等比数列前n项合
-
等比数列前
n
项和和
1
.
理解并
掌握等比数列前
n
项和公式及其推导过程．
2
．能够应用前
n
项和公式解决等比数列的有关问题．
3
．进一步提高解方程
(
组
)
的能力，以及整体代换思想的应用能力
.
等比数列前
n
项和公式
知识点
基本内容
基本
公式
等比数列前
n
项和公式
q
＝
S
=
＝
q
n
根据
q
是否
为
1
，
有两种形式
基本
方法
推导等比数
列前
n
项和
的方法
错位相减法：
解决由等比数列与等差数列对应项的积
组成的数列求和问题
两边乘公比，错位
相减
3
．等比数列前
n
项和的公式是如何推导的？
提示：设
S
n
＝
a
1
＋
a<
/p>
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
①
则把①式两边同乘
以
q
得：
qS
n
＝
a
1
q<
/p>
＋
a
2
q
＋
a
3
q
＋
…
＋
a
n
－
1
q
＋
a
n
q
＝
a
2
＋
a<
/p>
3
＋
a
4
＋
…
＋
a
n
＋
a
n
＋
1
②
①－②得
(1
－
q
)
S
n
＝
a
1
－
a
n
＋
1
a
1
－
a
n
＋
1
a
1
－
q
n
∴当
q
≠1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－
q
1
－
< br>q
又当
q
＝
1
时，∵
a
1
＝
a
2
＝
…
＝
a
n
，∴
S
n
＝
na<
/p>
1
.
1
．应用等比数列前
n
项和公式时应注意什么
事项？
提示：在应用等比数列求和公式时，应分
q
＝
1
与
< br>q
≠1
两种情况分别求解；若
q
≠1
，要说明
为什么
< br>q
≠1.
类型一
等
比数列前
n
项和公式的基本运算
[
例
1
]
在等比数列
{
a
n
}
中，
(1)
S
2
＝
30
，
S
3
＝
155
，求
S
n
；
(2)
若
S
n
＝
189
，
q
＝
2
，
a
n
＝
96
，求
a
1
和
n
.
[
分析
]
<
/p>
(1
)
和
(2)
可利用等比数列的求和公式列方程组求解．
< br>
a
1
[
解
]
(
1)
由题意知
a
1
＋
q
＝
30
，
＋
q
＋
q
2
＝
155
，
1
a
1
＝
5
，
解得
或
5
q
＝
5
，
q
＝－
.
a
＝
180
，
6
5
1 0
80×[1
－
－
6
1
＋
5
从而
S
n
＝
4
×
5
n
1
－
4<
/p>
或
S
n
＝
11
a
1
(2)
由
S
n
＝
－
q
n
1
－
q
n
< br>]
.
a
1
－
2
189
＝
－
1
－
2
，
a
n<
/p>
＝
a
1
·
q
n
1
以及已知条件
得
－
2<
/p>
n
1
，
96
＝
a
1
·
n
，
192
∴
a
1
·
2
n
＝
192
，即
2<
/p>
n
＝
a
，
1
192
∴
189
＝
a
1
(2
n
－
1)
＝
a
1
(
a
－
1)
，
1
96
－
∴
a
1
＝
3,2
n
1
＝
3
＝
32
，∴
n
＝
6.
[
点评
]
<
/p>
在等比数列
{
a
n
}
的五个量
a
1
，
q
，
a
n
，
n
，
S
n
中，
a
1
与
q
是最基本的元
素，当条件与
结论间的联系不明显时，均可以用
a
1
与
q
列方程组求解．
1
变式训练
1
(1)
等比数列
{
a
n
}
中，
q
＝－
，
S
5
＝
11
，则
a
1
，
a
5<
/p>
分别为
(
)
2
A
．<
/p>
14,1
B
．
16
，－
1
C
．
16,1
D
．
14<
/p>
，－
1
(2
)
设等比数列
{
a
n
}
的公比
q
<1
，前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
＝
2
，
S
4
＝
5
S
2
，求
{
a
n
}
的通项公式．
1
a
1
[1
－
－
2
解析：
(1)
S
5
＝
1
1
－
－
2
1
a
5
＝
a
1
·
q
4
＝
16×(
－
2
)
4
＝
1.
a
1
(2)
由题设知
a
1
≠0
，
S
n
＝
2
5
]
＝
11
⇒
a
1
＝
16
，
－
q
n
(
q
<1)
，
1
－
q
a
q
＝
2<
/p>
①
1
则
a
1
－
q
4
a
1
－
q
2
＝
5×
②
1
－
q
1
－
q
由②得
1
－
q
4
＝
5(1
－
q
2
)
，
(
q
2
－
4)(
q
2
－
1)
＝
0.
(
q
－
2)(
q
＋
2)(
q
－
1)(
q
＋
1)
＝
0
，
因为
q
<1
，解得
q
＝－
1
或
q
＝－
2.
当
q
＝－
1
时，代入①得
a
1
＝
2
，
－
通项公式
a
n
＝
2×(
－
1)
n
1
；
1
当
q
＝－
2
时，代入①得
a
1
＝
2
，
1
－
通项公式
a
n
＝
2
×(
－
2)
n
1
.
综上，当
q
＝－
1
时，
a
n
＝
2×(
－
1)
n
1
.
－
1
－
当
q
＝－
2
时，
a
n
＝
2
×(
－
2)
n
1
.
答案：
(1)C
(2)
见解析
类型二
错位相减法求和
－
< br>[
例
2
]
设数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
2
，
a<
/p>
n
＋
1
－
a
n
＝
3·
2
2
n
1
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
令
b
n
＝
na
n<
/p>
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
[
分析
]
<
/p>
(1)
利用叠加法求
a
< br>n
；
(2)
< br>利用错位相减法求
S
n
.
[
解
]
(1)
由已知得，当
n
≥1
时，
a
n
＋
1
＝
[(
a
n
＋
1
－
a
n
)
＋
(
a
n
－
a
n
－
1
)
＋
…
< br>＋
(
a
2
－
a
1
)]
＋
a
1
－<
/p>
－
＝
3(2
2<
/p>
n
1
＋
2
2
n
3
＋
…
＋
2)
＋
2
＋
－
＝
2
2(
n
1)
1
.
而
a
< br>1
＝
2
，
－
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
2
< br>2
n
1
.
－
(2)
由
b
n
＝
na
n
＝
n
·
2
2
n
1
知
－
S
n
＝
1·
2
＋
2·
2
3
＋
3·
2
5
＋
…
＋
n
·
2
2
n
1
.
①
＋
从而<
/p>
2
2
·
S
n
＝
1·
2
3
＋
2·
2
5
＋
3·
2
7
＋
…
＋
< br>n
·
2
2
n
1
.
②
①－②得
－
＋
(1
－
2
2
)
S
n
＝
2
＋
2
3
＋
2
5
＋
…
＋
2
2
< br>n
1
－
n
·
2
2
n
1
.
1
＋
即<
/p>
S
n
＝
9
[(3
n
－
1)2<
/p>
2
n
1
＋
2]
．
[
点评
]
<
/p>
所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边同乘等比数列的公比，然后错位相减，
使其转化为等比数列求和问题．此种方法一般应用于形如数列
{
a
n
b
n
}
的求和，其中数列
{
a<
/p>
n
}
是等差数列，数列
< br>{
b
n
}
是等比数列．
1
2
3
n
变式训练
2
求和
S
n
＝
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
.
a
a
a
a
解：分
a
＝
1
和
a
≠1<
/p>
两种情况．
n
n
＋
当
a
＝<
/p>
1
时，
S
n
＝
1
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
＝
2
< br>1
2
3
n
当
a
≠1
时，
S
n
＝
a
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
，
1
上式两边同乘以
a
，得<
/p>
；
n
－
1
1
1
2
n
S
＝
＋
＋
…
＋
＋
2
3
n
＋
，
n
a<
/p>
n
a
a
a
a
1
1
1
1
1
n
两式相减，得
(1
－
a
)
S
n
＝
a
＋
a
2
＋
…
＋
a
n
－
n
＋
1
，
a
a
a<
/p>
n
－
即
S
n
＝
a
n
综上所述，得
n
S
＝
a
n
－
n
a
－
< br>a
－
2
.
n
＋
2
a
n
－
a
n
，<
/p>
a
＝
1
，
－
n
a
－
a
－
2
，
a
≠1.
类型三
等
比数列前
n
项和公式在实际中的应用
[
例
3]
<
/p>
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为
a
(
单位：
m
2
)
，
其中有部分旧住房需要拆
除．
当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的
10%
建设新住房，
同时也拆除面积为
b
(
单
位：
m
< br>2
)
的旧住房．
(1)
分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；
(2)
如果第五年末该地的住房面积正好比今年年
初的住房面积增加了
30%
，则每年拆除的旧
< br>住房面积
b
是多少？
(
计算时取
1.1
5
＝<
/p>
1.6)
[
分析
]
<
/p>
本题以实际问题为载体，融函数建模、数列的知识于一体，主要考查学生阅读资料
提取信息以及用所学知识解决实际问题的能力．
[
解
]
设第
n
年末实际住房面积为
a
n
(
n
∈
N
*
)
．
(1)
由题意，则
a
1
＝
1.1
a
－
b
(m
< br>2
)
．
a
2
＝
1.1
a
1
－
b
＝
1.1(1.1
a
－
< br>b
)
－
b
＝
1.21
a
－
2.1
b
(m
2
< br>)
(2)
a
3
＝
1.1
a
2
－
b
＝
1.1(1.1
2
a
－
1.1
b
－
b
)
－
b
＝
1.1
3
a
－
1.1
2
b
－
1.1
b
－
b
a
4
＝
1.1
a
3
－
b
＝
1.1(1.1
3
a
－
1.1
2
b
－
1.1
b
－
b
)
－
b
＝
1.1
4
a
－
1.1
3
b
－
1.1
2
b
－
1.1
b
－
b
a
5
＝
1.1
a
4
－
b
＝
1.1(1.1
4
a
－
1.1
3
b
－
1.1
2
b
－
1.1
b
－
b
)
－
b
＝
1.1
5
a
－
1.1
4
b
－
1.1
3
b
－
1.1
2
b
－
1.1
b
－
b
b
＝
1.6
a
－
－
1.1
5
＝
1.6
a
－
6
b
1
－
1.1
a
a
由题意
1.6
a
－
6
b
＝
1.3
a
，解得
b
＝
20
，所以每年拆除的旧住房面
积为
20
m
2
.
变式训练
3
水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．
已知西部某地区有耕地
3 000
万亩需要退耕还林，国家确定
2000
年在该地区退耕还林的土地面积为
300
万亩，以后每年
退耕还林的土地面积比上一年递增
20%
.
那么从
2000
年起，
到哪一年该地区基本解决退耕还
林问题？
(
计算时取
log
1.2
3
＝
6)
解：设
该地区从
2000
年起每年退耕还林的面积组成一个数列
{
a
n
}
，由题意，得
a
n
＋
1
＝
a
n
(1
＋
20%)
，
∴
{
a
n
}
是首项为
a
1
＝
300
，公比为
1.2
的等比数列．
设
{
a
n
}
的前
n
项和为
< br>S
n
，则
S
n
＝
3 000.
∴
－
1.2
－
1
n
＝
3 000.
∴<
/p>
1.2
n
＝
3<
/p>
，解得
n
＝
lo
g
1.2
3
＝
6.
故到
2005
年该地区基本解决
退耕还林问题．
易错点：忽略
q
的取值范围而导致出错
[
错题展示
]
已知等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
2
，
S
3
＝
6
，求<
/p>
a
3
和
q
.
[
错解
]
<
/p>
由等比数列的前
n
项和公式，
a
1
得
S
3
＝
－
q
3
＝
1
－
q
－
q
3<
/p>
＝
6
，
1
－
q
解得
q
＝－
2.
此时，<
/p>
a
3
＝
a
1
q
2
＝
2×(
－
2)
2
＝
8
，
综上所述，
q
＝－
2
，
a
3
＝
8.
[
错因分析
]
在上面的求解过程中，没有讨论公比
q
是否为
1
，就直接使用了等比数列的前
a
1
n
项和公式
S
n
＝
－
q
n
，从而有可能出现漏解情况．
1
－
q
[
正解
]
若
q
＝
1
，则
S
3
＝
3
< br>a
1
＝
6
，符合题意．
此时，
q
＝
1
，
a
3
＝
a
1
＝
2.
若
q
≠1
，则由等比数列的前
n
项和公
式，
a
1
得
S
3
＝
－
q
3
＝
1
－
q
－
q
3
＝
6
，
< br>
1
－
q
解得
q
＝
1(
舍去
)
或
q
＝－
2.
此时，
a
< br>3
＝
a
1
q
2
＝
2×(
－
2)
2
＝
8.
综上所述，
q
＝
1
，
a
3
＝
2
或
q
＝－
2
，
a
3
＝
8.
[
反思
]
<
/p>
在使用等比数列的前
n
项和公式解题时，
要注意对公比
q
是否为
1
进行讨论．当
q
a
1
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
；当
q
≠1
时，
S
n
＝
－
q
n
.
1
－
q
1
．在等比数列的通项公式及前
n
项和公式中共有
a
1
，
a
n
，
n
，
q
，
S
n
五个量，知道其中任意
三个量，都可求出其余
两个量．
2
．在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为
q
≠1
，而当
q
＝
1
时应按常数列求和，即
a
1
S
n
＝
na
< br>1
，
由非常数列的等比数列的前
n
项和
S
n
＝
－
q
n
a
1
n
a
1
＝－
q
＋
，
可以看出，
1
－
q
1
－
q
1
－
q
式子的组成是由一个指数式与一个常数的和构
成的，而指数式的系数与常数项互为相反数，
由此可以根据前
n
项和公式判断等比数列，
即非常数列的等比数列是
S
n
＝
aq
n
－
a
(
a
≠0
，
q
≠1
，
n
∈
N
*
)
的等价条件．
< br>
3
．在含字母参数的等比数列求和时，应分
q
＝
1
与
q
≠1
两种情况进行讨论．
1
．等比数列
{
a
n
}
的
公比
q
＝
2
，
首项
a
1
＝
2
，则
S
n
等于
(
) <
/p>
A
．
n
2
＋
n
B
．
n
2
－
n
＋
C
．
2
n
1
< br>－
2
D
．
2
n
－
1
解析：<
/p>
S
n
＝
C
－
2
n
＋
＝
2
n
1
－
2.
1
－
2
2
．
在等比数列
{
a
n
}
中，
公比
q
是整数，
a
1
＋
a
4
＝
18
，
a
2
＋
a
3
＝
12
，
则此数列的前
8
项和为
(
)
A
．
514
B
．
513
C
．
512
D
．
510
a
1
＋
a
1
q
3
＝
18
，
1
解析：由题意，得
解
得
q
＝
2
，<
/p>
q
＝
1
2
2
2
，
q
3
＝－
1
，
q
2
，
q
< br>3
不合题意，舍去．
a
1
q
＋
a
1
q
＝
12
，
< br>∴
q
＝
2
，
a
1
＝
2
.
a
1
∴
S
8
＝
1
S
4
3
．设等比数
列
{
a
n
}<
/p>
的公比
q
＝
，前
n
项和为
S
n
，则
＝
________.
2
a
4
－
q
S
4
a
< br>1
解析：
a
＝
< br>＝
－
q
a
1
q
3
4
4
－
q
8
＝
1
－
q
－
2
8
＝
510.
1
－
2
1
－
q
＝
－
q
q
3
4
< br>1
1
－
2
4
1
1
－
2
2
＝
15.
3
答案：
15
4
．
已知等
比数列
{
a
n
}
中，
a
n
>
0
，
n
＝
1,
2,3
，
…
，
a
2
＝
2
，<
/p>
a
4
＝
8
，
则前
5
项和
S
5
的值为
____
____
．
1
－
2
5
解析：易求得
q
＝
2
，
a
1
＝
1.
∴
S
5
＝
＝
31.
1
－
2
答案：
31
5
．求
S
n
＝
x
＋
2
x
2
＋
3
x
3
＋
…
＋
nx
n
(
x
≠0)
．
n
n
＋
解：当
x
＝
1
时，
S
n
＝
1
＋
2
< br>＋
3
＋
…
＋
n
＝
2
＋
；
当
x
≠1
时，
xS
n<
/p>
＝
x
2
＋
2
x
3
＋
3
x
4
＋
…
＋
(
n
－
1)
x
n
＋
nx
n
1
，
＋
∴
(1
－
x
)
S
n
＝
x
＋
x
2
＋
x
3
＋
…
＋
< br>x
n
－
nx
n
1
.
x
∴
(1
－
x
)
S
n
＝
∴<
/p>
S
n
＝
n
∴
S
＝
n
－
x
n
＋
－
nx
n
1
.
1
－
x
n
＋
1
－<
/p>
(
n
＋
1)
x
n
＋
1]
．
2
[
nx
x
－
x
n
＋
2
x
< br>－
x
x
＝
，
n
＋
x
n
＋
x
n
＋
1
－
2
[
nx
等比数
列前
n
项和的性质
1
.
理解等
比数列前
n
项和的性质，会运用性质解题．
2
．能用等比数列的知识解决一些综合性问题
.
1
．等比数列前<
/p>
n
项和的性质
性质一：若某数列前
n
项和公式为
S<
/p>
n
＝
a
n
－
1(
a
≠0
，
a
≠±1
，
n
∈
N
*
)
，则
{
a
n
}
成等比数列．
性质二：若数列
{
a
n
}
是公比为
q
的等比数列，则
①
S
n
＋
m
＝
< br>S
n
＋
.
②在等比数列中，若项数为
2
n
(
n
∈
N
*
)
，则
③
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
S<
/p>
2
n
成
数列．
2
．等比数列前
n
项和公式的函数观点
(1)
当公
比
q
≠1
时，等比数列的前
n
项和公式可写成
S
n<
/p>
＝
的形式
，数列
{
S
n
}
对应的点
(
n
，
S
n
)
是
指数型函数
y
＝
图象上
的一些离散的点．
(2)
当公比
q
＝
1
时，因为
a
1
≠0
，所以
S
n<
/p>
＝
是
n
的正比
例函数，数列
{
S
n
< br>}
对应的点
(
n
，
S
n
)
是正比例函数
图象上的一些离散的点．
1
．若一个数列是等比数列，它的前
n
项和写成<
/p>
S
n
＝
Aq
n
＋
B
(
q
≠1)
，则
A
与
B
有何关系？
<
/p>
提示：
A
＋
B<
/p>
＝
0
，
a
1
∵
S
n
＝
－
q
n
a
1
a
1
n
＝
－
·
q
，则常数项与
q
< br>n
的系数互为相反数．
1
－
q
1
－
q
1
－
q
S
偶
＝
.
S
奇<
/p>
2
．前
n
项和的
性质：
“
S
n
，
S
2
n
－<
/p>
S
n
，
S
3
n
－
S
2
n
成等比数列
”
，有什么条件吗？
提示：
< br>当
q
＝－
1
，
n
为偶数时，
上述性质不成立．
原因是：
S
n
＝
0
，
S
2<
/p>
n
－
S
n
＝
0
，
S
3
n
－
S
2
n
＝
0
，
所以不能构成等比数列．
3<
/p>
．性质：
S
m
＋
n
＝
S
n
＋
q
n
S
m
如何推导？
提示：
S
m
＋
n
＝
S
n
＋
a
n
＋
1
＋
a
n
＋
< br>2
＋
…
＋
a
n
＋
m
＝
S
n
＋
q
n
(
a
1
＋
a
2
＋
…
＋
a
< br>m
)
＝
S
n
＋
q
n
·
S
m
.
类型一
等
比数列前
n
项和性质的应用
[
例
1]
<
/p>
等比数列
{
a
n
}
中，
S
2<
/p>
＝
7
，
S
6
＝
91
，则
S
4
为
(
)
A
．
28
B
．
32
C
．
35
D
．
49
[
解析
]
<
/p>
方法一：∵
S
2
＝
7
，
S
6<
/p>
＝
91
，易知
q
≠1
，
<
/p>
S
2
＝
7
，
由
得
a
1
S
6
＝
91
，
a
1
＋
q
＝
7
，
－
q
6
＝
91
，
1
－
q
＋
q
2
＋
q
4
＝
91.
a
1
∴
＋
q
－
q
1
－
q