函数的概念教学设计(第一课时)
-
济宁市育才中学
-
< br>刘建
函数的概念教学设计（第一课时）
知识目标
——
通过丰富的实例，
进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；
用
集合与对应的思想理解函数的概念；
理解函
数的三要素及函数符号的深刻含义；
会
求一些简单函数的定义域
及值域。
能力目标
——
培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑
思维
能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相
互转化的数
学思想。
情感目标
——
渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化学生参与意
识，
培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在探究过程中由特殊到
一般、从具
体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义
观点；感受数学的
简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，
又服务于实践”的数学应
用意识。
教学重点：
函数的概念，函数的三要素
.
教学难点：
函数概念及符号
y
=
f
(
x
)
的理解
.
教学方法
:
诱思教学法
教学用具：
多媒体
教学过程：
【教学过程】
设计
环节
一、
创设
问题
情境
，
引出
课题
。
设计意图
以实际问题为背景，
以学
生熟悉的情境
入手激活学生
的原有知识，
形成学生的
“再
创造”
欲望，
让学生在熟悉的
环境中发现新知识，
使新知识
和原知识形成
联系，
同时也体
现了数学的应用价值。
通过问
题
2
这两个用已有概念不太
容易回答的问题，
引发学生的
认知冲突，<
/p>
有着承上启下的作
用。
既是对初中已学的
函数概
念的进一步深入，
又是为下一
步
用集合语言来刻画函数的
本质做好伏笔。
师生活动
教师提出问题
1
：
我们在初中学习过函
数的概念，它是如何定义的
呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基
础上出示投影）
我们已经学习了一些具体的函数
，那么为什么还要
学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：
问题
2
：由上述定义你能判断“<
/p>
y=1
”是否表示一个
2
函数？函数
y=x
与函数
y<
/p>
x
表示同一个函数
x
吗？
学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念
很难回答这些问题，我们需要从新的
角度来认识函
数概念。这就是今天我们要学习的课题：函数的概
念（板书）
师：
（实例
1
）演示动画，用《几何画板》动态地显
示炮弹高度
h
关于炮弹发射时间
t
的函数。启发学
生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描
以实际问题为载体，
以信
二、
息技术的作图功能为辅助。
在<
/p>
借助
三个实例的教学中，
重点在于
信息
―
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技术
，
讨论
归纳
。
引导学生体会函数概念中的
对应关系。通过实例
1
，体会
用解析式刻画变量之间的对
应关系，关注
t
和
h
的范围；
通过实例<
/p>
2
体会用图象刻画
变量之间的对应关系，
关注
t
和
S
的
范围；通过实例
3
体
会用表格刻画变量
之间的对
应关系。
为了更好地使学生
尝试
用集合与对应的语言进行描
述，
可
以利用信息技术设置教
学情境。
通过学生的观察、
思
考、
讨论来归纳结论，
体
现了
学生自主探究的学习方式。
让
他们
通过实践来进一步体验
到在集合对应观下的函数内
涵，
也为学生应用信息技术解
决数学问题提供了一种新的
途径和方法。
从特殊到一般，
揭
示数学
通常的发现过程，
给学生
“数<
/p>
学创造”
的体验。
这种引出概
念的方式自然而又易于学生
接受和形成概念。
<
/p>
注重双语，
规范数学概念
的理解。
在涉及的每一个数学
概念其后注明英语，
有利
于教
师实施双语教学，
也有利于教
师和
学生阅读外文数学材料，
这也是体现新课标实验教材
的创新之处
。
函数
y=f(x)
是学生学习
的难点，
这是一个抽象的数学
符号。
教学时首先要强调符号
“
y=f(x)
”
为
“
y
是
x
的函数”
这句话的数学表示，
它仅仅是
数学符号，而不是表
示“
y
等
于
f
与
x
的乘积”
。在有些问
题中，
对应关系
f
可用一个解
析式表示，但在不少问题中，
对应关
系
f
不便用或不可能
用解析式表示，<
/p>
而用其他方式
（如图象、
列表）
来表示。
所
述变量之间的依赖关系：在
t
的变化范围内，任给
一个
t
，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度
h
与之相对应。
生：用计算器计算，然后用集合与
对应的语言描述
变量之间的依赖关系。
师：
（实例
2
）引导学生看图，并启
发：在
t
的变化
范围内，任给一个
t
，按照给定的图象，都有唯一的
一个臭氧
空洞面积
S
与之相对应。
生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量
之间的依赖关系。
师生：
（实例
3<
/p>
）共同读表，然后用集合与对应的语
言描述变量之间的依赖关系。
问题
3
：<
/p>
分析、
归纳以上三个实例，
它们有什么共
同
特点？
生：分组讨论三个实例的共
同特点，然后归纳出函
数定义，并在全班交流。
师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三
个实例中变量之间的关系均
可描述为：
对于数集
A
中的每一个
x
，
按照某种对
应关系
f
，
在
数集
B
中都有唯一确定的
y
与它对应，
记作
f:A
→
B
问题
4
：
函数能否看做是两个集合之间的一种对应
呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？（
在
学生回答的基础上教师归纳总结）
设
A
、
B
是非
空的数集，如果按照某种确定的
对应关系
f
，
使对于集合
A
中的任意一个数<
/p>
x
，
在数
集
B
中都有唯一确定的
f(x)
和它对应，
那么就称
f:A
→
B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数（
functi
on
）
.
记作
y=f(x)
．
x
∈
< br>A
．自变量
x
的取值范围
A
叫做函
数的定义域
（
domain
）
；
< br>与
x
的值相对应的
y
值叫做
函数值，函数值的集合叫做函数的值域（
r
ange
）
．
在函数概念得出后，教师强调指出“
y=f(x)
< br>”仅
仅是数学符号。为了更好地理解函数符号
y=f(x
)
的
含义，教师提出下一个问题：
<
/p>
问题
5
：
y=f
(x)
一定就是函数的解析式吗？
师
生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的
方法。
补充练习：下列图象中不能作为函数
y
f
(
x
)
的图
象的是（
）
y
y
y
y
2
2
2
2
o
x
x
x
x
o
o
o
2
< br>
2
2
2
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
三、
从特
殊到
一般
，
引出
函数
概念
。
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以教师应向学生明确指出，
y=f(x)
不一定就是解析式
，函
数的表示方式除了解析式外，
还有其它表示方法，
如实例
2
的图象法，实例
3
的列表法。
启发并引导学生思考
、讨论、交流，教师归纳总结
出函数的要点：
1
．
函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集<
/p>
的对应；
2
．
函数的核心是对应法则，通常用记号
f
表示函数
的对应法则，
在不同的函数中，
f
的具体含义不一样。
函数记号
y=f(x)
表明，对于定义域
A
的任意一个
x
在“对应法则
f
”的作用下，即在
B
中可得唯一的
y.
< br>当
x
在定义域中取一个确定的
a
，对应的函数值即
为
f(a).
集合
B
中并非所有的元素在定义域
A
中都有
元素和它对应；值域
C
B
；
3
．函数符号
y=f(x)
的说明：
（
1
）
“
y=f(x)
”即
为“
y
是
x
的
函数”的符号表示；
（
2
）
y=f(x)
不一定能用解析式表示；
（
3
）
f(x)
与
f(a)
是不同
的，通常，
f(a)
表示函数
f(x)
当
x=a
时的函数；
< br>
（
4
）在同时研究两个或多个
函数时，常用不同符号
表示不同的函数，
除用符号
f(x)
外，
还常用
g(x
)
、
F(x)
、
φ
(x)
等符号来表示。
4
．定义域是函数的重要组成部分，如
f(x)
=x(x
∈
R)
与
g(x)=x(x
≥
0)
是不同的
两个函数。
四、
借助
熟
悉
函数
平台
，
加深
对函
数概
念的
理解
。
设置问题
6
这个情境，
目
的是用函数的定义去解
释学
过的一次函数、反比例函数、
二次函数，
< br>使得对函数的描述
性定义上升到集合与对应语
言刻画的定
义。
同时利用信息
技术工具画出函数的图象，
< br>是
让学生进一步体会“数”与
“形”
结合在理解函数中的作
用，
更好地帮助理解上述函数
的三个要素，
从而加强学生对
函数概念的理解
，
进一步挖掘
函数概念中集合与函数的联
系。
明确定义域、
值域和对应
关系是
决定函数的三要素，
这
是一个整体，
以
此更好地培养
学生深层次思考问题的习惯。
< br>问题
6
：集合
A
（
A=R
）到集合
B
（
B=R
）的对应：
f
:A
→
B
，
使
得集合
B
中的元素
y
< br>
ax
b
(
a
0
)
与
集合
A
中
的元素
x
对应，如何表示这个函数？定义
域和值域各是什么？函数
y
k
(
k
0
)
呢？函数
x
y
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
呢？
< br>教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的
动态图象，启发学生观察、分析
，并请同学们思考
之后填写下表：
函数
对应
关系
定义
域
值域
一次
函数
反比例
函数
二次函数
a
0
a
<
/p>
0
问题
7
：函数的三要素是什么？
教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、
值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两
要素已确定时，则第三个要素也就随之
确定了。如
当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域
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也就确定了。
五、
再创
情境
，
引导
探究
函数
概念
的新
认识
。
问
题
8
利用学生思维的
空白处设置问题，
能引起学生
探究的欲望，
从而自然引出
以
形求数的思想。
接着，
通过
“引
导”
，给学生解决后续问题的
方法，即观察图象的方法。
问题
< br>9
引导学生对问题
2
进行反思和
总结，
并将之一般
化，
利用数学语言来
表达，
培
养学生反思问题、
总结归纳的
习惯和善于运用数学语言抽
象所发现的结论的能力。
问题
8
：比较函数的近
代定义与传统定义的异同点，
你对函数有什么新的认识？
学生思考、讨论，教师点拨：
函数近
代定义与传统定义在实质上是一致的，两个
定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个
定义
中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点
不同，传
统定义是从运动变化的观点出发，近代定
义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
问题
9
：学生在
前面学习的基础上，反思对问题
2
的解答，重新思考问题
2
，谈谈自己的认识。
教师启发、引导学生画图，以形求数。
y
y
y
x
2
2
2
2
y
y
x
y
1
x
< br>
o
x
x
x
o
o
2
2
2
师生：
y
1
(
x
R
)
是函数；
x
2
y
x
与
y
不是同一个函数。
x
六、
师生
释疑
，
深入
研究
。
问题
10
以学生已解决的
问题出发创设情境，
引
起学生
的学习兴趣，
再次引发学生在
构
建自身基础上的
“再创造”
，
并通过独
立思考后的讨论，
培
养学生分析解决问题、
用数学
语言交流沟通的能力。
设
置问题
11
这个情境，
是因为
“区间概念”
这段内容
并不难理解，
所以可以先让学
生自已阅读，然后进行不等
式、<
/p>
区间与数轴表示的互相转
化，
以此熟悉区
间的概念。
问
题
11
< br>此情境的设置是为学生
提供了自主探究的平台，
从阅
读学习中发现问题、分析问
题、
解决问题，
既符合了学生
的心理特点，
又注重了学
生的
思维过程。
< br>问题
10
：如何判断两个函数是否相同？
引导学生对问题
2
进行抽象
概括并归纳总结：
当两个函数的定义域、对应关系完全一致时
，
我们就称这两个函数相等。
问题<
/p>
11
：研读课本，叙述区间的概念。请同学们在
< br>阅读后填写下表：
定义
{
<
/p>
x
|
a
x
b
}
{
x
|
a
x
b
}
{
x
|
a
x<
/p>
b
}
{
x
|
a
x
b
}
名称
闭区间
开区间
半开半
闭区间
符号
数轴表示
[
a
,
b
]
(
a
,
b
)
a
b
a
,
b
)
[
a
b
{
x
|
x
a
}
{
x
|
x
< br>a
}
{
x
|
x
b
}
{
x
|
x
b
}
教师指导学生自学，解决学生提出的问题，
并指出
说明：
（
1
）区间是集合；
（
2
）区间的左端点必小于右端点；
（
3
）无穷大是一个符号，不是一个数；
（
4
）以“
-
∞”或“
+
∞”为区间
的一端时，这一端
必须是小括号。
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