构造等差数列或等比数列(公开课)
-
构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，
对于一些递推数列问题，
若能构
造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法
.
例
1
设各
项均为正数的数列
有等式：
的前
n
项和为
S
n
，对于
任意正整数
n
，都
成立，求
的通项
a
n
.
解
：
即
，
∴
，∵
是以
2
为公差的等差数列，且
∴
，求数列的通项公式
解
：∵
.
，∴
.
.
例
2
数列
中前
n
项的和
当
n
≥
2
时，
令
，则
是以
为公比的等比数列，
∴
.
，且
2
、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，
然后采用迭加的方法
就可求得这一数列的通项公式
< br>.
例
3
设<
/p>
是首项为
1
的正项数列，且
N*
），求数列的通项公式
a
n
.
解
：由题设得
∵
，
∴
.
例
4
数列
中，
，
且
求通
项公式
a
n
.
解
：∵
∴
（
n
∈
N*
）
3
、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的
一种简单方法
.
例
5
数列
解
：
，
中，
，前
n
项的和
，求
.
，
（
n
∈
N*
）
，
，∴
.
.
，（
n
∈
∴
∴
4
、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变
为简单，使问题
得以解决
.
例
6
设正
项数列
满足
，
公式
.
，
，则
是
以
2
为公比的等比数列，
，
∴
例
7
已知
数列
中，
，
n
≥
2
时
，求通项公式
.
，
.
，
（
n
≥
2
）
.
求数列
的通项
解
：两边
取对数得：
，设
解
：∵
，两边取倒数得
可化为等差数列关系式
.
∴
.
求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例
1
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
2
a
n
3
2
，
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
a
n
1
a
n
3
a
n
1
a
n
3
a
n
，
则
，<
/p>
故数列
<
/p>
{
}
是
n
1
n
n
1
n
n
2
2
2
2
2
2
2
a
n
3
a
2<
/p>
3
以
1
为首项，
以
为公差的等差数列，
由等差数列的通
项公式，
得
，
1
(
n
1)
1<
/p>
n
1
2
2
2
2
2
3
1
n
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为<
/p>
a
n
(
n
)2
。
2
2
解：
a
n
1
2
a
n
3
2
两边除以
2
n
1
，
得
n
评
注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
2
转化为
a
n
1
a
n
3
n
，说明数列
n
1
2
2
2
a
n
a
3
是等差数列，再直接
利用等差数列的通项公式求出
，进而求出数列
{
n
}
1
(
n
1)
n
n
2
2
2
n
{
a
n
}
的通项公式。
二、累加法
，
a
1
1
，
求数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
2
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
a
n
2
n
1
解：由
a
n
1
a
n
2
n
1
得
a
n
1
a<
/p>
n
2
n
1
则
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
<
/p>
1
a
n
2
)
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)<
/p>
a
1
[2(
n
1)
1]
[2(<
/p>
n
2)
1]
(2
2
1)
(2
1
1)
1
2[(
n
1)
(
n
2)
2
1]
(
n
1)
1
(
n
1)
n
2
(
n
1)
1
2
(
n
1)(
n
1)
1
n
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
。
评注：本题解题
的关键是把递推关系式
a
n
1
a
n
2
n
< br>1
转化为
a
n
< br>
1
a
n
2
n
1
，进而求
出
(
a
n
a<
/p>
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
3
a
2<
/p>
)
(
a
2
a
1
)
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
2
，
a
1
3
，求数列<
/p>
{
a
n
}
的通项公式。
例
3
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
3
1
n
解：由
a
n
1
a
< br>n
2
3
1
得
a
n
1
a
n
2
3
1
则
n
n
< br>a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
< br>
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
(2
3
n
1
1)
< br>
(2
3
n
2
1)
(
2
3
2
<
/p>
1)
(2
<
/p>
3
1
1)
3
2(3
n
1
3
n
2
3
< br>2
3
1
)
(
n
1)
3
3(
1
3
n
<
/p>
1
)
2
(
n
1)
3
1
3
3
< br>n
3
n
1
3
3
n
n
1
所以
a
n
3
n
1.
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
a
n
2
< br>
3
1
转化为
a
n
1
a
n
2
3
1
，
进而求出
a<
/p>
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
<
/p>
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
，
即得数列
{
a
n
}
的通
项公式。
n
n
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
4
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
满足
a
n
1
3
a
n
2
3
1
n
< br>
1
解：
a
n
1
3
a
n
2<
/p>
3
1
两边除以
3
，得
n<
/p>
n
a
n
1
a
n
2
1
n
n
1
，
n
1
3
3
3
3<
/p>
则
a
n
1
a
n
2
1
，故
3
n
< br>
1
3
n
3
3
n
1
a
n
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
< br>a
n
2
a
n
3
a
2
a
1
a
1
(
)
(
)
(
< br>)
(
)
3
n
3
n
a
n
1
a
n
1
3
n
2
3
< br>n
2
3
n
3
3
2
3
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
3
(
n
< br>)
(
n
1
)
(
n
2
)
(
2
)
3
3
< br>3
3
3
3
3
3
3
2(
n
1)
1
1
1
1
1
(
n
n
n
1
n
< br>2
2
)
1
3
3
3
3
3
3
1
(1
3
n
1
)
n
a
n
2(
n
< br>1)
3
2
n
1
1
因此
n
，
1
n
3
3
1
3
3
2
2
3
则
< br>a
n
2
1
1
n
3
n
3
n
.
3
2
2
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
3
a
n
< br>2
3
1
转化为
a
n
1
a
n
2
1
，
3
n
1
3
n
3
3
n
1
< br>进而求出
(
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a<
/p>
n
2
a
n
3
a
2
a
1
a
1
a
n
，即得数列
)
(
)
(
)
(
<
/p>
)
n
3
n
3
n
1
3
n
1
3
n
2
3
n
2
3
n<
/p>
3
3
2
3
1
3
3
的通项公式，最后再求数列
< br>{
a
n
}
的通项公式。
三、累乘法
例
5
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
2(
n
1)5
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
解：因为
a
n
1
<
/p>
2(
n
1)5
a
n
，
a
1
3
，所以
a
n
0
，则
n
a
n
1
2(
n
1)5
n
，故
a
n
a
n
a
n
a
n
1
a
a
<
/p>
3
2
a
1
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
[2(
n
1
1)5
n
1
][2(
n
2
1)5
n
2
]
[2(2
1)
5
2
][2(1
1)
5
1
]
3
2<
/p>
n
1
[
n
(
n
1)
3
2]
5
(
n
1)
(
n
2)
2
1
<
/p>
3
3
2
n
1
5
n
(
n
1)
2
< br>
n
!
n
1
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
3
< br>
2
5
n
(
n
1
)
2
n
!.
n
评注：
本
题解题的关键是把递推关系
a
n
1
2(
n
1)5
a
n
转化为
a
n
1
2(
n
1)5
n
，
进而求
a
n
出
a
n
a
n
1
a
< br>a
3
2
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的
通项公式。
a
n
1
a
n
2
a
2
a<
/p>
1
例
6
（
2004
年全国
I
第
15
题，原题是填空题）已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
<
/p>
1)
a
n
1
(
n
2)
，求
{
a
n
}
的通项公式。
<
/p>
解：因为
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
< br>1)
a
n
1
(
n
2)
所以
a
n
1
<
/p>
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1)
a
n
1
na
n
用②式－①式得
a
< br>n
1
a
n
na
n
.
则
a<
/p>
n
1
(
n
1)
a
n
(
n
2)
②
①
故
a
n
1
n
1(
n
2)
a
n
a
< br>n
a
n
1
a
n
!
3
a
2
[
n
(
n
1)
4
3]
< br>a
2
a
2
.
a
n
1
a
n
2
a
2
2
所以
a
n
③
由
a
n
a
1
2
a
2
3
a<
/p>
3
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
，
取
n
2
得
a
2
a
1
2<
/p>
a
2
，
则
a
2
a
1
，
又知
a
1
1
，则
a
2
1
，代入③得
a
n
1
3
4
5
n
所以
，
{
a
n
}<
/p>
的通项公式为
a
n
n
!
。
2
n
!
.
2
a
n
1
n
1(
n
2)
，
a
n
< br>评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
(
< br>n
1)
a
n
(
n
2)
转化为
进而求出
a
n
a
n
1
a
3
a<
/p>
2
，
从而可得当
n
2
时，
a
n
的表达式，
最后再求出数列
{
a
n
}
的
a
n
< br>1
a
n
2
a
2
通项公式。
< br>
四、待定系数法
例
7
已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
5
，
a
< br>1
6
，求数列
a
n
的通项公式。
n
解：设
a
n
1
x
5
< br>n
1
2(
a
n
x
5
n
)<
/p>
④
n
n
1
n
2
a
n
2
x
5
，等式两边消去
将
a
n
1
2
a
n
3
5
代入④式，得
2
a
n
< br>
3
5
x
5
n
n
n
2
a
n
，
得
3
5
n
x
5
n
< br>
1
2
,
x
1
,
，
两
边
除<
/p>
以
5
，
得
3
5
x
2
x
则
代
入
④
式
得
x
5
a
n
1
<
/p>
5
n
1
2(
a
n
5
n
)
⑤
< br>a
n
1
5
n
1
n
2
{
a
5
}
是以
由
a
1
5
6
5
1
0
及⑤式得
a
< br>n
5
0
，则
，则数列
n
< br>n
a
n
5
1
n
a
1
5
1
1
为首项，以
2
为
公比的等比数列，则
a
n
5
n
2
n
1
，故
< br>a
n
2
n
1
5
n
。
评注：
本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
5
转化为
a
n
1
5
n
n
n
n
< br>
1
2(
a
n
5
n
)
，
从而可知数列
< br>{
a
n
5
}
是等比数列，进而求出数列
{<
/p>
a
n
5
}
的通项公式，最后再求出数列