专题13求数列通项公式(解析版)
-
专题
13
求数列通项公式（解析版）
求数列通
项公式主要以考查由递推公式求通项公式与已知前
n
项和或前<
/p>
n
项和与第
n
项
的关系式求通项为重点，特别是数列前
n
项和
< br>S
n
与
a
n
关系的应用，难度为中档题，题型
为选择填空小题或解答题
第
1
小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练
.
数列解题常见易错点
易错点
1
：
已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系式，
求
a
< br>n
时应注意分类讨论的应用，
特别是在利用
a
n
＝
S
< br>n
－
S
n
－
1
进行转化时，要注意分
n
＝
1
和
n
≥
2
两种情况进行讨论，学生
特别是容易忽视要检验
n
＝
1
是否也适合
a
n
.
易错点
2
：
在等比数列求和公式中要注意分两种情况
q
＝
< br>1
和
q
≠
1
讨论
.
易错点
< br>3
：
在解答数列问题时，
及时准
确地
“数清”
数列的项数是必不可少的，
在数项数时，
要把握数列的项的构成规律，
找准数列的通项公
式的特点并找准项数．
如果把数列的项数弄
错了，将会前功尽弃
．
易错点
4
：
对等差、等比数列的性质理解错误。
等差数
列的前
n
项和在公差不为
0
时是关于
n
的常数项为
0
的二次函数。
一般地，
有结
论
“若数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=a
n
2
+bn+c(a
，
b
，
c
∈
R)<
/p>
，
则数列
{a
n
}
为等差数列的充要条件是
c=0
”
;
在等差数列中，
S
m
，
S
2
m
-S
m
，
S
3m
-S
2m
(m
∈
N*)
是等差数列。解决这类题
目的一个基本出发点
就是考虑问题要全面，
把各种可能性都考虑
进去，
认为正确的命题给以证明，
认为不正确的
命题举出反例予以驳斥。
在等比数列中公比等于
-1<
/p>
时是一个很特殊的情况，
在解决有关问题
时要注意这个特殊情况。
易错点
5
：
数列中的
最值错误。
数列的通项公式、
前
n
项和公式都是关于正整数的函数，
要善于
从函数的观点认识和理
解数列问题。但是考生很容易忽视
n
为正整数的特点，或即使考虑了
n
为正整数
，但对于
n
取何值时，
能够取到最值求
解出错。
在关于正整数
n
的二次函数中
其取最值的点要根据正整
数距离二次函数的对称轴远近而定。
易错点
6
：
利用错位相减法求解数列的前
n
项和时
，
应注意两边乘以公比后，
对应项的幂指
数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另
外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的
n
－
1
项是一个
等比数
列．
题组一
:
公式法
已
知
或
根
据
题
目
的
条
件
能
够
推
出
数
列
a
n
为
等
差
< br>或
等
比
数
列
，
根
据
通
项
公
式
a
n
a
1
n
1
d
或
< br>a
n
a
1
q
n
1
进行求解
.
1.
已知
a
n
是一个等差数列，且
a
2
1
,
a
5
5
< br>，求
a
n
的通项公式
a
n
=_________.
【解析】设数列
a
n
的公差为
d
，则
2.
（
2019
全国<
/p>
1
理
9
）记
S
n
为等差数列
{
a
n
}
的前<
/p>
n
项和．已知
S
4
0
，
a<
/p>
5
5
，则
a
n
a
1
n
< br>1
d
2
n
5
a
1
d
1
a
1
3
解得
d
2
a
1
4
d
5
< br>a
n
3
n
10
C
．
S
n
<
/p>
2
n
2
8
n
D
．
S
n
A
．
a
n
2
n
5
B
．
【
解析】设等差数列
a
n
的公差为
d
，由
S
4
0
，
a
5
< br>5
，
1
2
n
2
n
2
4
a
1
6
d
0
a
1
< br>3
得
，解得
< br>
，
a
4
d
5
d
2
1
2
所以
a
n
2
n
5
，
S
n
n
4
n
，故选
A
．
2
3
．
（
20
14
新课标
1
）已知
< br>
a
n
是递增的等差数列，
a
2
，
a
4
是方程
x
5
x
6
0
的根．则
a
n
=_________.
< br>2
【解析】方程
x
5
x
6
0
的两根为
2,3
，由题意得
a
2
2,
a
4
3.
设数列
a
n
的公差为<
/p>
d
，则
a
4
a
2
2
d
,
故
d
所以
a
n
的通项公式为
a
n
1
3
,
从而
a
1
,
2
2
1
n
1
．
2<
/p>
4.
（
2013
新课标
1
）已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
3
< br>0
，
S
5
5
．
则
a
n
=__
_______.
n
(
n
1)
【解析】设
a
n
的公差为
d
，则
S
n
=
na
1
d
．
2
3
a
< br>1
3
d
0,
由已知可得
解得
a
1
< br>1,
d
1.
故
a
n
的通项公式为
a
n
=2
n
< br>.
5
a
1
10
d
5,
2
5.
（
2011
新课标）等比数列
a
n
的各项均为正数，且
2
a
1
3
a<
/p>
2
1,
a
3
9
a
2
a
6
.
则
a
n
=________
_.
2
【
解析】设等比数列
a
n
的公比为
q(q>0),
由
2
a
1
3
a<
/p>
2
1,
a
3
9
a
2
a
6
得
{
}
2
< br>a
1
3
a
1
q
1
,
a
1
2
q<
/p>
4
9
a
1
qa
1
q
5
,
解得
a
1
q
1
n
，所以
a
n
3
3
6
．
（
2013
新课标
< br>2
）已知等差数列
{
a
n
}
的公差不为零，
a
1
25
，且
a
1
，
a
11
，
a
13
成等比数
列．则
a
n
=_________.
2
【解析】设
{
a
n<
/p>
}
的公差为
d
，
由题意，
a
11
a
1
a
13
即
a
1
10
d
<
/p>
a
1
a
1
12
d
2
于是
d
2
a
1
25
d
< br>
0
所以
d
0
（舍去）
< br>，
d
2
故
a
n
2
n
27
题组二
:
已知数列
a
n
的前<
/p>
n
项和
s
n
的解析式，求
a
n
.
7.
已知数列
< br>
a
n
的前
n
项和
s
n
2
n
-
3
，求通项
a
n
.
【解析】当
< br>n
2
时，
a
n
s
n
s
n
<
/p>
1
=
2
3
2
n
n
1
3
=
2
n
1
<
/p>
1
n
1
而
a
1
s
1
1
不适合上式，<
/p>
a
n
n
1
2
n
2
2
8.
数列
a
n
< br>的前
n
项和为
S
n
n
2
n
3
，则
a
n
.
_________________
2
【解析】当
n
< br>2
时，
a
n
S
n
S
n
1
=<
/p>
n
2
n
3
n
1
2
n
1
3
2<
/p>
n
3
2
而
a
1
=
s
1
=
2
不适合上式，∴
a
n
2,
n
1
< br>
2
n
3,
n
2
9.
数列
a
n
满足<
/p>
a
1
2
a
2
3
a
3
na
n
< br>n
n
1
n
2
，则
a
n
__________.
【解析】∵
a
1
< br>2
a
2
3
a
3
na
n
<
/p>
n
n
1
n
2
①
n
?
2
时，
a
1
a
2
+
a
3
+
L
+
a
n
-
1
=
n
-
1
n
n
+
1
②
< br>①
-
②
得
na
n
=
3
n
n
+
1
,<
/p>
a
n
=
3
n
+
1
，
(
)
< br>(
)
(
)
(
)
Q
n
=
1
时，
a
1
=
1
创
2
3=6
,
满足上式，
a
n
=
3
(
n
+
1
)
题组三
:S
n
与
a
n
的关
系式法
已知数列
< br>a
n
的前
n
项和
s
n
与通项
a
n
的关系式，求
a
n
.
10.
已知数列
a
n
的前
n
项和
s
n
满足
a
n
1
【解析】
s
n
3
a<
/p>
n
1
①
s
n
1
1
s
n
，其中
a
1
1
，
a
n
=_________.
3
3
a
n
n
2
②
a
n
1
4
n
2
a
< br>n
3
①
-
②
得
a
n
3
a
n
1
3
a
n
4
a
n
< br>3
a
n
1
即
又
a
2
1
1
s
1
a
1
不适合上式
3
3
4
数列
<
/p>
a
n
从第
2
项起是以
为公比的等比数列
3
< br>4
a
n
a
2
3
n
2
1
4
3
< br>
3
n
2
1
n
1
n
2
n
2
a
n
1
4
3
3
< br>
n
2
2
1
a
n
，则
a
n
=__________.
3
3
2
1
【解析】当
n=1<
/p>
时，
a
1
=
S
1
=
a
1
+
,
解得
a
1
=
1
3
3
1
2
1
2
2
2<
/p>
当
n
≥
2
时，
a
n
S
n
S
n
1
=
< br>
a
n
a
n
1
a
n
a
n
1
3
< br>3
3
3
3
3
a
整
理的
a
n
-
2
a
n
1<
/p>
，即
n
=-2
，
故数列
a
n
从第二项开始是以
-2
为首项，
-2
为公比
a
n
1
11.
若数列
a
n
的前
n
项和为<
/p>
S
n
的等比数
列，
故当
n
≥
2
时，
a
n
-2
n<
/p>
1
，
经验证当
n=1
时，
上式也满足，
所以
a
n
-2
n
< br>
1
2
12.
(
2015
新课标Ⅰ
)
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
< br>项和，若
a
n
0,
a
n
< br>2
a
n
4
S
n
3
，
则
a
n
=________.
2
【解析】当
n
1
时，
a
1
2
a
1
4
S
1
3
4
a
1
+3
，因为
a
n
0
，所以
a
1
=3
，
2
2
当
n
2
时，
a
n
a
n
a
n
1
a
n
1
4
S
n
3
<
/p>
4
S
n
1
3
4
a
n
，即
(
a
n
< br>a
n
1
)(
a
n
a
n
1
)<
/p>
2(
a
n
a
n
1
)
，因为
a
n
0
，所以
a
n
a
n
1
=2
，
所以数列
{
a
n
}
是首项为
3
，公差为
2
的等差数列
，
所以
a
n
=
2
n
1
；
13.(2014
新课标
1)
< br>已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
S
n
1
< br>
a
n
，其中
0
，
则
a
n
=__________.