常见数列通项公式求法.doc
-
常见数列通项公式的求法
例
1
：设
{
a
n
}
是等差数列，
1
．利用等差等比数列通项公式
{ b
n
}
是各项都为正数的等比数列，且
a
1
b
1
1
，
a
3
b
5
21
，
a
5
b
3
13
，求
{
a
n
}
，
{ b
n
}
的通项公式。
相关高考
1
：等差数列
{ a
n
}
的前
n
项和为
S
，
a
n
1
1
2
，
S
3
9
3 2
．求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
。
相关高考
2
：实数列
{ a
n
}
是
等比数列
,
a
7
1,
且
a
4
, a
5
1,a
6
成等差数列，求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
。
a
n
2
．利用数列的前
n
项和，
a
1
S
1
,
n
1
S
n
S
n 1
, n
2
*
例
2
：各项全不为零的数列
{
a
k
}
的前
k
项和为
S
k
,
且
S
k
＝
a
k
a
k 1
( k
N
),
其中
a
1
=1.Z
求数列
a
k
。
1
2
相关高考
1
：已知数列
a
的前
n
n
项和
S
n
n
2
9n
，则其通项
a
n
_____
；若它的第
k
项满足
5 a
k
8
，则
_______
．
相关高考
2
：数列
a
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
n
1
，
a
n
1
2S
n
(n
N
*
)
．求数列
a
的通项
a
n
n
相关高考
3
：已知各项均为正数的数列
a
n
的前
n
项和
S
n
满足
S
1
1
，且
6S
n
( a
n
1)(a
n
2)
，
n
N
．求
a
n
的通项公式。
3
．利用递推关系
3
．
1
递推关系
a
n 1
a
1
例
3
：数列
a
n
中，
a
1
等比数列．求
a
n
f n
其中
a
为常数
a
2
，
a
n
1
a
n
cn
（
c
是常数，
n
1
，
2
，
3
，
L
），且
a
1
，
a
2
，
a
3
成公比不为
1
的
a
n
的通项公式．
a
满足
a
1
n
相关高考
1
：已知数列
1
2
,
a
n
a
n 1
1
n
2
1
n 2
，求数列
a
n
的通项公式。
相关高考
2
：已知数列
3
．
2
递推关系
a
n
满足
na
n 1
f
a
n
1 a
n
2
，且
a
1
2
，求数列
a
n
的通项公式。
a
n 1
n a
n
其中
a
为常数
a
1
常见数列通项公式的求法
第
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例
4
：已知数列
b
n
的首项
b
1
1
，其前
n
项和
S
n
1
n 1
b
n
，求数列
b
n
的通项公式。
2
相关高考：
数列
a
n
满足
na
n 1
a
2 a
1
a
2
L
a
n
且
a
1
1
，求数列
a
n
的通项公式。
n
1
pa
n
q
3
．
3
递推关系
a
1
a
其中
p,q,a
为常数且
p
，整理得
a
n 1
1
令
a
n
1
p a
n
pa
n
p 1
，所以
p
1
q
q
，
即
q
，从而
a
n 1
p 1
q
p
1
p a
n
q
，所以数列
a
n
是等比数列。
p
1
p
1
例
5
：已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
2
，
a
n 1
相关高考
1
：设数列
{ a
n
}
的首项
a
(
2
1)(a
n
2)
，
n
1,2,3, L
求
{
a
n
}
的通项公式。
(0
，
1)
，
a
1
n
3
a
n
1
，
n
2
，
3
，
4
，
⋯
．求
{
a
n
}
的通项公式。
2
相关高考
2
：已知数列
a
n
：
3
，
5
，
7
，
9
，
，
2n
1
，
。另作一数列
b
n
，使得
b
1
a
1
，且当
n
2
时，
b
n
a
b
n 1
，求数列
b
n
的通项公式。
1
相关高考
3
：数列
a
n
中，设
a
n
解：
由
a
n
a
n
2
1
0, a
1
1
且
a
n
a
n
2
3
6
，求数列
a
n
的通项公式。
3
6
得
2log
3
a
n 1
log
3
a
n
6
，令
b
n
log
3
a
n
，有
2b
n 1
b
n
6
，则
n 1
b
n
1
2
1
b
n
2
，所以
b
n
2
2
2
n
b
1
2
1
2
n 1
log
3
1
2
1
2
2
2 n
，
2
2
2
n
从而
b
n
2
2
a
n
1
a
1
，故
a
n
3
。
3
．
4
递推关系
pa
n
f n
a
其中
p, a
为常数且
p
1
，
f
n
为非常数
由递推式
a
n 1
pa
n
f
n
两边同除以
p
n 1
，得
a
n
1
1
n
1
p
n
a
n
p
n
f
n
，对此采用
3. 1
中所述的
p
n
1
累加法可求。
例
6
：在数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
1
n
1
n
a
n
(2
)2
n
(n
N )
，其中
a
n
1
n
1
0
．求
a
n
。
2
n
2
n 1
a
n
n
解：
由
a
n 1
a
n
(2
)2
(n
N
*
),
0,
可得
1,
常见数列通项公式的求法
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所以
a
n
2
n
为等数列，其公差为
1
，首项为
a
n
0.
故
n
2
n 1,
n
n
所以数列
a
n
的通项公式为
a
n
(n
1)
n
2
n
.
相关高考：
数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
且满足
a
1
1,a
n
1
2S
n
n
2
n
1
，求
a
n
。
2
解：
由
a
n
1
2S
n
n
2
n
1
有：
a
n
2S
n
1
n
1
n
1
1
，两式相减得：
a
n 1
a
n
2a
n
2n
2
即：
a
n
1
3a
n
2n
2
，两边同除以
3
n 1
，得：
a
n 1
a
n
2n
2
，令
b
n
a
n
，则
b
n
2 n
1
1
1
b
n
, b
1
a
1
，从而
3
n 1
3
n
n
1
1
3
3
n
3
n 1
3 3
n
2
k
1
b
2
n
1
k 1
n
b
1
1
1
2
1 1 2n 1
1
2n 1
。
k 1
3
k 1
3
k 1
3
k 1
3
4
3
3
n
2 2 3
n
故
a
3
n
n
1
。
n
2
a
2
n
3
．
5
递推关系
n 1
pa
n
qa
n
1
2
其中
p,q, a, b
为常数
a
1
a
, a
2
=b
3
．
5
．
1
若
p
q
1
时，
p
1
q
，即
a
n 1
a
n
q a
n
a
n
1
，知
a
n
1
a
n
为等比数列，对
此采用
3. 1
中所述的累加法可求。
例
7
：已知数列
5
a
满足
a
1
1,a
2
,
a
n
5
2
a
n
2
1
a
n
，求数列
a
的通项公式。
n
3
3
3
n
解：由
a
n
5
2
2
a
2
n 1
a
n
两边减去
a
n
1
得：
a
n
2
a
n 1
a
n
1
a
n
，所以
3
3
3
a
2
n
n 1
a
n
是公比为
，首项为
a
2
a
1
2
的等比数列，所以
a
n
1
a
n
2
，
3
3
3
n
1
即
1
2
n
1
2
2
n 1
a
2
2
2
3
1
3
n
a
1
L
，即
a
n
1 2 1
2
3
3
3
3
1
2
3
相关高考：
已知数列
a
n
中，
a
1
1,a
2
2
a
2,
a
n
2
n 1
1
a
n
，求数列
a
n
的通项公式。
3
3
常见数列通项公式的求法
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解：由
a
n 2
2
a
n
1
1
a
n
两边减去
a
n
1
得：
a
n
2
a
n
1
3
3
1
a
n
1
a
n
，所以
3
a
n
1
a
n
是公比为
1
3
，首项为
a
2
1
a
1
1
的等比数列，所以
a
n
1
a
n
2
1
3
n 1
，
0
1
n
1
即
a
n
a
1
1
L
1
3
n
1
1
3
，即
a
n
1
3
4
1
1
n
1
3
3
1
1
3
3
3
．
5
．
2
若
p
a
q
1
时，存在
x
1
, x
2
满足
a
n
1
x
1
a
n
x
2
a
n
p,
x
1
x
2
x
a
1
n
1
，整理得
1
1
n
n 1
x
1
x
2
a
n
x
1
x
2
a
n
1
，有
x
1
3. 4
中所述的方法即可。
x
2
q
，从而
a
n
x
a
是等比数列，
对此采用
a
n
4
．利用倒数变形，
a
n 1
pa
n
q
,
两边取倒数后换元转化为
a
n
1
pa
n
q
。
a
例
8
：已知数列
a
n
满足：
a
n
n
1
3 a
n 1
1
1
, a
1
1
，求数列
a
n
的通项公式。
解：
取倒数：
1
a
n
3 a
n
a
n
1
1
3
1
a
n
1
1
a
n
a
n
是等差数列，
1
a
n
1
a
1
( n 1)
3
1
(n
1)
3
1
3n
2
相关高考
1
：数列
a
n
满足：
a
1
3
2
，且
a
n
3na
n 1
n
2
，求
a
n
。
2a
n 1
n
1
解：
将条件变为：
1
－
n
＝
（
1
－
1
a
n
3
n
－
1
n
为一个等比数列，其首项为
）
，因此
1
a
n
1
a
n
1
－
＝
，公比
，从而
1
－
＝
1
1
1
n
1
，据此得
a
n
＝
n 3
n
。
a
1
3
3
a
n
3
n
3
n
－
1
相关高考
2
：数列
a
n
满足：
a
1
2a
，
a
n
1
2a
a
2
a 0
，求数列
a
n
1
a
n
a a
a
n
a
a
n
的通项公式。
解：
a
n 1
a
a
a
n
a
a
n
a
n
a,
a 0
，所以
1
1
a
，
n 1
a
n
a a
常见数列通项公式的求法
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