【初升高】河南郑州外国语新枫杨学校2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析
-
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校
:
__________
姓名：
__________
班
级：
_________
考
注意事项：
1
．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2
．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
．选择题（共
10
小题，每题
4
分）
1
．下列等式中，不一定成立的是（
A
=2
C
．
=
﹣
D
．
．
2
．中国人民银行授权中国外汇交易中心公布，
2014
年
1
月
14
日银行间外汇市场人民币汇率中间价为：
美元对人民币
6.0930
元，某上市公司持有美元资产为
980
万美
元，用科学记数法表示其
美元资产折合成人
民币为（
）元（保留两位有效数字）
7 7
8 8
A
．
5.97
×
10
7
B
．
6.0
×
10
7
C
．
5.97
×
10
8
D
．
6.0
×
10
8
3
．如图，一条
信息可通过网络线由上（
A
点）往下（沿箭头方向）向各站点传送，例如信息要到
b
2
点可由
经
a
1
的站点送达，也可由经
a
2
的站点送达，共有两条传送途径，则信息由
A
点传达到
d
3
的不同途径中，经
过站点
b
3
的概率为（
）
4
．已知
x+y=
，
| x|+| y| =5
，则
x
﹣
y
的值为（
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象如图所
示（
a
、
b
、
c
为常数），则函数
y=
（
4ac
﹣
b
2
）
x+abc
和
y=
在同一
平面直角坐标系中的图象，可能是（
）
试卷第
1
页，总
7
页
6
．关于
x
的一元二次方
mx
2
< br>+
x+1=0
有两个不相等的同号实数根，
m
的取值范围是
程
A
．
m
且
m
≠
0
则
B
．
7
．由于货源紧缺，小王、小李两名商贩连续两次以不同的价格在同
一公司购进了
A
型香米，两次的购买单
价分别为
a
、
b
（
a
<
b
，单位：元
/
千克），小王的采购方式为：每次购进
c
千克大米；小李的采购方式为：
每次购进
d
元的大米（
d
>
c
），
若只考虑采购单价，下列结论正确的是（
A
．小王合算
B
．小李合算
C
．一样合算
D
．无法确定谁更合算
8
．函数
y
=|x
2
+2x
﹣
3|
图象的草图如图所示，则关于
x
的方程
|
x
2
+2x
﹣
3| =a
（
a
为常数）的根的情况，
描述错
）
A
．方程可能没有实数根
B
．方程可能有三个互不相等的实数根
C
．若方程只有两个实数根，则
a
的取值范围为：
a=0
D
．若方程有四个实数根，记为
x
1
、
x
2
、
x
3
、
x
4
，则
<
/p>
x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=
﹣
4
9
．如图，
DE
是△
ABC
的中位线，
F
为
DE
上一点，且
EF=2DF
，
BF
的延长线交<
/p>
AC
于点
<
/p>
H
，
CF
的延长
线
交
AB
于点
G
，则
S
四边形
AGFH
：
S
△
BFC
=
（
）
试卷第
2
页，总
7
页
A
．
1
：
10
B
．
1
：
5 C
．
3
：
10
D
．
2
：
5
10
．如图，
AB
是⊙
O
的直径，
AC
是⊙
O
的
弦，点
D
是
的中点，弦
DE
⊥
AB
，垂足为点
F
，
G
，
EH
为⊙
O
的切线，交
AC
的延长线于
H
，
AF=3
，
FB=
，则
tan
∠
DEH=
（
）
D
．
A
．
B
C
．
．
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共
10
小题，每题
4
分）
1
1
．计算：（
π
﹣
3.14
）
0
﹣
< br>2
﹣
2
×
+
（
tan60
< br>°﹣
2
）
2013
（
4sin30
°
+
）
2014
+ =
12
．已知实数
x
，
y
满足方程（
x
2
﹣
4x+6
）（
9y
2
+6y+6
）
=10
，则
y
x
=
．
是三条线段；请在图
2
中画出
CM
、
CN
、
MN
这三条线段
13
．如图，正方体（图
1
）的展开图如图
2
所示，在图
1
中
M
、
N
分别是
FG
、
GH
的中点，
14
．如图，在正方形
ABCD
中，
E
、
F
分别为
AB
、
BC
的中点，连结
CE
交
DB
、
DF
于
G
、
H
，
则
EG
：
GH
：
试卷第
3
页，总
7
页
DE
交
AC
于点
CM
、
CN
、
MN
HC=
15
．已知直线
l
1
：
y=x
﹣
a
﹣
3
和直线
l
2
：
y=
﹣
2x+5a
相交于点
A
（
m
，
n
），其中
a
为常数，且
m
>
n
>
0
，化简
|
1
﹣
a|
﹣
=
．
16
．在平面直角坐标系内有两点
A
、
B
，其坐标为
A
（﹣
1
，﹣
1
），
B
（
2
，
4
），点
M
为
x
轴上的一个动点，
若要使
MB
﹣
MA
的值最大，则点
M
的坐标为
．
17
．若
y
关于
x
的函数
y=
（
a
﹣
2
）<
/p>
x
2
﹣
2
（
2a
﹣
1
）
x+a
（
a
为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点，则
a
可取的值为
．
18
．如图，已知圆
O
的面积为
3
π
，
AB
为
圆
O
的直径，∠
AOC=80
°，∠
BOD=20
°，点
P
为直径
AB
上任意
y=
，
y=
，第一象限内的点
P
1
、
P
2
、
P
3
、
⋯
、
P
2015
在反比例函数
y=
的图象
上，它们的横坐标分别
x
1
、
x
2
、
x
3
、
⋯
、
x
2015
< br>，纵坐标分别是
1
、
3
、
5
、
⋯
，共
2015
个连续奇数，过
P
1
、
为
P
2
< br>、
P
3
、
⋯
、
P
2015
分别作
y
轴的平行线，
与
=
的图象交点依次为
y
Q
1
（
x'
1
，
y'
1
）、
Q
2
（
x'
2
，
y'
2
）、
⋯
、<
/p>
Q
2015
（
y
'
2015
），则
P
2015
Q
2015
的长度是
20
．将连续正整数按以下规律排列，则位于第
7
行第
7
列的数
x
是
三．解答题（共
6
小题，共
70
分）
21
．若关于
x
的不等式组
只有
4
个整数解，求
a
的取值范围．
试卷第
4
页，总
7
页
x'
2015
，
22
．跃壮五金商店准备从宁云机械
厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零
件的
进价少
2
元，且用
80
元购进甲种零件的数量与用
100
元购进乙种零件的数量相同．
（
1
）求每个甲种零件、每个乙种零件
的进价分别为多少元？
（
2
）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的
3
倍还少
5
个，购进两种零件的总数
量不超过
95
个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为
12
元，每个乙种零件的销售价格为
15
元，则将本
< br>次
购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润
=
售价﹣进价）超过
371
元，通过
< br>计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．
23
．如图，
OA
和
OB
是⊙
O
的半径，并且
OA
⊥
OB
．
P
是
OA
上任意一点，
BP
的延长线交⊙
O
于点
Q
，点
R
在
OA
的延长线上，且
RP=RQ
．
（
1
）求证：
RQ
是⊙
O
的切线；
（
2
）当
RA
≤
OA
时，试确定∠
B
的取值范围；
24
．如图
1
，在平面直角坐标系中，
边长为
1
的正方形
OABC
的顶点
B
在
y
轴的正半轴上，
O
为坐标原
点．
现
将正方形
OABC
绕点
O
按顺时针方向旋转，旋转角为
<
/p>
θ
（
0
o
≤θ≤
45
o
）．
（
1
）当点
A
落到
y
轴正半轴上时，求边
BC
在旋转过程中所扫过的面积；
（
2
）若线段
AB
与
y
轴的交点为
M
（如图
2
），线段
BC
与直线
y=x
的交点为
N
．当
θ
=22.5
时°，求此时△
BMN
内切圆的半径；
（
3
）设△
MNB
的周长为
l
，试判断在正方形
OABC
旋转的过程中
l
值是否发生变化，并说明理由．
试卷第
5
页，总
7
页
②将底边
n
等分，构建
即
1+2+3+
⋯
+n=
﹣
模仿上述求和过程，
设
n
2
=
的结果．
，确定
a
与
b
的值，并计算
1
2
+2
2
+3
2
+
⋯
+n
2
2
）图
1
中，抛物线
y=x
2
，直线
x=1
与
x
轴围成底边长为
1
的曲边三角形，其面积为
S
，现利用若干矩形
面积和来逼近该值．
①将底边
3
等分，构建
3
个矩形（见图
2
），求其面积为
S
3
；
n
个矩形（如图
3
），求其面积和
S
n
并化简；
③考虑当
n
充分大时
S
n
的逼近状况，并给出
S
的准确值．
3
）计算图
4
中抛物线
y=2x
2
与直线
y=2x+4
所围成的阴影部分面
积．
CB
∥
OA
，
OA=7
，
AB=4
，∠
COA=60
°，点
P
26<
/p>
．如图所示，在平面直角坐标中，四边
OABC
是等腰梯
为
x
轴上的一个动点，点
P
不与点
0
、点
A
重合．连接
CP
，过
形
1
）求点
B
的坐标；
点
形，
P
作
PD
交
AB
于点
D
．
2
）当点
P
运动什么位置时，△
OCP
为等腰三角形，求这时点
P
的坐标；
3
）当点
P
运动什么位置时，使得∠
CPD=
∠
OAB
，且
，求这时点
P
的坐标．
试卷第
6
页，总
7
页
试卷第
7
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7
页
参考答案与试题解析
．选择题（共
10
小题）
1
．
下列等式中，不一定成立的是
（
考点】
65
：分式的基本性质；
73
：二次根式的性质与化简．
【分析】
根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：
A
、左边
B
、当
c=0
时，
无
=
右边，故本选项正
确；
意义，故本选项错误；
C
、左边
=a
=a
=
﹣
=
右边，故本选项正确；
D
、左边
=
=
=
右边，故本选项正确．
故选：
B
．
点评】
本题考查的是二次根式的性质与化简，
熟知二次根式具有非负性是解答此题的
关键．
2
．中国人民银行授权中国外汇交易中心公布，
2014
年
1
月
14
日银行间外汇市场人民
币汇率中间价为：
1
美元对人民币
6.0930
元，某上市公司持有美元资产为
980
万美元，
用科学记数法表示其美元资产折合成人民币为（
）元（保留两位有效数字）
7 7
8 8
A
．
5.97
×
10
7
B
．
6.0
×
10
7
C
．
5.97
×
10
8
D
．
6.0
×
10
< br>8
【考点】
1L
：科学记数法与有效数字．
【分析】根据汇率可求
980
万美元折合成人民币的钱数，
再保留两位有效数字即可求
解．
【解答】
解：
980
万美元
=980000
美元，
980000
×
6.0930
≈
6.0
×
10
7
元．
故选：
B
．
【点评】
此题考查了科学记数法与有
效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的
计
算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
3
．如图，一条信息可通过网络线由上（
A
点）往下（沿箭头方向）向各站点传送，例
如信息要到
b
2
点可由经
a
1
的站点送达，也可由经
a
2
的站点送达，共有两条传送途径，
则
1
信息由
A
点传达到
d
3
的不同途径中，经过站点
b
3
的概率为（
）
2
分析】
根据题意画出树状图，进而利用概率公式，求出答案．
解答】
解：画树状图
得：
B
．
C
．
D
．
考点】
X6
：列表法与树状图
法．
b
3
的概率为：
故选：
A
．
点评】
本题考查树状图法求概率，关
键是得到到达
目的地应走的路口，列齐所有的可
能情况．
所以共有
6
种情况，则经过站
点
A
．
B
．
C
．
【考点】
28
：实数的性质．
4
．已知
x+y=
，
|x|+| y| =5
，则
x
﹣
y
的值为（
）
D
．
【分析】
根据绝对值的性质，可得答案．
【解答】
解：当
x
>
0
，
y
>
0
时，
x+y=5
与
x+y=2
矛盾，
当
x
<
0
，
y
<
0
时，
x+y=
﹣
5
与
x+y=2
矛盾，
当
x
>
0
，
y
<
0
时，
x
﹣
y=5
，
当
x
<
0
，
y
>
0
时，
x
﹣<
/p>
y=
﹣
5
，
故选：
D
．
【点评】
本题考查了实数的性质，利
用绝对值得性质是解题关键，要分类讨论，以防遗
3
漏．
5
．二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象如图所示
（
a
、
b
、
c
为常数），则函数
y=
（
4ac
﹣
b
2
）
x+abc
和
y=
在同一平面直角坐标系中的图象，可能是（
）
【考点】
F3
：一次函数的图象；
G2
：反比例函数的图象；
H2
：二次函数的图象．
【分析】
由抛物线开口方向得到
a
>
0
，由抛物线与
y
轴交于
x
轴下方得
c
<
0
，由抛物
线
的对称轴得
b
<
0
，所以
a
bc
>
0
；根据抛物线与
x
轴有
2
个交点可得
4ac
﹣
b
2
<
0
，得
出一
次函数的图象经过第一、二、四象限；利用对称轴的位置和不等式性质即可得到<
/p>
2a+b
>
0
，
得出反比例函数的图象位于第一、三象限；即可得出结论．<
/p>
【解答】
解：∵抛物线开口向上，
∴
a
>
0
，
∵抛物线与
y
轴交于（
0
，
c
），
∴
c
<
0
，
∵抛物线的对称轴为直线
x=
﹣
>
0
，
∴
b
<
0
，
∴
abc
>
0
；
∵抛物线与
x
轴有
2
个交点，
∴
b
2
﹣
4ac
>
0
，
2
∴
4ac
﹣
b
2
<
0
；
∴函数
y=
（
4ac
﹣
b
2
）
x+abc
经过第一、二、四象限；
∵
0
<
﹣
<
1
，而
<
/p>
a
>
0
，
∴﹣
b
<
2a
，即
2
a+b
>
0
，
∴函数
y=
的图象位于第一、三象限；
4
故选：
C
．
【点评】
本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数
y=ax
2
+bx+c
（
a
≠
0
），二次项
系
数
a
决定抛物线的开口方向和大小．当
a
>
0
时，抛物线向上开口；当
a
<
0
时，抛物线
向
下开口；一次项系数
b
和二次项系数
a
共同决定对称轴的位置，当
a
与
b
同号时（即
ab
>
0
），对称轴在
y
轴左；
当
a
与
b
异号时（即
ab
<
0
），对称轴在
y
轴右．（简称：
左
同右异）；常数项
c
决定抛物线与
y
轴交点，抛物线与
y
轴交于（
0
，
c
）．当△
=b
2
﹣
4ac
>
0
时，抛物线与
x
轴有
2
个交点；△
=b
2
﹣
4ac=0
时，抛物线与
x
轴有
1
个交
点；△
=b
2
﹣
4ac
<
0
时，抛物线与
x
轴没有交点．
2
6
．关于
x
的一元二次方程
mx
+
x+1=0
有两个不相等的同号实数根，则
m
的取值
范围是（
）
A
．
m
C
．
且
m
≠
0
且
B
．
m
≠
0
D
．
0
考点】
AA
：根的判别式．
分析】
根据方程有两个不相等的同号
实数根结合根的判别式即可得出关于
一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
解答】
解：∵关于
x
的一元二次方程
mx
2
+
m
的一元
x+1=0
有两个不相等的同号实数根，
解得：
0
<
m
<
故选：
D
．
点评】
本题考查了根的判别式，根据
根的判别式结合根与系数的关系找出关于
元一次不等式组是解题的关键．
m
的
7
．由于货源紧缺，小王、小李两名商贩连续两次以不同的价格在同一公司购进了
A
型
香米，两次的购买单价分别为
a
、
b
（
a
<
b
，单位：元
/
千克），小王的采购方式为：每次
购进
c
千克大米；小李的采购方式为：每次购进
d
元的大米（
d
>
c
），若只考虑采购单
价，下列结论正确的是（
）
A
．小王合算
B
．小李合算
5
C
．一样合算
D
．无法确定谁更合算
【考点】
6C
：分式的混合运算．
【专题】
11
：计算题；
513
：分式．
【分析】
分别表示出小王与小李两次
购买香米的平均价格，利用作差法比较即可．
【解答】
解：根据题意得：小王两次购买香米的平均价格为
=
小李两次购买香米的平均价格为
=
元
/
千克，
元
/
千克，
∴
∴
﹣
﹣
=
=
=
=
，
，
∵（
a
﹣
b
）
2
>
0
，
2
（
a+b
）
>
0
，
∴
﹣
>
0
，即
>
，
则小李的购买方式合算．
故选：
B
．
【点评】
此题考查了分式的混合运算
，以及作差法比较大小，熟练掌握运算法则是解本
题
的关键．
8
．函数
y=|
x
2
+2x
﹣
3|
图象的草图如图所示，则关于
x
的方程
|
x
2
+2x
﹣
3| =a
（
a
为常数）
A
．方程可能没有实数
根
B
．方程可能有三个互不相等的实数根
C
．若方程只有两个实数根，则
a
的取值范围为：
a=0
D
．若方程有四个实数根，记为
x
1
、
x
2
、
x
3
、
x
4
，则
x
1
+x
2<
/p>
+x
3
+x
4<
/p>
=
﹣
4
【考点】
HA
：抛物线与
x
轴的交点．
【分析】
关于
x
的方程
| x
2
+2x
﹣
3|
=a
可视为函数
y=| x
2
+2x
﹣
3|
与函数
y=a
的交点问题，
且函数
y=| x
< br>2
+2x
﹣
3|
的顶点坐标为（﹣
1
，
4
），再根据
a
的取值范围即可得出结论．
【解答】解：如图所示，关于
x
的方程
|
x
2
+2x
﹣
3|
=a
可视为函数
y=| x
2
+2x
﹣
3|
与函数
y=a
的交点问题，且函数
y=| x
2
+2x
﹣
3|
的顶点坐标为（﹣
1
，
4
），
6
由函数图象可知，
当
a
<
0
时，
y=| x
2
+2x
﹣
3|
与函数
y=a
没有交点，故原方程
没有实数根，
故
A
正确；
当
a=4
时，函数
y=|
x
2
+2x
﹣
3|
与函数
y=a
有三个交点，故方程有三个不相等的实数根，
故
B
正确；
当
a=0
或
a
>
4
时，函数
y=|
x
2
+2x
﹣
3|
与函数
y=a
有两个交点，故方程有两个互不相等
的实数根，故
C
错误；
当
0
<
a
<
4
时，函数
y=| x
2
+2x
< br>﹣
3|
与函数
y=a
有四个交点，故方程有四个互不相等的实
数根，根据函数的对称性可知，
x<
/p>
1
+x
2
+x<
/p>
3
+x
4
=
﹣
2
﹣
2=
﹣
4
，故
D
正确．
应方程解的情况，
特别注意函数图形的正确性，
把方程看作是两个函数图象的交点是解
答此题的关键．
9
< br>．如图，
DE
是△
ABC
的中位线，
F
为
DE
上一点，且
EF=2DF
，
BF
的延长线交
AC
于点
H
，
CF
的延长线交
AB
于点
G
，则
S
四边形
A
GFH
：
S
△
BFC
=
（
）
10
D
．
2
：
5
考点】
KX
：三角形中位线定理；
S9
：相似三角形的判定与性质．
专题】
11
：计算题．
分析】
设
DF=x
，
EF=2x
，
S
△
GDF
=S
，则
DE=3x
，由三角形中位线性质得
BC=2DE=6x
，先
证明△
GDF
∽
△
GBC
，利用相似三角形的性质得
<
/p>
S
△
GBC
=3
6S
，则利用三角形面积公式得到
S
△
BGF
=6S
，
S
△
BFC
=30S
，接着利用
=
=
=
=
得到
=
=
，则
S
△
CFH
=
S
△
BCF
=15S
，所以
S
< br>△
BCH
=45S
，然后利用同
样方法计算出
S
△
BAH
=
S
△
< br>BCH
=15S
，于是得到
S
四边形
7
AGF
H
=9S
，然后计算
S
四边形
AGFH
：
S
△
BFC
的值．
8
【解答】
解：设
DF=x
，
EF=2x
，
S
△
GDF
=S
，
则
DE=3x
，
∵
DE
是△
ABC
的中位线，
∴
BC=2DE=6x
，
∵
DE
∥
B
C
，
∴△
GDF
∽
△
GBC
，
=
=
=
（
）
2
，即
=
（
）
2
=
∴
S
△
GB
C
=36S
，
=
∴
S
△
BGF
=6S
，
∴
S
△
<
/p>
BFC
=30S
，
=
==
，
=
==
，
=
=
=
=
∵
EF<
/p>
∥
BC
，
∴
S
△
BCH
=45S
，
而
AE=CE
，
∴
AH
：
HC=1
：
3
，
S
△
CF
S
△
=15S
∴
S
四边形
AGFH
=S
△
BAH
﹣
S
△
BGF
=15S
﹣
6S=9S
，
∴
S
四边形
AGFH
：
S
△
BFC
=9S
：
30S=3
：
10
．
故选：
C
．
【点评】
本题考查了相似三角形的判
定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用
形中已有的公共角、公共边等隐含条件
，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角
9
图
形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
在应用相似三角形的性质时，
主要利用
相似三角形的性质进行几何计算．也考查了三角形面积公式．
10
．如图，
AB
是⊙
O
的直径，
AC
是⊙
O
的弦，点
D
是
的中点，弦
DE
⊥
AB
，垂足为
点
F
，
DE
交
AC
于点
G
，
EH
为⊙
O
的切线，交
AC
的延长线于
H
，
AF=3
，
< br>FB=
，则
tan
D
．
考点】
M2
：垂径定理；
M4
：圆心角、弧、弦的关系；
MC
：切线的性质；
T7
：解直角
三角形．
分析】
连接
OE
，如图
2
，根据切线的性质得
OE
⊥
EH
，则∠
OEF+
∠
DEH=9
°
0
，而∠
OEF+
∠
FOE=90
°，根据等角的余角相等得∠
< br>FOE=
∠
DEH
，求出
OF
、
EF
，在
Rt
△
OEF
中，根
据
<
/p>
tan
∠
DEH=tan
∠
EOF=
计算即可．
解答】
解：连接
OE
，如图
2
，
∵
EH
为⊙
O
的切线，
∴
OE
⊥
EH
，
∴∠
OEF+
∠
DEH=9
°
0
，
而∠
OEF+
∠
FOE=90
°，
∴∠
FOE=
∠
DEH
，
∵
AF=3
，
FB
∴
tan
∠
DEH=tan
∠
EOF= = =
．
，
∴
AB=AF+BF
∴
OB
AB=
，
∴
OF=OB
﹣
在
Rt
△
OEF
中，
OE=
，
OF
∴
EF=
故选：
A
．
=
=2
．
10
【点评】
本题考查了切线的性质：圆
的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理
和
解直角三角形．
．填空题（共
10
小题）
11
．计
算：（
π
﹣
3.14
）
0
﹣
2
2
×
﹣
+
（
tan
60
°
﹣
2
）
2013
（
4sin30
°
+
）
2014
+
1
【考点】
2C
：实数的运算；
6E
：零指数幂；
6F
：负整数指数幂；
T5
：特殊角的三角函
数
值．
分析】
根据实数的混合运算法则和运算顺序计算即可．
解答】
2014
+
=1+1+
（
﹣
2
）
2013
×（
+2
）
2013
（
+2
）
+1+ =2
﹣
2
﹣
+1+
=1
，
故答案为：
1
点评】
本题主要考查实数的混合运算、立方根的运算、绝对值的化简及特殊锐角的三
角
函数值、实数的大小比较等，正确掌握基本的
运算法则是解题的关键．
12
．已知实数
x
，
y
满足方程（
x
2
﹣
4x+6
）（
< br>9y
2
+6y+6
）
=10
，则
y
x
=
．
【考点】
AF
：高次方程．
【专题】
17
：推理填空题．
【分析】
根据（
x
2
﹣
4x+6
）（
9y
2
+6y+6
）
=10
，可得：
[
（
x
﹣
2
）
2
+2][
（
3y+1
）
2
+5]
=10
，
据此求出
x
、
y
的值各是多少；然后应用代入法，求出
y
x
的值是多少即可．
【解答】
解：∵（
x
2
﹣
4x+6
）（
9y
2
+6y+6
）
=10
，
11
∴
[
（
x<
/p>
﹣
2
）
2
+2][
（
3y+1
）
2
+5]=10
，
∴
x
﹣
2=0
，
3y+1=0
，
解得
x=2
，
y=
﹣
，
【点评】
此题主要考查了高次方程的解法和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是灵活
应
用完全平方公式．
13
．如图，正方体（图
1
）的展开图如图
2
所示，在图
1
中
M
、
N
分别是
FG
、
GH
的中
点，
CM
、
CN
、
MN
是三条线
段；请在
图
2
中画
出
CM
、
CN
、
MN
这三条
线段
考点】
I6
：几何体的展开图．
分析】
先分别找到
M
、
N
、
C
在
正方体的展开图中的对应
点，
再在展开图中连接即可．
解答】
解：作图如下：
【点评】
本题考查了正方体的展开图，
熟练掌握正方体平面展开图的特征是解决此类问
题
的关键．注意找准
M
、
N
、
C
在正方体的展开图中的对应点．
12
14
．如图，在正方形
ABCD
中，
E
、
F
分别为
AB
、
BC
的中点，连结
CE
交
DB
、
DF
于
G
、
H
，则
EG
：
GH
：
HC=
5
：
4
：
6
．
考点】
LE
：正方形的性
质；
S9
：相似三角形的判定与性质．
分析
】
过
点
G
作
GP
∥
BC
交
DF
于
P
，设
GH=2a
，则
由平
行线
的性
质得
出
，进而即可得出结论．
【解答】解：过点
G
作
GP
∥
BC
交
DF
于
P
，如图所示：
则，
则，
设
GH=2a
，则
HC=3a
，
∴
EG
：
GH
：
HC=5
：
4
：
6
．
点评】
本题主要考查了平行线分线段
成比例的性质以及正方形的一些性质问题，
要求
学生能够利用其性质求解一些简单的计算问题．
15
．已知直线
l
1
：
y=x
﹣
a
﹣
3
和直线
l
2
：
y=
﹣
2x+5a
相交于点
A
（
m
，
< br>n
），其中
a
为常
数，
且
m
>
n
>
0
，化简
|1
﹣
a|
﹣
= 1
．
【考点】
73
：二次根式的性质与化简；
FF
：两条直线相交或平行问题．
【分析】
由直线
l
1
：
y=x
﹣
a
﹣
3
和直线
l<
/p>
2
：
y=
﹣
2x+5a
相交于点
A
（
m
，
n
），即
可得出
关
于
m
、
n
的二元一次方程，解方程即可得出
m
、
n
的值，再结合
m
>
n
>
0
，即可得出
a
的取值范围，进而即可得出代数式
|
1
﹣
a|
﹣
的值．
【解答】
解：根据题意得：
，
解得：
，
∵
m
>
n
>
0
，
∴，
∴，
13
∴<
/p>
a
>
2
，
∴
|1
﹣
a|
﹣
故答案为：
1
．
【点评】
本题考查了两条直线相交或
平行问题以及二次根式的性质与化简，根据
之间的关系找出
a
的取值范围是解题的关键．
m
、
n
=a
﹣
1
﹣（
<
/p>
a
﹣
2
）
=1
．
16
．在平面直角坐标系内有两点
<
/p>
A
、
B
，其坐标
为
A
（﹣
1
，﹣
1
），
B<
/p>
（
2
，
4
），点
M
为
x
轴上的一个动点，若要使
MB
﹣
MA
的值最大，则点
M
的坐标为
（﹣
2
，<
/p>
0
）
．
【考点】
D5
：坐标与图形性质；
PA
：轴对称﹣最短路线问题．
【分析】
利用轴对称图形的性质可作点
A
关于
x
轴的对称点
A
′，连接
A
′
，
B
交<
/p>
x
轴于
点
M
，点
M
即为所求．
【解答】
解：作点
A
（﹣
1
，﹣
1
）关于
x
轴的对称点
A
′（﹣
1
，
1
），作直线
A
′B
交
x
轴于
点
M
，
由对称性知：
MA
< br>′
=MA
，
∴
MB
﹣
<
/p>
MA=MB
﹣
MA
′
=A
′
，
B
若
N
是
x
轴上异于
M
的点，则
NA
′
=NA
，这时
< br>
NB
﹣
NA=NB
﹣
NA
′<
A
′
B=M
﹣
B
MA
′，
所以，点
M
就是使
MB
﹣
MA
的值最大的点，
MB
﹣
MA
的最大值是
A
′B
，
设直线
A
′
B
的解析式为：
y=kx+b
，
把
A
′（﹣
1
，
1
），
B
（
2
，
4
）代入得：<
/p>
解得：
，
∴直线
A
′B
的解析式为
y=x+2
，
∵点
M
为直线
A
′B
与
x
轴的交点，
当
y=0
时，
x+2=0
，
x=
﹣<
/p>
2
，
∴点
M
的坐标为（﹣
2
，
0
）．
故答案为：（﹣
2
< br>，
0
）．
14
【点评】本题是求最值问题，
考查了在直线上求作一点，
使到直线两侧点的距离差最大，
涉及
待定系数法求一次函数的解析式及在三角形中任意两边之差小于第三边的应用，
正
确
作出一个点的对称点是解题的关键．
17
．若
y
关于
x
的函数
y
=
（
a
﹣
2<
/p>
）
x
2
﹣
2
（
2a
﹣
1
）
x+a
（
a
为常数）的图象与坐标轴只有
两个不同交点，则
a
可取的值为
2
或
0
．
【考点】
HA
：抛物线与
x
轴的交点．
分析】
分二次函数或一次函数两种情形讨论即可．
【解答】
解：①如果是二次函数则
无解．
②如果是一次函数则
a
﹣
2=0
，
∴
a=2
，
a=0
时，函数为
y=
﹣
2x
2
+x
与坐标轴只有两个交点，
综上所述
a=2
或
0
时，
y
关于
x
的函数
y=
（
a
﹣
2
）
x
2
﹣
2
（
2a
﹣
1
）
x+a
（
a
为常数）的图
象与坐标轴只有两个不同交点．
故答案为
2
或
0
．
【点评】
本题考查一次函数、二次函数与坐标轴的交点，记住△
=b
2
﹣
4ac
>
0
时，抛物
线与
x
轴有
2
个交点；
△
=b
2
﹣
4ac=0
时，抛物线与
x
轴有
1
个交点；△
=b
2
﹣
4ac
<
0
时，
抛物线与
x
轴没有交点，是解题的关键是，属于中考常考题型．
18
．如图，已知圆
O
的面积为
3
π
，
AB
为圆
O
的直径，∠
AOC=80
°，∠
BOD=20
°，点
P
为直径
AB
上任意一点，则
PC+PD
的最小值是
3
．
15
<
/p>
PA
：轴对称﹣最短路线问
题．
【分析】
先设圆
O
的半径为
r
，由圆
O
的面积为
3
π
求出
r
的值，再作点
C
关于
AB
的对
称点
C
′，连接
OC
′，
DC
′，则
< br>
DC
′的长即为
PC+PD
的最小值，由轴对称的性质得出
∠
AOC
′
的度数，故可得出∠
BOC
′的度数
，再由锐角三角函数的定义即可得出
DC
′的长．
【解答】
解：设圆
O
的半径为
r
，
∵⊙
O
的面积为
3
π
，
∴
3
π <
/p>
=
π
2
，
r
即
r=
．
作点
C
关于
AB
的对称点
C
′，连接
OC
′，
DC
′，则
< br>
DC
′的长即为
PC+PD
的最小
值，
∵∠
AOC=8
°
0
，
∴∠
AOC=
∠
AOC
< br>′
=80
°，
∴∠
BOC
′
=100
°，
∵∠
BOD=2
°
0
，
∴∠
D
OC
′=∠
BOC
′
< br>+
∠
BOD=10
°
0 +20
°
=120
°，
∵
OC
′
=
OD
，
∴∠
ODC
′
=30
°
< br>
∴
DC
′
< br>=2OD?cos30
°
故答案为：
3
．
3
．
=3
，即
PC+PD
的最小值为
点评】
本题考查的是圆周角定理及轴对称﹣最短路线问题，
根据题意作出点
C
关于直
线
AB
的对称点是解答此题的关键．
19
．已知两个反比例函数
y=
，
y=
，第一象限内的点
P
1
、
P
2
、
P
3
、
⋯
、
P
2015
在反比
例函数
y=
的图象上，
它们的横坐标分别为
x
1
、
x
2
< br>、
x
3
、
⋯
、
x
2015
，纵坐标分别是
1
、
3
、
16
5
、
⋯
，共
2015
个连续奇数，过
P
< br>1
、
P
2
、
P
3
、
⋯
、
P
2015
分别作
y
轴的平行线，与
y=
的
图
象交点依次为
Q
1
（
x'
1
，
y'
1
）、
Q
2
（
x
'
2
，
y'
2
）、
⋯
、
Q<
/p>
2015
（
x'
2015
，
y'
2015
），则
P
2015
Q
2015
的
长度是
．
【考点】
G6
：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析】
根据点
P
2015
的纵坐标利用反比例函数
图象上点的坐标特征即可得
出点
坐标，由
P
2015
Q
2015
∥
y
轴结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得
Q<
/p>
2015
的坐标，
出点
由此即可得出线段
P
2015
Q
2015
的长度．
解答】
解：∵点
P
2015
的纵坐标为
2
×
2015
﹣
1=4029
，点
P
2015
的在反比例函数
y=
的
图象上，
∴点
P
2015
的坐标为
（
∵
P
P
2015
的
，
4029
），
2015
Q
2015
∥
y
轴，
∴点
Q
2015
的坐标为
2015
Q
2015
=4029
﹣
（
故答案为：
∴
P
=
，
，
=
）
，
点评】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点
P
2015
的纵坐标利用反比
例函数图象上点的坐标特征求出点
P
2015
、
Q
2015
的坐标是解题的关键．
2
0
．将连续正整数按以下规律排列，则位于第
7
行第
7
列的数
x
是
85
【考点】
37
：规律型：数字的变化类．
【分析】先根据第一行的第一列的数，
以及第二行的第二列的数，
第三行的第三列的数，
第四行第四列
的数，进而得出变化规律，由此得出第七行第七列的，从而求出答案．
【解答】
方法一：
解：第一行第一列的数是
1
；
第二行第二列的数是
5=1+4
；
第三行第三列的数是
13=1+4+8
；
第四行第四列的数是
25=1+4+8+12
；
17
第
n
行第
n
列的数是
1+4+8+12+
⋯
+4
（
n
﹣
1
）
=1+4[1+2+3+
⋯
+
（
n
﹣
1
）
]=1+2n
（
n
﹣
1
）；
∴第七行第七列的数是
1+2
×
7
×（
7
﹣
1
）
=85
；
故答案为：
85
．
方法二：
n=1
，
s=1
；
n=2
，
s=5
；
n
=3
，
s=13
，
设
s=an
< br>2
+bn+c
，
∴，
∴，
∴
s=2n
2
﹣
2n +1
，
把
n=7
代入，
s=85
．
方法三：
∴
a
7
=25+
=85
．
【点评】
此题考查了数字的变化类，
这是一道找规律的题目，
要求学生通过观察，
分
析、
归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三．解答题（共
20
小题）
21
．若关于
x
的不等式组
只有
4
个整数解，求
a
的取值范围．
【考点】
CC
：一元一次不等式组的整数解．
【分析】
首先利用不等式的基本性质解不等式组，
再从不等式的解集中找出适合条件的
整
数解，在确定字母的取值范围即可．
18
解答】
解：
由①得：
x
<
21
，
由②得：
x
>
2
﹣
3a
，
∵不等式组
只有
4
个整数解，
∴不等式组的解集为：
2
﹣
3a
<
x
<
21
，即不等式组只有
4
个整数解为
20
、
19
、
18
、
17
，
且
满足
16
≤
2
﹣
3a
<
17
，
∴﹣
5
<
a
≤
﹣
【点评】
本题考查不等式组的解法及
整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：
（
1
）不等
式的两边加（或减）同一个数（或式子）
，不等号的方向不变；
（
2
）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（
3
）不等式的两边乘
（或
除以）同一个负数，不等号的方向改变．
22
．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲
种零件的
进价
比每个乙种零件的进价少
2
元，且用
80
元购进甲种零件的数量与用
100
元购进乙
种零件
的数量相同．
（
1
）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多
少元？
（
2
）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的
3
倍还少
5
个，
购进两种零件的总数量不超过
95
个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为
12
元，每
个
乙种零件的销售价格为
15
元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销
售两种
零件的总利润（利润
=
售价﹣进价）超过
371
元，通过计算求出跃壮五金商店本
次
从宁云
机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．
【考点】
B7
：分式方程的应用；
CE
：一元一次不等式组的应用．
【专题】
12
：应用题；
22
：方案型．
【分析】（
1
）关键语是
“用
80
元购进甲种零件的数量与用
100
元购进乙种零件的数量
相
同”可根据此列出方程．
（
2
）本题中
“根据进两种零件的总数量不超过
95
个”可得出关于数量的不等式方程，
根
据
“使销售两种零件的总利润（利润
=
售价﹣进价）超过
371
元
”看俄得出关于利润的不
等式方程，
组成方程组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同
的方
19
案．
【解答】
解：（
1
）设每个乙种零件进价为
x
元，则每个甲种零件进价为（
x
﹣
2
）元．
由题意得：
．
解得：
x=10
．
检验：当
x=10
时，
x
（
x
< br>﹣
2
）≠
0
∴
x=10
是原分式方程的解．
每个甲种零件进价为：
x
﹣
2=10
﹣
2=8
答：每个甲种零件的进价为
8
元，每个乙种零件的进价为
10
元．
（
2<
/p>
）设购进乙种零件
y
个，则购进甲种零件（
3y
﹣
5
）个．
由题意得：
解得：
23
<
y
≤
25
∵
y
为整数∴
y=24
或
25
．
< br>
∴共有
2
种方案．
方案一：购进甲种零件
67
个，乙种零件
24
个；
方案二：购进甲种零件
70
个，乙种零件
25
个．
【点评】
本题考查了分式方程的应用
、一元一次不等式组的应用，列分式方程解应用题
与
所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．本题
要注意
（
2
）中未知数的不同取值可视为不同的方案．
23
．如图，
OA
和
OB
是⊙
O
的半径，并且
OA
⊥
OB
．
P
是
OA
上任意一点，
BP
的延长
线
交⊙
O
于点
Q
，点
R
在
OA
的延长线上，且
RP=RQ
．
1
）求证：
RQ
是⊙
O
的切线；
2
）当
RA
≤
OA
时，试确定∠
B
的取值范围；
3
）求证：
OB
2
=PB?PQ+OP
2
．
20
考点】
MR
：圆的综合题．
【分析】（
1
）连接
OQ
．欲证明
RQ
是⊙
O
的切线，只要证明∠
OQR=9
°
0
．
（
2
）求出
两个特殊位置的∠
B
的值即可解决问题．
（
3
）如图
2
中，延长
AO
交⊙于
M
．由
P
A?PM=PB?PQ
（相交弦定理，
也可以连接
BM
、
22
AQ
证明△
PBM
∽
△
PAQ
得到），推出（
OB
﹣
OP
）（
O
B+OP
）
=PB?PQ
，可得
OB
2
﹣
OP
2
=PB?PQ
．
【解答】（
1
）证明：连接
OQ
．
∵<
/p>
OA
⊥
OB
，<
/p>
∴∠
2+
∠
B=90
°，
∵
OB=OQ
，
∴∠
B=
∠
4
，
∵
RP=RQ
，
∴∠
1=
∠
3=
∠
2
，
∴∠
3+
∠
4=90
°，
∴
OQ
⊥
RQ
，
∴
RQ
是⊙
O
的切线．
（
2
）解：如图
1
中，
①当点
R
与
A
重合时，易知∠
B=45
°．
②当
AR=OA
时，在
< br>Rt
△
ORQ
中，∵∠
OQR=9
°
0
，
OR=2OQ
，
∵
RQ=RP
，
∴∠
R=30
°，
21
∴∠
RPQ=
∠
RQP=7
°
5
，
∴∠
OPB=7
°
5
，
∴∠
B=90
°﹣∠
OPB=1
°
5
，
综上所述，
15
°
≤
∠
B
<
45
°．
3
）如图
2
中，延长
AO
交⊙于
M
．
∵
PA?PM=PB?PQ
（相交弦
定理，也可以连接
BM
、
AQ
证明△
PBM
∽
△
PAQ
得到），
∴（
OB
﹣
OP
）（
O
B+OP
）
=PB?PQ
，
∴
OB
2
﹣
OP
2
=PB?PQ
．
即
OB
2<
/p>
=PB?PQ+OP
2
．
【点评】
本题考查圆综合题、切线的判定和性质、等腰三角形的性质、相交弦定理等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
24
．如图
1
，在平面直角坐标系中，边长为
1
的正方形
OABC
的顶点
B
在
y
轴的正半轴
上，
O
为坐标原点．现将正方形
OABC
绕点
O
按顺时针方向旋转，旋转角为
<
/p>
θ
（
0
o
≤θ
≤
45
o
）．
（
1
）当点
A
落到
y
轴正半轴上时，求边
BC
在旋转过程中所扫过的面积；
（
2
）若线段
AB
与
y
轴的交点为
M
（如图
2
），线段
BC
与直线
y=x
的交点为
N
．当
θ
=22.5
时，求此时△
BMN
内切圆的半径；
（
3
）设△
MNB
的周长为
l
，试判断在正方形
OABC
旋转的过程中
l
值是否发生变化，并
说明理由．
22
<
/p>
分析】（
1
）由题意当点
A
落到
y
轴正半轴上时，边
BC
在旋转过程中所扫过的面积
=S
扇形
OBB
′
+S
△
OCB
′
﹣
S
△
OBC
﹣
S
扇形
OCC
′
由此计算即可．
（
2
）如图
2
中，在
OA
取一点
E
，使得
EM=EO
，首先证明△
AEM
是等腰直角三角形，
推出
AM=AE
，设
AE=AM=x
，则
EM=EO= x
，可得
x+ x=1
，解得
x=
﹣
1
，推出
BM=AB
﹣
AM=1
﹣（
﹣
1
）
=2
﹣
< br>
，同理可得
BN=2
﹣
，推出
MN= BM=2
﹣
2
，设△
BMN
的内切圆
的半径为
r
，则有
（
MN+BM+BN
）
?r=
BM?BN
，由此求出
r
即可解决
问题．
3
）在正方形
OABC
旋转的过程中
l
值不发生变化．如图
3
中，延长
BA
到
E
使得
AE=CN
．只
要证明△
OAE
≌
△
OCN
，推出
OE=ON
，∠
AOE=
∠
CON
，再证明△
MOA
≌
△
MON
，推
出
EM=MN
，推出△
BNM
的周长
=MN+BM+BN=EM+
BM+BN
（
= AM+BM
）
+
（
AE+BN
）<
/p>
=
（
AM+BM
）
+
（
CN
+BN
）
=2AB=2
．
由题意当点
A
落到
y
轴正半轴上时，边
BC
在旋转过程中所扫过的面积
=S
扇形
O
BB
′
+S
△
OCB
′
S
△
OBC
﹣
S
扇形
OCC
′
扇形
=S
扇形
OBB
′
﹣
S
OCC
′
23
=
﹣
=
﹣
=
．
=
．
2
）如图
2
中，在
OA
取一点
E
，使得
EM=EO
，
∵∠
AOM=22.5
°，
∴∠
EOM=
∠
EMO=22.5
°，
∴∠
AEM=
∠
EOM+
∠
EMO=4
°
5
，
∴△
AEM
是等腰直角三角形，
∴
AM=AE
，设
AE=AM=x
，则
EM=EO= x
，
∴
x+ x=1
，
∴
x=
﹣
1
，
∴
BM=AB
﹣
AM=1
﹣（
﹣
1<
/p>
）
=2
﹣
，同理可得
∴
MN= BM=2
﹣
2
，
设△
BMN
的内切圆的半径为
r
，
则有
（
MN
+BM+BN
）
?r=
BM?BN
，
BN=2
﹣
，
∴
r=
=
=3
﹣
2
（
3
）在正方形
OABC
旋转的过程中
l
值不发生变化．
理由：如图
3
中，延长
BA
到
E
使
得
AE=CN
．
24
∴△
OAE
≌
△
OCN
，
∴
OE=ON
，∠
AOE=
∠
CON
，
∵∠
MON=4
°
5
，
∴∠
M
OA+
∠
CON=
∠
< br>MOA+
∠
AOE=4
°
5
，
∴∠
MOE=
∠
MON
，∵
OM=OM
，
∴△
MOA
≌
△
MON
，
∴
EM=MN
，
∴△
BNM
的周长
=MN+BM+BN=EM+BM+BN
=
< br>（
AM+BM
）
+
（
AE+BN
）
=
（
AM+BM
）
+
（
CN+BN
）
=
2AB=2
，
∴△
BNM
的周长为定值．
【点评】
本题考查圆综合题、正方形
的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切
圆、等腰直
角三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，
构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25
．
1
）已知
n=
那么
1+2+3+
⋯
+n=
即
1+2+3+
⋯
+n=
﹣
+
﹣
+
+
﹣
+
+
⋯
+
+
⋯
+
﹣
﹣
设
n
2
=
模仿上述求和过程，
，确定
a
与
b
的值，
并计算
1
2
+2
2
+3
2
+
⋯
+n
2<
/p>
的结果．
（
2
）图
1
中，抛物线
y=x
2
，直线
x=1
与
x
轴围成底边长为
1
的曲边三角形，
其面积为
S
，
现利用若干矩形面积和来逼近该值．
①
将底边
3
等分，构建
3
个矩形（见图
2
），求其面积为
S
3
；
25
②
将底边
n
等分，构建
n
个矩形（如图
3
），求其面积和
S
n
并化简；
③
考虑当
n
充分大时
S
n
的逼近状况，并给出
S
的准确值．
（
3
）计算图
4
中抛物线
y=2x
2
与直线
y=2x+4
所围成的阴影部分面积．
【考点】
HF
：二次函数综合题．
【分析】（
1
）将
n
2
=
﹣
通分化简，根据恒等式的
性质，列出方程即可解决问题．再模仿例题即可解决问题．
<
/p>
（
2
）①根据矩形的面积公式即可即可．
②根据矩形的面积公式以及（
1
）中的结论即可即可．
③由
S
n
=
1
2
+2
2
+3
2
+
⋯
+n
2
)
=
=
=
=
+
，因为
n
充分大时，
接近于
0
，所以
S
n
的值逼近于
3
）如图
4
中，设抛物线
y=2x
2
与直线
y=2x+4
的交点为
A
、
B
，作
AE
⊥
x
< br>轴于
E
，
BF
⊥
x
轴于
F
．记曲边三角形
AEO
的面积为
S
1
，曲边三角形
OBF
的面积为
S
2
．首先利用逼近
法
求出
S
1
、
S
2
，再根据
S
阴
=S
梯形
AEFB
﹣
S
1
﹣
S
2
计算即可．
2
)①
S
3
= ?
1
2
+2
2<
/p>
+3
2
)
②由①可知
S
n
1
2
+2
2
+3
2
+
⋯
+n
2
)
n
2
解
答
】
解
：（
1
）
，
，
∴
a=2
，
b=1
时等式成立．
﹣
∴
1<
/p>
+2
+3
+
⋯<
/p>
2
2
2
+n
2
=
﹣
+
．
﹣
+
⋯
26
27
③∵
S
n
=
1
2
+2<
/p>
2
+3
2
+
⋯
+n
2
)
=
=
=
=
+ +
，
∵
n
充分大时，
、
接近于
0
，
∴
S
n
的值逼近于
，
n
3
）如图
4
中，设抛物线
y=2x
2
与直线
y=2x+4
的交点为
A
、
B
，作
AE
⊥
x
< br>轴于
E
，
BF
⊥
x
轴于
F
．记曲边三角形
AEO
的面积为
S
1
，曲边三角形
OBF
的面积为
S
2
．
∴
A
（﹣
<
/p>
1
，
2
），
B
（
2
，
8
），
E
（﹣
1
，
0
），
F
（
2
，
0
），
将底边
EO
分成
n
等分，构建
n
个矩形
?2?
(
2
+
?2?
（
）
2
+
⋯
+
?2?
( )
2
=
(
1+2
2
+3
2
+
⋯
+
n
2
)
，
由（
2
）
可知
S
1
逼近于
，同理可得
S
2
逼近于
∴
S
阴
=S
梯形
AEFB
﹣
S
1
﹣
S
2
=
?3
﹣
=9
．
点评】
本题考查二次函数综合题，矩
形的性质、
逼近法求面积等知识，解题的关键是
理解题意，学会模仿例题解决问题
，属于创新题目，中考压轴题．
26
．如图所示，
在平面直角坐标中，
四边形
OABC
是等腰梯形，
CB
∥
OA
，
OA=7
，
AB=4
，
∠
COA=6
°
0
，点
P
为
x
轴上的一个动点，点
P
不与点
0
、点
A
重合．连接
CP
，过点
P
作
PD
交
AB
于点
D
．
（
1
）求点
B
的坐标；
（
2
）当点
P
运动什么位置时，△
OCP
为等腰三角形，求这时点
P
的坐标；
28
，求这时点
P
的坐标．
LJ
：等腰梯形的性质；
S9
：相
似三角形的判定与性
质．
专题】
16
：压轴题．
【分析】（
1
）过
B
作
BQ<
/p>
⊥
OA
于
Q
易得∠
COA=
< br>∠
BAQ=6
°
0
，在
Rt
△
BQA
中，根据三角
函数的定义可得
QB
的长，进而可得
OQ
的长；即可得
B
的坐标；
（
2
）分点
P
在
x
正半轴上与
x
负半轴上上两种情况讨论，结合等腰三角形的性质，可
得
OP
、
OC
的长，进而可得答案；
（
3
）根据题意易得△
COP
∽
△
PAD
，进而可得比例关系
，代入数据可得答案．
【解答】
解：（
1
）过
B
作
BQ<
/p>
⊥
OA
于
Q
，则∠
COA=
∠
BAQ=6
°
0
，
在
Rt
△
BQA
中，
QB=ABsin60
°
=
，
，
∴
OQ=OA
﹣
QA=7
﹣
2=5
．
∴
B
（
5
，
）．
（
2
）①当
OC=OP
时，若点
P
在
x
正半轴上，
∵∠
COA=6
°
0
，△
OCP
为等腰三角形，
∴△
OCP
是等边三角形．
∴
OP=OC=CP=4
．
∴
P
（
4
，
0
）．
若点
P
在
x
负半轴上，
∵∠
COA=6
°
0
，
∴∠
COP=12
°
0
．
∴△
OCP
为顶角
120
°的等腰三角形．
∴
OP=OC=4
．
∴点
P
的坐标为（
4
，
0
）或（﹣
4
，
0
）．
②当
OC=CP
时，由题意可得
C
的横坐标为：
< br>4
×
cos60
°
=2
，
∴
P
点坐标为（
4
，
0
）
∴
P
（﹣
<
/p>
4
，
0
）
29
③当
OP=CP
时，
∵∠
COA=6
°
0
，
∴△
OPC
是等边三角形，同①可得出
<
/p>
P
（
4
，
0
）．
综上可得点
P
的坐标为（
4
，
0
）或（﹣
4
，
0
）．
（
3
）∵∠
CPD=
∠
OAB=
< br>∠
COP=6
°
0
，
∴∠
O
PC+
∠
DPA=12
°
0
．
又∵∠
PDA+
∠
DPA=12
°
0
，
∴∠
OPC=
∠
PDA
．
∵∠
COP=
∠
A=60
°，
∴△
COP
∽
△
PAD
．
∴
7OP
﹣
OP
2
=6
得
OP=1
或
6
．
30
<
/p>
【点评】
错的题．
本题是一道动态几何压
轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不
31
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校
: __________
姓名：
_________
班级：
_
_________
考号：
___
注意事项：
1
．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2
．请将答案正确填写
在答题卡上
.
选择题
（本大题共
12
小题
,
每小题
3
分
,
共
36
分
.
在每小题所给出的四个选
项中
,
只有一项是正确的
,
请用
2B
铅笔把
答．题．卡．上．相．应．的．选．项．标．号．涂．黑．
.
．）
1.16
的平方根是（
）
A.4
B.
－
4
C.
±
4
D.
±
8
2.
下列运算正确的是（
）
A
．
3
4
7
2
3
5
(x
)
x
B
．
( x)
x
x
4
3
C
．
( x)
x x
D.
x x
2
3
x
3.
下列美丽的图案
,
既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（
）
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
4.
如图
,
桌面上有一个一次性纸杯
,
它的俯视图应是（
）
5.
某学习小组为了解本城市
500
万成年人中大约有多少人吸烟
,
随机调查了
50
个成年人
,
结果其中有
10
个成年人吸烟
.
对于这个数据收集与处理的问题
,
下
列说法正确的是（
）
A.
该调查的方式是普查
B.
本地区只有
40
个成年人不吸烟
C.
样本容量是
50 D.
本城市一定有
100
万人吸烟
6
杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：
32
颜色
数量（件）
黄色
100
绿色
180
白色
220
紫色
80
红色
550
经
理
决
定
本
周
进
女
装
时
多
进
一
些
红
< br>
色
的
，
可
用
来
解
释
这
一
现
象
的
统
计
知
识
是
（
）
A
．平均数
7.
B
．
众数
C
．中位数
D
．方差
两圆的半径
）
分别为
3
和
7,
圆心距为
7,
则两圆的位置关系是（
A.
内切
B.
相交
C.
外切
D.
外离
8.
在
）
△
ABC
中
,
D
、
E
分别是边
AB
、
AC
的中点
,
若
BC
＝
5,
则
DE
的长是（
A.2.5 B.5 C.10
9.
如右图
,
一次函数
y
＝
kx
＋
b
的图象经过
A
、
B
两点
< br>,
则
不等式
kx
＋
b < 0
的解集是（
）
A. x
<
0
C. x
<
１
B.
0
<
x
<
１
D.
x
>
１
10.
某
剧场为希望工程义演的文艺表演有
60
元和
100
元两种票价
,
某团体需购买
140
张
,
其中票价为
100
元的票数不少于票价为
60
元的票数的两倍
,
则购买
这
两种票最少共需要（
）
A.12120
元
B.12140
元
C.12160
11.
若
元
D.12200
元
）
a b
2
，且
a
≥
2b
，则（
b
1
A.
有最小值
a2
B.
D.
b
有最大值
1
有最小值
8
a
a
C.
有最大值
2
a
b
12.
在
矩形
ABCD
中，有一个菱形
BFDE
b9
（点
E
，<
/p>
F
分别在线段
AB
，
CD
上），记它们
的面积分别为
S
ABCD
和
BFDE
，现给出下列命题：
S
2 3
，则
2
①若
ABCD
S
S
BFDE
tan EDF
②若
DE
2
BD EF,
则
DF=2AD
则
.
（
）
33
A.
①是真命题，②是真命题
B.
①是真命题，②是假命题
C.
①是假命题，②是真命题
D.
①是假命题，②是假命题
34
二
.
填空题（本大题共
6
小题
,
每小题
4
分
,
共计
24
分
.
请把答案直接填写在
答题
卡
相
应
位
置
上
）
．．
．
．
．
< br>．
．
.
13.
函
数
y x
2
中
,
自变量
x
的取值范围是
.
14.
农科院对甲
、
乙两种甜玉米各
10
块试验田进行试验后
,
得到甲
、
乙两个品种<
/p>
每公顷的平均产量相同
,
而甲
、
乙
两个品种产量的方差分别为
S
甲
2
0.01
,
S
乙
2
0.002
,
则产量较为稳定的品种是
____________
（填“甲”或“乙”）
.
15.
_
____________
_____________________________________________
如图
,
早上
10
点小
东测得某树的影长为
2m,
到了下午
5
时又测得该树的影长
为
8m,
若
两次日照的
光线互相垂直
,
则树的高度约为
________________________
m.
下午
5
时
早上
10
时
第
15
题
第
17
题
16.
已知圆锥的底面半径为
1cm,
母线长为
1cm,
则它的侧面积是
cm 17.
如图
,
< br>在平面直角坐标系中
,
⊙
A
与
y
轴相切于原点
O,
平行于
x
轴的直线交
⊙
A
于
M
、
N
两点
,
若点
M
的坐标是
（
4
，
2
）
,
三
.
解答题（本大题共
10
小题
,
共
90
分
.
请在答题卡指定区域内作答
,
解答时应
写
出文字说明
、
证明过程或演算步骤）
35
x
10
19.
（
本题满分
16
分
）
（
1
）计算
:
12 | 1|
（
）
3
4cos30
1
2
（
2
）化简
x 1 x 1
2
x x 1
（
x
1
）
2
20.
（
本小题满分
12
分）
有
<
/p>
A
、
B
两个黑布
袋
,
A
布袋中有两个完全相同的小球
,
分别标有数字
1
和
2;B
布
袋中有三个完全相同的小球
,
分别标有数字
2
,
3
和－
4.
小明从
A
布
袋中随机
取
出一个小球
,
记录其标有的数字为
x,
再从
B
布袋中随机取出一个小球
,
记录
其标
有的数字为
y,
这样就确定点
Q
的一个坐标为
（
x,y
）
.
（
1
）用列表或画树状图的方法写出点
Q
的所有可能坐标
;
（
2
）求点
Q
落在直线
y= x 2
上的概率
.
21.
（
本题满分
12
分）如图
,
一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下
,
汽
车里
的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠
DCA
＝
30
°和∠
D
CB
＝
60
°
,
如
果斑马线的宽度是
AB
＝
3
米
,
< br>驾驶员与车头的距离是
0.8
米
,
这时汽车车
头与斑马
线的距离
x
是多少
?
22.
（
本题满分
12
分）已知
:
如图
, AB
是⊙
O
的直径
, C
、
D
为⊙
O
上两点
,
CF
⊥
AB
于
点
F, CE
⊥
AD
的延长线于点
E,
且
CE
＝
CF.
（
1
）求证
:
CE
是⊙
O
的切线
;
（
2
）若
<
/p>
AD
＝
CD
＝<
/p>
6,
求四边形
ABCD
的面积
.
E
D
C
E
D
C
O
F
B
O
F
B
23.
（
本题满分
12
分）已知在图
1
、
2
、
3
中
AC
均平分∠
MAN.
33
C
D
A
B
第
23
题图
3
第
23
题图
1
第
23
题图
2
⑴ 在图
1
中
,
若∠
MAN=120
°
,
∠
ABC=
∠
ADC=90
°
,
我们可
得结论
: AB+AD=AC;
在
图
2
中
,
若∠
MAN=120
°
,
∠
ABC+
∠
ADC=180
°
,
则上面的结论是否仍然成立
?
若
成立<
/p>
,
请给出证明
;
若不成立
,
请说明理由
;
（
2
）在图
3
中
:
（只
要填空
,
不需要证明）
.
①若∠
M
AN=60
°
,
∠
ABC+
∠
ADC=180
°
,
则
AB+AD=
AC;
AC
②若∠
MAN=
α
（
0
°
<
α
<
1
80
°
）
,
∠
ABC+
∠
ADC=180
°
,
则
AB+AD=
（用含
α
的三角函数表示）
.
24.
_______________________
（
本题满分
12
分）有六个学生分成甲
、
乙两组
（每组三个人）
,
分乘两辆出租
车同时从学校出发去距学校
60km
的博物馆参
观
,10
分钟后到达距离学校
12km
处
有一辆汽车出现故障
,
接着正常行驶的一辆
车先把第一批学生送到博物馆再回头
< br>
接第二批学生
,
同时第二批学生步行
12km
后停下休息
10
分钟恰好与回头接他们
的小汽车相遇
,
当第二批学生到达博物馆
时
,
恰好已到原计划时间
.
设汽车载人和
空载时的速度分别保持不变
,
学生步行
速度不变
,
汽车离开学校的路程
s
（千米）
与汽车行驶时间
t
（分钟）之间的函
数关系如图
,
假设学生上下车时间忽略不计
.
（
1
）
汽车载人时的速度为
34
___________________________
km/min;
第一批学生到达博物馆用了
_____
分
钟
;
35
原计划从学校出发到达博物馆的时间是
_____
分钟
;
（
2
）
求汽车在回头接第二批学生途中（即空载时）的速度；
（
3
）
假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小
0.04km,
汽车载人时和
空
载时速度不变
,
问能否经过合理的安排
,
使得学生从学校出发全部到达目的地
的
时间比原计划时间早
10
分钟？如果能
,
请简要说出方案
,
并通过计算说明
;
如果
不
能
,
简要说明理由
.
25.
（
本题满分
14
分）如图
,Rt
< br>△
AOB
中
,
< br>∠
A
＝
90
°
,
以
O
为坐标原点建立直角坐
标系
,
使点
A
在
x
轴正半
轴上
, OA
＝
2, AB
＝
8,
点
C
为
AB
边的中点
,
抛物线的顶
点是原点
O,
且经过
C
点
.
<
/p>
（
1
）填空
:<
/p>
直线
OC
的解析式为
_______
;
抛物线的解析式为
_______
;
（
2
）现将该抛物线沿着线段
OC
移动
,
使其顶点
M
始终在线段
OC
上（包
括端
点
O
、
C
）
,
抛物线与<
/p>
y
轴的交点为
D,
与
AB
边的交点为
E;
①是否存
在这样的点
D,
使四边形
BDOC
为平行四边形？如存在
,
求出此
时抛物线的
解析式
;
如不存在
,
说明理由
;
②设△
BOE
的面积为
S,
求
S
的取值范围
.
数学参考答案及评分意
见
36
．选择题：
1 2 3
4
5 6
7 8
9
10
11 12
C B C B
C
B
B A
D C
C
A
填空题（本大题
6
小
共
题，
13.
x
≥
-2
14.
每小题
4
分，共计
24
分
.
）
甲
15.4 16.
π
17.3
18.
2 2010 2 2011
三
.
解答题
:
19.(
本题满分
16
分
)
1
3
(1)
12 | 1| ( )
3
4cos30
2
＝
2
3
－
1
＋
8
－
2
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6
分
=7
8
分
2
）
x1
x
x 1 (x
1)
2
x
1
2
x
2
1
x
2
x(x
1)
1 x
(x 1)
5
分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
x
8
分
20.
（
本小题满分
12
分）
37
2
）落
有
:(1,-3);(2,-4)
B
A
-2
-3
-4
1
(1,-2)
(1,-3)
(1,-4)
(2,-2)
2
(2,-3)
(2,-4)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6
分
在
直
线
y
=
x 2
上
的
点
12
分
63
21.
解：如图
,
∵
CD
∥
AB,
∴∠
CAB=30
°
,
∠
CBF=60
°
;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
分
∴∠
BCA=60-30=30
°
,
即∠
BAC=
∠
BCA;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4
分
∴
BC=AB=3
6
分
米
;
Rt
△
BCF
中
,
∠
CBF=3
米
,
∠
CBF=60
°
;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8
分
∴
BF= BC=1.5
米
;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10
分
故
x=BF-EF=0.7
米
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12
分
22.
(
1
)
连结
OC
.
∵
CF
⊥
AB
,
CE
⊥
A
D
,
且
CE=CF
∴∠
CAE
=
∠
CAB
∵
OC
=
OA
∴
∠
CAB
＝∠
O
CA
∴∠
CAE
＝∠
O
CA
∴∠
O
CA
＋∠
ECA
＝∠
CAE
＋∠
ECA
< br>＝
90
°
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
∴
P=
2
=
1
4
分
又∵
OC
是⊙
O
的
半径
∴
CE
是⊙
O
的
切线
2
)∵
AD
=
CD
∴∠
DAC
=
∠
DCA
=
∠
CAB
∴
DC
//
AB
∵∠
CAE
＝∠
O
CA
∴
OC//
AD
6
分
∴四边形
AOCD
< br>是平行四边
形
∴
OC
=
AD
=6
，
AB
＝
12
38
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共
8
小题，共
24
分）
1.
2
的算术平方根是（
A.
2.
B.
）
C.
D. 2
下列运算正确的是（
A.
B.
）
C.
D.
180000
个就业岗位，将
180000
3.
近两年，中国倡
导的“一带一路”为沿线国家创造了
用科学记数法表示为（
）
A. B. C.
约
D.
4.
其左视图是
如图是由
4
个大小相同的正方体组合而成的几何体，
（
A.
B.
5.
在“朗读者”节目的影响下，
某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解
5
月份
八年级
300
名学生读书情况，随机调查了八年级
50
名学生读书的册数，统计数据如下
表
所示：
册数
人数
0
4
1
12
2
16
3
17
4
1
关于这组数据，下列说法正确的是（
）
A.
中位数是
2 B.
众数是
17 C.
平均数是
2 D.
方差是
2
6.
某商店今年
1
月份的销售额是
< br>2
万元，
3
月份的销售额是
4.5
万元，从
1
月份到
3
月份，
该店销售额平均每月的增长率是（
）
A. B. C.
如图，反比例函数
y
=
的图象经过
?
ABCD
对角
7.
线的交点
已知点
A
，
C
，
D
在坐标轴上，
BD
< br>⊥
DC
，
?
ABCD
的面积为
则
k
的值为（
）
A.
B.
C.
D.
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