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
成等比数列
(9)
①当
q
1
时，
②当
0<
q
1
时，<
/p>
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列<
/p>
{
a
{
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列
,
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列<
/p>
③当
q=1
时
,
该数列为常数列（此时数列也为等差数列）
< br>;
④当
q<0
时
,
该数列为摆动数列
.
(10)
在等比数列
{
a
n
}
中
,
当项数为
2n (n
N
*
)
时
,
S
奇
< br>1
,.
S
偶
q
(11)
若
{
a<
/p>
n
}
是公比为
q
的等比数列
,
则
S
n
m
S
n
q
n
S
m
例
1
、
（
1
）设
a
n
是等差数列，且
a
1
a
4
a
8
a
12
< br>
a
15
2
，求
a
3
a
13
及
S
15
值。
（
2
）等比数列
a
n
中，
a
1
a
n
66
，
a<
/p>
2
a
n
1
128
，前
n
项和
S
n
=126
，求
n
和公
比
q
。
（<
/p>
3
）等比数列中，
q=2
，
S
99
=77
，求
a
3
+a
6
+…+a
99
；
（
4
）项数为奇数的
等差数列
a
n
中，奇数项之和为
80
，偶数项之
和为
75
，求此数列的中间项与项数。
- 4 -