数列求通项公式常见题型解题方法
-
数
列求通
项
公式地常<
/p>
见题
型
与
解
题
方法
数
列是高中
数学
地重要
内
容
,
又是
学
习
高等
数学
地基
础
．高考
对
本章地考
查
比
较
全面
< br>,
等差
数
列
,
等比
数
列地考
< br>查
每年都
不
会遗
漏．有
关数
列地
试题经
常是
综
合
题
,
经
常把
数
列知
识
和指
数
函
数
、
对数
函
数
和不等式地知
识综
合起
来
,
试题
也常把等
差
数
列、
等比
数
列
,
求
极
限和
数学归纳
法
综
合在一起．探索性
问题
是高考地
热
点
,
常在
数
列解答
题
中出
现
．本章中
还
蕴
含着
丰富地
数学
思想
,
在主
观题
< br>中着重考
查
函
数与
方程、
转
化
与
化
归
、分
类讨论
等重要思想
,
以及配方法、
换
元法、待定系
数
法
等基本
数学
方法．
数
列
这
一章地主要章<
/p>
节结构为
：
近几年
来
,
高
考
关
于
数
列方
面地命
题
主要有以下三
个
方面：
（
1
）
数
列本身地有
关
知
识
,
其中有等差
数
列
与
等比
数
列地
概
念、
性
质
、
通
项
公式及求和公式．
（
2
）
数
列
与
其
它
知
识
地
结
合
,
其中有
数
列
与
函
数
、
方程、
不等式、
三角、
几何地
结
合．
（
3
）
数
列地使用
问题
,
其
中主要是以增
长
率
问题为
主．
试题
地
难
度有三
个层
次
,
小
题
大都以基
础题为
主
,
解答
题
大都以基
础题
和中
档
题为
主
,
只有
个别
地方用
数
列
与
几何地
综
合
与
函
数
、不等式地
< br>综
合作
为
最后一
题难
度
较
大．
我
仅对数
列求通
项
公式
这
一部分
内
容做一
个浅显
地分析
与
提
炼
．
题
型
1
<
/p>
已知
数
列前几
项
求通
项
公式
在我
们
地
教<
/p>
材中
,
有
这样<
/p>
地
题
目：
1
．
数
列
0,
2,0,
2
0
地通<
/p>
项
a
n
2
n
为奇数
n
为偶数
．
2
．
数
列
1
1
1
1
,
,
,
1
2
2
3<
/p>
3
4
4
5
1
3
5
7
,1
,1
,1
2
2
4
2
< br>6
2
8
2
n
（
1
）
地通
项
a
n<
/p>
1
．
n
(
n
1)
2
n
1
．
2
< br>(2
n
)
3
．
数
列
1
n
1
地通
项
a
n
1+
（
1
）
此
题
主要通
过学
生
观
察、
试验
、合情推理等活
动
,
且在此基
础
上
进
一步通
过
比
较
、分析、
概
括、
证
明去揭示事物地本
质
,
从
而培
养学
生
数学
思
维
能力．相
对
于
填
空
题
或是
选择题
只需
利用不完全
归纳
法
进
< br>行猜想即可；
对
于解答
题
,
往往
还
需要我
们
进
一步加以
证<
/p>
明．
n
1
例如（
2003
年全
国
高考）已知
数
< br>列
a
n
满
足
a
1
1,
a
n<
/p>
3
a
n
1
(
n
2)
．
(
Ⅰ
)
< br>求：
a
2
,
a
3
；
3
n
1
(<
/p>
Ⅱ
)
证
明：
a
n
．
2
分析：
问题
（１）主要渗透一般化
特殊化
,
利用已知地
递
推公式求具
体．
问题
（２）
与问题
（１）
紧
密相
连
,
可以
从
特殊入手
,
归纳论证
相
结
合
,
求一般．
当
然
还
可用后面介
绍
地方法即注意到
进
< br>行
a
n
a
n
1
3
n
1
(
n
2)
,
由特殊化
归为
等比
数
列等加以
证
明．本
题贯
穿特殊化
与
一般化地思
维
方法
,
实质
上是
归纳
中地
综
合．
课
堂中我
们还
可以<
/p>
设计
如下例
题
及
练习
,
训练学
生
这
方面地技能．
< br>例
1.
写
出下面
数
列地一
个
通
项
公式
,
使
< br>它
地前
4
项
分
别
是下列各
数
< br>：
2
2
1
3
2
1
4
2
1
5
2
1
(
n
1)
2
1
(1)
,
,
,
;
a
n
2
1
3
4
5
n
<
/p>
1
1
1
1
1
(2)
观
察下面
,
数
列地特点
,
,
,
写
出每
.
a
n
(
1)
n
个
通
项
公式：
例
2.
个数
列地一
1
2
2
3
3
4
< br>4
5
n
(
n
1
)
n
(
1)
1,7,
13,19,
;
a
n
(
1)
(6
n
5)
7
(
2)7,77,777,7777,77
7
77,
;
a
n
< br>(10
n
1)
9
n
(3)5,0,
5,0,5,0,
5,0,
个
.
a
通
5sin
< br>练习
１
:
写
出下面
数
列地一
项
公式：
n
2
3
1
5
3
7
n
2
3
1
3
1
3
1
(
1)
n
2
(2)
,
,
,
,
,
.
a
(1)
1,
,
,
< br>,
,
,
;
a
n
n
练习
２．在某
健康
状况
》地
报
道中
< br>相
应
龄
地
统计数
据如下表．
观
察表中
数
据地特点
,
用适
当
地
5
果
2
与
11
7
年
17
3
n
2
2
< br>3
报
4
《自
5
测
6
n
,
自
测
血
压结
数填
入表中空白（
）
内
．
年
龄
（
岁
）
30
35
40
45
50
55
60
65
收
缩压
（水
银
柱
毫米）
110
115
120
125
130
135
（
140
）
145
舒
张压
（水
银
柱
毫米）
70
73
75
78
80
83
（
85
）
88
练习
３．根据下列
5
个图
形及相
应
点地
个数
地
变
化
规
律
,
猜
测
< br>第
n
个图
中有
< br>__
n
2
-n+1
_
个
点．
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
（
5
）
。
。
相
关
地高
测试题<
/p>
有：
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
n
1
，
。
(n
≥
2),
则
{a
}
地通
项
1
。
n
。
。
a
1
=1,a
。<
/p>
（
2004
年全
国
卷）已知
数
列
{a
n
},
满
足
=a
+2a
。
n
1
。
2
+3a
3
+
…
+(n
－
1)a
－
1
n
a
n
。
。
。
n
2
．
。
。
。
___
。
。
。
。
。
分析：由已知
,
a
a
1
．
。
。
。
。
2
1
由
a
n
a
1
2
a
2
< br>
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
生成
a
n<
/p>
1
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
2
)
a
n
2
<
/p>
两
式相
减
得：<
/p>
a
n
a
n
1
(
n
1
)
a
n
1
,
即
为
商型地
,
用累乘法可得
a
n
即
a
< br>n
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
n
a
n
< br>1
a
3
a
n
n
(
n
1)
4
3,
a
2
a
2
n
．
2
（
2006
年广
东
卷）<
/p>
在德
国
不
来
梅
举
行地第
48<
/p>
届
世
乒赛
期
间
,
某商店
橱
窗里用同
样
地
乒乓
球堆成若干堆“正三
棱锥
”形地展品<
/p>
,
其中第
1
堆只
有
1
层
,
就一
个
球；第
2,3,4,
堆最底
层
（第一
层
）分
别
按
图
4
所示方式固定
摆
放
,
从
第二
层开
始
,
每
层
地小球
自
然
垒
放
在
下
一
层
之
上
,
第
n
堆
第
n
层
就
放
一<
/p>
个
乒
乓
球
,
以
f
(
n
)
表
示
第
n
堆
地
乒
乓
球
总
数
,
则
f
(3
)
_
1
0<
/p>
_
；
1
f
(
n
)
_
n
(
n
1)
(
n
< br>
2)
__
_
< br>
6
（答案用
n
表示）
.
题
型
2
<
/p>
由
a
n
与
S
n
地
关
系求通
项
公式
在我
们
地
教
材中
,
有
这样
地
题
目：
１．
已知
数
列
{
a
n
}
地前
n
项
和
S
n
…
1
2
(
n
n
)
,
则
a
n
n
．
2
n
２．
<
/p>
已知
数
列
{
a
n
}
地前
n
项
和
S
n
3
2
,
则
a
n
5
n
<
/p>
1
，
．
n
1
2
n
2
，
这类题
目主要注意
s
n
与
a
n
之
间关
系地
转
化．即：
<
/p>
n
S
1
(n=1)
a
n
=
a
n
=
a
1
(
a
k
a
k
< br>1
)
．
S
S
(n
2)
k
2
n
1<
/p>
n
一般已知
条
件中含
a
n
与
S
n
地
关
系地
数
列
题
均可考
虑
用上述公式．
例如：
（
04
年浙江）
设数
列
{a
n
}
地前
项
地和
S
n
=
< br>(
Ⅰ
)
求
a
1
；
a
2
；
(
Ⅱ
)
求
证数
列
{a
n
}
为
等比
数
列．
1
（
a
n
-1
）
(n
N
)
< br>．
3
1
1
1
1
1
1
(
a
1
1
)
,
得
a
1
(
a
1
1
< br>)
∴
a
1
又
S
2
(
a
2
1
)
,
即
a
1
a
2
< br>
(
a
2
1
)
,
得
a
2
. <
/p>
3
3
2
3
3
4
1
1
(
Ⅱ
)
当
n>1
时
,
a
n
S
n
S
n
1<
/p>
(
a
n
1
)
(
a
n
1
1
),
< br>
3
3
解
: (
Ⅰ
)
由
S
1
得
a
n
1
1
1
,
所以
a
n
是首
项
< br>,
公比
为
地等比
数
列．
< br>a
n
1
2
2
2
课
堂
中我
们还
可以
设计
如下例
题
及
练习
< br>,
训练学
生
这
< br>方面地技能．
n
1
例
3.
数
列
{a
n
}
地前
n
项
和
< br>
S
n
=3
·
2
n
-3,
求
数
列地通
项
公式
.
a
n
3
2
7
n
1
，
a
练习
1
：
设数
列
{a
n
}
地前
n
项
和
为
S
n
=2n
+3n+2,
求通
项
a
n
地表
达
式
,
并
指出此
数
列是否
为
等差
数
列
.
n
4
n
1
n
2
，
2
练习
2
：已知
数
列
{a
n
}
地前
n
项
和
为
S
n
,a
1
＝
2,
且
na
n+1
< br>=S
n
+n(n+1),
求
a
n
．
相
关
地高
测试题
有：
a
n
2
n
(2004
全
国
卷
)
已知
数
列
{a
n
}
地前
n
项
和
S
n
满
足：
S
n
< br>=2a
n
+(-1)
n
,n
≥
1
．
（Ⅰ）
写
出求
数
列
{a
n
}
地前
3
项
a
1
,a
2
,a
3
；
（Ⅱ）求
数
列
{a
n
}
地通
项
公式；
（Ⅲ）
证
明：
对
任意地整
数
m>4,
有
1
1<
/p>
a
4
a
5
1
7
.
a
m
8
.
解：⑴
当
n=1
时
,
有：
S
1
=a
1
=2a
1
+(-1)
a
1
=1
；
当
n=2
时
,
有：
S
2
=a
1
+a
2
=2a
2
+(-1)
2
a
2
=0
；
当
n=3
时
,
有：
S
3
=a
1
+a
2
+a
3
=2a
3
+(-1
)
3
a
3<
/p>
=2
；
综
上可知
a
1
=1,
a
2
=0,a
3
=2
；
n
n
1
⑵由已知得：
< br>a
n
S
n
S
n
1
2
a
n
(
1)
2
a
n
1
(
1)
< br>n
1
化
简
得：
a
n
2
a
n
<
/p>
1
2(
1)
2
2
(
1)
n
2[
a
n
1
(
1)
n
< br>1
]
3
3
2
2
n
1
故
数
列
{
a
n
(
1)
}
是以
a
1
(
1)
为
首
项
,
公比
为
2
地等比
数
列
.
3
3
2
< br>1
n
1
1
n
1
2
2
n
2
(
1)
n
[2
n
2
(
1)
n
]
故
a
n
(
1)
2
∴
a
n
3
3
3
3
3
2
n
2
n
数
列
< br>{
a
n
}
地通
项
公式
为
：
a
n
[
2
(
1)
]
.
3
上式
可化
为
：
a
n
⑶由已知得：
1
1
a
4
a
5
1<
/p>
3
1
1
[
2
3
a
m
2
2
1
2
1
1
]
m
2<
/p>
m
2
(
1)
3
1
1
1
1
1
[
< br>
2
3
9
15
33
63
1
]
m
2
m
2
(
1)
1
1
1
1
1
[1
< br>
]
2
3
5
11
21
1
1
1
1
1
[1
<
/p>
]
2
3
5
10
20
1
1
(1
m
5
)
1
4
< br>2
2
1
1
4
2
]
[
5
]
[
m
5
1
2
3
5
5
< br>2
2
3
1
2
13
1
1
13
104
105
< br>7
(
)
m
5
. <
/p>
15
5
2
15<
/p>
120
120
8
故
1
1
<
/p>
a
4
a
5
1
7
( m>4).
a
m
8
'
（
2006
年湖北卷）已知二次函
数
y
f
(
x
)
地
图
像
经过
坐
标
原点
,
< br>其
导
函
数为
f
(
x
)
6
x
2<
/p>
,
数
列
{
a
n
}
地前
n
项
和
为
S
n
,
点
< br>(
n
,
S
n
)(
n
N
)
均在函
数
y
f
(<
/p>
x
)
地
图
像上．
（Ⅰ）求
数
列
{
a
n
}
地通
项
公式；<
/p>
（Ⅱ）
设
b<
/p>
n
1
m
,
T
n
是
数
列
{
b
n
}
地前
n
< br>项
和
,
求使得
< br>T
n
对
所有
n
N
都成立地最小正整
数
m
．
a
n
< br>a
n
1
20
点
评
：本小
题
考
查
二次函
数
、等差
数
列、
< br>数
列求和、不等式等基
础
知
识
和基本地
运
算技
能
,
考
查
分析
问题
地能力和推理
能力．
解：
（Ⅰ）
设这
二次函
数
f(x)
＝<
/p>
ax
2
+bx
(a
≠
0)
,
则
f`(x)=2ax+b,
由于
f`(x)=6x
－
< br>2,
得
a=3 ,
b=
－
2,
所以
f(
x)
＝
3x
2
－
2x.
又因
为
点
(
n
,
S
n
)(
n
N
)
均在函
数
y
f
(
x
)
地
图
像上
,
所以
S
n
＝
3n
2
－
2n.
3
n
1
)
2
(
n
< br>
1
)
＝
6n
－
5.
当
n
≥
2
时
,a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝（
3n
2
－
2n
）－
（
当
n
＝
1
时
,a
1
＝
S
1
＝3×1
2
－
2
＝6×
1
－
5,
所以
,a
n
＝
6n
－
5
（
n
N
）
.
（
2006
年安徽卷）
数
列<
/p>
a
n
地前
n
项
和
为
S
n
,
已知
a
1
2
< br>1
,
S
n
n
2
a
n
n
n
1
,
n
1,2,
<
/p>
．
2
（Ⅰ）<
/p>
写
出
S
n
与
S
n
1
地
递
推
关
系式
n
< br>
2
,
并
求
S
n
关
于
n
地表
达<
/p>
式；
（Ⅱ）
设
f
n
x
S
n
n
1
x
,
b
n
< br>f
n
/
p
p
R
,
求
数<
/p>
列
b
n
地前
n
项
和
T
n
．
n
解：由
S
n
n
2
< br>a
n
n
n
1
n
2
得：
S
n
n
2
(
S
n
S
n
1
)
n
n
1
,
即<
/p>
(
n
2
1)
S
n
n
2
S
n
1
n
< br>
n
1
,
所以
n
1
n
S
n<
/p>
S
n
1
1
,
对
n
2
成立．
n
n
1
n
1
n
n
n
1
3
2
n<
/p>
1
1
由
S
n
S
n
1
1
,
S
n
1
S
n
2
1<
/p>
,
…
,
S
2
S
1
1
相加得：
S
n
2
S
1
n
< br>1
,
又
S
1
a
1
,
所
n
n
1
n
1
n
2
2
1
n
2
< br>n
2
以
S
n
,
当
n
1
时
,
也成立．
n
<
/p>
1
S
n
1
n
n
1
（Ⅱ）由
f
n
x
n
x
x
< br>,
得
b
n
f
n
/
p
np<
/p>
n
．
n
n
1
2
3
n
1
n
而
T
n
p
2
p
3
p
<
/p>
(
n
1)
p
np
,
pT
n
p
2
2
p
3
3
p
4
(
n
1)
p
n
np
n
1
,
(
1
P
)
T<
/p>
n
p
p
p
2
3
p
n
1
p
np
n
n
1
p
(
1
p
n
)<
/p>
np
n
1
．
1
p
题
型
3
已知
数
列
递
推公式求通
项
公式
在我
们
地
教
材中
,
还
有
这样
地
类
型
题
< br>：
1
．
已知<
/p>
数
列
{
a
n
}
地首
项
a
1
1
,
且
a
n
< br>
a
n
1
3(
n
2)
,
则
a
n
3n-2
．
n
1
2
．已知
数
列
{
a
n
}
地首
项
a
1
1
,
且
a
n
2
a
n
1
3(
n
2)
,
则
a<
/p>
n
4
3
3
．
3
．已知
数
列
{
a
n
}
地
a
1
1
,
a
2
2
且<
/p>
a
n
a
1
(
a
n
1
a
n
2
)(
< br>n
3)
,
则
lim
n
1
．
x
a
2
n
1
4
．
已知
数
列
{
a
n
< br>}
地
a
1
1
,
a
2
2
且
a
n
2
2
a
n
1
a
n
< br>,
则
a
n
n
．
这类问题
是通
过题
目中
给
定地初始
值
和
递
推公式
,
在熟
练
< br>掌握等差
数
列、
等比
数
列地通
项
公式地推
导
方法地基
础
上<
/p>
,
产
生
地一系列
变
式．
我<
/p>
们应清
楚地意
识
到：
1
．
证
明
数
列
a
n
是等差或等
比
数
列常用定
义
,
即通
过证
明
a
n
1
a
n
a
n
a
n
1
(
n
2)
或
a
n
1
a
n
(
n
2)
而得．
a
n
a
n
1
2
．在解
决
等差
数
列或
等比
数
列地相
关问题时
,
“基本量法”是常用地方法
,
但有
时灵
活地
运
用性
质
,
可使
运
算
简
便
,
而一般
数
列地
问题
常
转
化
为
等差、等比
数
列求解．
3.
等差
数
列、等比
数
列求通
项
公式涉及地迭代、累加、累乘、
构
造等方法．
我
们
具体<
/p>
进
行如下分析：
一、由等差
,
等比演化而
来
地“差型”
,
“商型”
递
推
关
系
题组
一：
数
列
{
a
n
}
中
,
a
1
1,
a
n
1
a
n
2
,
求
{
a
n
}
地通
项
公
式
．
a
n<
/p>
2
n
1
变
式
1
：
数
列
{
a
n
}
中
,
a
1
1,
a
n
1
a
n
n
,
求
{
a
n
}
地通
项
公式
．
a
n
< br>变
式
2
：
数
列
{
a
n
}
中
,
a
1
1,
a
n
1
a
n
3
n
1
1
2
1
n
n
1
2<
/p>
2
3
n
1
1
,
求
{
a
n
}
地通
项
公式
．
a
n
2
变
式
3
：已知
数
列
{
a
n
}<
/p>
满
足
a
1
1
,
1
a
n
1
1
1
1
,
求
a
n
．
a
n
<
/p>
a
n
n
变
式
4
：
数
列
{
a
n
}
中
,
a
1
1,
a
n
1
2
a
n
2
,
求
{
a
n
}
地通
项
公式
．
a
n
a
< br>n
2
n
1
分析：①等差
数
列：
a
n
< br>1
a
n
d
生成：
a
2
a
1
d
,
a
3
a
2
d
,
…
a
n
1
< br>
a
n
2
d
,
a
n
a
n
1
d
累加：
a
n
(
a
n
a
n
< br>1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
2
a
1
)
a
< br>1
=
(
n
1
)
d
a
1
由此推广成差型
递
推
关
系：
a
n
a
n
1<
/p>
f
(
n
)
(
n
2)
累加：
a
n
(
a
n
a
n
< br>
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
2
a
1
)
< br>a
1
=
题组
二、
n
1
已知
数
列
{
a
n
}
地首
项
a
1
1
,
且
a
n
3
a
n
1
(
< br>n
2)
,
则
a
n
3
．
n
f
(
n
)
a
2
1
,
< br>于是只要
f
(
n
)
可以求和就行．
变
式
1
：已知
数
列
{
a
n
}
地首
项
a
1
1
,
< br>且
a
n
n
1
1
a
n
1
(
n
2)
,
则
a
n
．
n
n
n
变
式
2
：
数
列
{
a
n
}<
/p>
中
,
a
1
2,
a
n
1
3
a
n
2
< br>,
求
{
a
n
}
地通
项
公式．
a
n
3
1
变<
/p>
式
3
：
数
列
{
a
n
}
是首
项为
1
地正
项数
列
,
2
2
且
(
n
1)
a
n
1
na
n
a
n
1
a
n
0,(
n
1,
2,3,
)
,
求
{
a
n
}
地通
项<
/p>
公式．
a
n
<
/p>
1
n
分析：②
等比
数
列：
a
n
1
a<
/p>
n
q
生成：
a
2
a
1
q
,
a
3
a
2
q
,
…
a
n
1
a
n<
/p>
2
q
,
a
n
a
n
1
q
累乘：
a
n
a
n
a
n
1
a
<
/p>
2
a
1
=
q
n
1
a
1
a
n
1
a
n
2
a
1
a
n<
/p>
g
(
n
)
a
n
1
由此推广成商型
递<
/p>
推
关
系：
n
a
n
a
n
1
a
2
< br>a
1
g
(
n
)
a
1
累乘：
a
n
a
n
1
a
n
2
a
1
2
为
了提高
,
我
们还
可以引用下列例<
/p>
题
：
例
1
、
若
数
列
a
n
满
足：
a
1
2
,
a
n
2
(
2
n
1
)
a<
/p>
n
1
,
(
n
2
)
．
n
n
求
证
：①
< br>a
n
C
2
n
；
②
a
n
是偶<
/p>
数
．
证
明：由已知可得：
a
n
2
(
2
n
1
)
a
n
1
n
a
n
a
n
1
< br>a
2
2
n
3
5
(
2
n
1
)
a
1
=
又
a
< br>n
a
n
1
a
n
2
a
1
n
!
(
2
n
)!
2
4
6
(
2
n
2
)
2
n
<
/p>
1
3
5
(
2
n
1
)
2
n
3
5
(
2
n
<
/p>
1
)
而
C
=
n
!
n
!
n
!
n
!
n
!
n
n
n
所以
a
n
C
2
n
,
而
a
n
C
2
n
2
C
< br>2
n
1
为
偶
数
．
n
2
n
k
k
例
2
、已知
数
列
{
a
n
}
中
a
1
1
,
< br>且
a
2
k
a
2
k
1
(
1
)
,
a
2
k
1
a
2
k
3
其中
k=1,2,3,
……
.
（
I
）
求
a
3
,
a
5
；
（
II
）求
{
a
n
}
地通
项
公式
.
解
（Ⅰ）
（略）
a
3
3
,
a
5
13
k
k
k
(II)
a
2
k
1
a
2
k
3
a
2
k
1
(
1
)
< br>
3
所以
a
2
k
1
故
a<
/p>
2
k
1
a
2
k
1
3
k
(
1
)
k
,
为
差型
<
/p>
(
a
2
k
1
a
2
k
1
)
(
a
2
k
1
a
2
k<
/p>
3
)
(
a
3
a
1
)
a
1
(
3
k
3
k
1<
/p>
3
)
(
1
)
k
(
1
)
k
1
(
1
)<
/p>
1
3
k
1
1
(
1
)
k
1
．
=
2
2
3
k<
/p>
1
3
k
1
k
k
1
k
a
2
k
a
2
k
1
(
1
)
<
/p>
(
1
)
(
1
)
1
(
1
)
k
1
．
2
2
2<
/p>
2