小学奥数 5-3-5 分解质因数(二).教师版
-
5-3-4.
分解质因数
教学目标
1.
2.
能够利用短除法分解
整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为
△
☆
△
☆
...
△
☆
的结构，而
且表达形式唯一”
知识点拨
一、质因数与分解质因数
（
1
）
.
质因数：
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数
.
（
2
）<
/p>
.
互质数：
公约数只有
< br>1
的两个自然数，叫做互质数
.
（
3
）
.
分
解质因数：
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数
< br>.
例如：
30
2
3
< br>5
.
其中
2
、
3
、
5
叫做
30
的质因数
.
< br>又如
12
2
< br>
2
3
2
2
3
，
2
、
3
都叫做
12
的质因数，
其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式
.
分
解质因数往往是解数论题目的突破口，
因为这样可以帮助我们分析数字的特征
.
（
< br>4
）
.
分解质因数的方法：短除
法
2
12
例
如：
2
6
，
（
┖是短除法的符号）
所以
12
2
2
3
；
3
二、唯一分解定理
a
3
a
1
a
2
p
2
p
3
<
/p>
任何一个大于
1
的自然数
n
都可以写成质数的连乘积，即：
n
< br>
p
1
a
1
a
2
a
k
为自然
数，并且这种表示是唯一的
.
该式称为
n
的质因子分解式
.
a
k
p
k
< br>其中为质数，
例如：三个连续自然数的乘积是
210
，求这三个数
.
分析：∵210=2×3
×5×7，∴可知这三个数是
5
、
6<
/p>
和
7.
三、部分特殊数的分解
111
3
37
；
1001
7
11
13
；
11111
41
271
；
1
0001
73
137
；
1995
3
5
< br>7
19
；
1998
2
< br>3
3
3
37
；
2007
3
3
223
；
2008
2
2
2
251
；
10101
3
7
13
37
.
例题精讲
模块一、分数的拆分
5-3-4.<
/p>
分解质因数
.
题库
教师版
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1
1
1
＋
＋
＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝
。
希
望
杯
【考点】分数的拆分
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，初赛，第
19
题，
6
分
【解析】
三
个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必
有一个大于四分之一，即
是三分之一，那么剩下的只能是六分之一
.
希
+
望
+
杯
=2+3+6=11
【答案】
11
1661
【例
2
】
3
个质数的倒数之和是
，则这
3
个质数之和为多少．
1986
【考点】分数的拆分
【难度】
3
星
【题型】解答
【例
1
】
算式“
【
解
析
】
设
这
3
个质数从小到大为
a
、
b
、
c
，它们的倒数分别为
分后的分母为
a
b
c
，
求和得到的
分数为
1
1
1
、
、
，计算它们的和时需通分，且通
a
b
c
F
,
如果这个分数能够约分，
那么得到的分数的分母为
< br>a
、
abc
1661
，分母
1986
2
3
331
，所以一定是
a
2
，
b
3<
/p>
，
c
331<
/p>
，
1986
检验满足
.
所以这
3
个质数的和为
2
3
331
336
．
【答案】
2
3
331
336
【例
3
】
一个分
数，分母是
901
，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴
分子和分母各加一个相同的
一位数；⑵
分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后
7
是
．那么原来分数的分子是多少．
13
【考点】分数的拆分
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
因
为新分数约分后分母是
13
，而原分
母为
901
，由于
901
13
69
4
，所以分母是加上
9
或者
减
去
4
．若是前者则原来分数分子为<
/p>
7
70
9
481
，但<
/p>
481
13
37
，不是质数；若是后者则原来分
数
分子是
69
7
4
487
，而
487
是质数．所以原来分数分子为
487
．
【答案】
487
b
、
c
或它们之间的积
.
现在和为
【例
4
】
将
1
到
9
这
9
个数字在算式
<
/p>
1
的每一个括号内各填入一个数字，
使得算式
成立，
并
且要求所填每一个括号内数字均为质数
?
【考点】分数的拆分
【难度】
4
星
【题型】填空
【
解
析
】
本
题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是
2
，
3
，
5
，
7.
将原始代入字母分析有
b
d
cb
ad
1
，即有
cb
< br>
ad
1
，那么很容易发现只有
3×5
-
2
×7=1。符合原式的填法为
<
/p>
a
c
a
c
a
c
3
2
1
。
7
5
35
【答案】
3
2
1
7
5
35
1
1
1
的
a
、
b
的值
(
a
、
< br>b
都是四位数
)
．
< br>a
b
1001
【考点】分数的拆
分
【难度】
4
星
【题型】解答
【
解
析
】
取
1001
的两个不同约数
x
、
y
(
x
y
)
，得到：
【例
5
】
求满足
条件
5-3-4.
分解质因数
.
题库
教师版
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1
x
y
x
y
1
1
< br>，因为
x
、
y
< br>都是
1001
的
< br>1001
1001(
x
y
)
1001(
x<
/p>
y
)
1001
(
x
y
)<
/p>
1001
(
x
y
)
1001
(
x
y
)<
/p>
x
y
1001
（
x
+
y
）
1001
1001
1001
（
x
+
y
）
约数，所以
、
都是整数．所以只
需令
a
，
b
就可以了．而
a
、
y
y
x
x
b
都要大于
1001
，要保证
a
、
b
都是四位数，所以
a
、
b<
/p>
的比值都要小于
10
，即
x
、
y
的比值小于
10
．
而
1001
的两个互质且比值小于
10
的约数有以下几组
：
、
、
、
、<
/p>
、
（
1,7
）<
/p>
（
7,11
）
（
7,13
）
（
11,13
）
（
11,91
）
．所以我们依次取
x
、
y
为上面所列的数对中的数，代入
a<
/p>
、
b
的表达式，得到本题的答案：
（
13,77
）<
/p>
a
8008
,2574,2860,2184,9282,6930
<
/p>
b
1144,1638,1540,1
848,1122,1170
a<
/p>
8008,2574,2860,2184,9282,693
0
【答案】
b
1144,1638,1540,1848,1122,
1170
1
1
1
，
其中
a
、
b
都
是四位数，且
a
<
b
< br>，那么满足上述条件的所有数对（
a
,
< br>b
）是
2004
a
b
【考点】分数的拆分
【难度】
4
星
【题型】填空
【
解
析
】
2
004
的约数有：
1,2004,2,1002,3,668,4,501
，满足题意的分拆有：
1
1
2
1
1
2004
2004(1
2)
2004(1
2)
6012
3006
1
1
3
1
1
< br>
2004
2004(1
3)
2004(1
3
)
8016
2672
1
2
3
1
1
2004
2004(2
3)
2004(2
3)
5010
3340
1
< br>3
4
1
1
2004
2004(3
4)
2004(3
4)<
/p>
4676
3507
1
1
2
1
1
【答案】
2004
2004(1
2)
2004(1
2)
6012
3006
1
1
3
1
1
2004
2004(1
3)
2004(1
<
/p>
3)
8016
2672
< br>1
2
3
1
1
2004
2004(2
3)
2004(2
3)
5010
3340
1
3
4
1
1
<
/p>
2004
2004(3
4)
2004(3
4)
4676
3507
【
巩
固
】
若
【例
6
】
在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（
1
）
；
<
/p>
10
20
20
< br>
（
2
）
1
1
1
10
【考点】分数的拆分
【难度】
4
星
【题型】填空
【
解
析
】
单
位分数的拆分，主要方法是从分母
N
的约数中任意找出两个数
m
和
n
，有：
1
m
n
m
n
1
1
，
N
N
(
m
n
)
N
< br>(
m
n
)
N
(
m
n
)
A
B
从分母
n
的约数中任意找出两个
m
和
n
(
m
n
)
，有：
1
m
n
m
n
1
1
<
/p>
N
N
(
m
n
)
N
(
m
n
)
N
(
m
n
)
A
B<
/p>
⑴
本题
10
的约数有：
1
，
10
，
2
，
5
．
5-3
-4.
分解质因数
.
题库
教师版
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