数学建模竞赛论文封面模板
-
参赛密码
（由组委会填写）
第
十
二
届
“
中
关
村
青
联
杯
”
< br>全
国
研
究
生
数
学
建
模
竞
赛
学
校
参赛队号
10256084
1.
王亚楠
队员姓名
2.
李浩然
3.
吴正阳
- 1 -
上海电力学院
参赛密码
（由组委会填写）
第
十
二
届
“
中
关
村
青
联
杯
”
全
国
< br>研
究
生
数
学
建
模
竞
赛
题
目
面向节能的单
/
多列车优化决策问题
摘
要：
- 2 -
关键词：
列车；节能优化；惰性控制；巡航控制
- 3 -
一
问题重述
轨道交通系统的能耗是指列
车牵引、通风空调、电梯、照明、给排水、弱电等设备产
生的能耗。根据统计数据，列车
牵引能耗占轨道交通系统总能耗
40%
以上。在低碳环保、
节能减排日益受到关注的情况下，针对减少列车牵引能耗的列车运行优化控制近年来成为
轨道交通领域的重要研究方向。请研究以下问题：
一、
单列车节能运行优化控制问题
（
1
）
请建立计算速度距离曲线的数学模型，
计算寻找一条列车从
A
6
站出发到达
A
7
站的最节能运行的速度距离曲线，其中两车站间的运行时间为
110
秒，
列车参数和线路参数详见文件“
列车参数
.xlsx
”和“线路参数
.
xlsx
”。
（
2
）
请建立新的计算速度距离曲线的数学模型，
计算寻找一条列车从
A
6
站出发
到达<
/p>
A
8
站的最节能运行的速度距离曲线，其
中要求列车在
A
7
车站停站
45
秒，
A
6
站和
A
8
站间总运行时间
规定为
220
秒（不包括停站时间），列车
参数和线路参数详见文件“列车参数
.xlsx
”和“线路
参数
.xlsx
”。
二、
多列车节能运行优化控制问题
（
1
）
当
100
列列车以间隔
H={h
1
,…,h
99
}
从
A
1
站出发，追踪运行，依次经过
A
2
< br>，
A
3
，……到达
A
14
站，中间在各个车站停站最少
D
min
秒，最多
D
max
秒。间
隔
H
各分量的变化范围是
H
min
秒至
H
max
秒。请建立优
化模型并寻找使所
有列车运行总能耗最低的间隔
H
。要求第一列列车发车时间和最后一列列
车的发车时间之间间隔为
T
0
=63900
秒，<
/p>
且从
A
1
站到<
/p>
A
14
站的总运行时间不
变，均为
2086s
（包括停站时间）。假设所有列车
处于同一供电区段，各
个车站间线路参数详见文件“列车参数
.
xlsx
”和“线路参数
.xlsx
”
。
补充说明：列车追踪运行时，为保证安全，跟踪列车（后车
）速度不能超
过限制速度
式可简化如下：
其中
，
以免后车无法及时制动停车，
发生追尾事故。
其计算方
是列车当前
位置的线路限速
（
km/h
）
，
是当前时刻前后车之间的
是列车制动的最大减
速度
(m/s
2
)
距离
(m)
，
（
2
）
<
/p>
接上问，
如果高峰时间
（早高峰
7200
秒至
12600
秒，
晚高峰
43200
至
50400
秒）发车间隔不大于
2.5
分钟且不小于
2
分钟，其余时间发车间隔不小于<
/p>
5
分钟，每天
240
列。请重新为它们制定运行图和相应的速度距离曲线。
三、
列车延误后运行优化控制问题
接上问
，若列车
i
在车站
A
< br>j
延误
（
10
< br>秒）发车，请建立控制模型，找出在确
保安全的前提下，首先使所有后续列车尽快
恢复正点运行，其次恢复期间耗能最少的
列车运行曲线。
假设
（
为随机变量，普通延误（
0<
<10s
）概率为
20%
，严重延误
0
< br>）
>10s
）
概率为
10%
（超过
120s
，
接近下一班，
不考虑调整）
，
无延误
（
概率为
70%
。若允许列车在各站到、发时间与原时间相比提前不超过
10
秒，根据上
述统计数据，如何对第二问
的控制方案进行调整？
- 4 -
二
基本假定和符号规定
2.1
基本假定
1.
假定忽略列车运行过程中的工况转换时间
2.
假定忽略列车上空调等设备的能耗
3.
假定忽略列车上乘客的体重
4.
假定忽略乘客的舒适度
5.
假设电网中有足够的消耗电阻来消耗多余的能量
6.
假定忽略能量传递对网压的影响
2.2
符号规定
文章中所用主要符号与意义说明如表
1
所示，其他见正文。
表
1
符号说明
符号
G
F
B
Fmax
v
(
t
)
Vmax
< br>a
(
t
)
a
m
ax
名称和意义
重力
列车牵引力
列车制动力
列车总阻力
最大牵引力
实时速度
最大速度
实时加速度
最大加速度
曲率半径
列车质量
能耗
R
M
E
- 5 -
三
优化方案分析
3.1
文中难点的理解分析
对
值的理解分析：
题目中已经给出
< br>
值的定义，
为实际输出的牵引加速度与最大加速
的的百分比。由公式
a
a
max
Ma
F
< br>
可以反向理解，笔者认为
就相当于实际
Ma
< br>max
F
max
列车运行过程中
的油门。由于文中要求节能的运行方式，列车参数中限定了最大加速度，
牵引力过大只能
导致“空转”，空耗能，所以在对后面的题目求解过程中实际输出的牵引
力
F
分为两种情况：
(1)
.
当最大牵引力产生的加速度
a
'
a
max
，则<
/p>
F
F
max<
/p>
。
(2).
当
最大牵引力产生的加速度
a
'
a
max
，则
制动中
的
类似。
对坡道的理解分析：
由题目给出的附件中的车站公里标可以看出，类似于
A6-A7
的时候坡
道系数应该取反。原理图如下：<
/p>
F
max<
/p>
M
a
max
，即
Ma
max
<
/p>
。
F
max
图
1
坡道的理解图
如上图
1
所示，正方向为上坡的时候，反方向为下坡。类似的，正方向为下坡的时候，
反
方向为上坡。
对列车线路曲率为<
/p>
0
情况的理解分析：
在题中给出列车曲线
阻力为：
w
c
c
/
R
，列车行驶
< br>过程中曲率半径
R=0m
的情况，并非列车曲线阻力
c
为无穷大。相反，
R
为
0m
，代表为
“直路”，在后面问题的求解算法中，均加入判定条件，若
R
< br>为
0m
，则
w
< br>c
=0N
。
3.2
问题（一）分析建模与结果
3.2.1
问题（一）（
1
）分析
问
题（一）（
1
）是求
A6-A7
站间的节能优化驾驶方案。
最优的操纵序列的选取：
针对一些路况的驾驶采用的驾驶阶段题目说
明中已经给出
分析：
列车在平道或者坡度较小的线路上时，
理论上存在最优的操纵序列：
最大加速
-<
/p>
恒速
-
惰行
-<
/p>
最大制动。
当运行路线较短时，
只有
3
个控制阶段，
即
“最大加速
-
惰行
-
< br>最大制动”
。
论文
XX
中提出一种最优的惰行控制方案，惰行控制即在制动降速前惰行，减少牵引能耗，
通过选择合适的惰行点从而实现全程运行节能。问题的最终是求能耗的最优，上文中所提
出的四个阶段中，只有牵引阶段和巡航阶段是耗能的，而惰行阶段和制动阶段是不产生耗
能的。
结合问题
（一）
（
1
）
中的问题，
即
需要惰行阶段的时间越长越好，
而理想状况是
“最
大牵引
-
惰行至终点”
在后
面的算法得出不能同时满足时间和距离这两方面的约束。
故得到
问题的节能最优驾驶方案为：最大加速
-
惰行
< br>-
最大制动。
线路中限速情况
的分析说明：
从附件中可以查出两站间的距离为
1354m
；
前
120m
的限
速为
55
km
/
h
，
后面
1
234m
的限速为
80
km
/
h
。
根据列车最大牵引
加速到第一次限速
V
m
1
- 6 -
值时有没有到达新的限速值阶段，理论上存在如图
2
上面的两种情况。为了定性分析实际
属于哪种情况
，本文特将列车以最大牵引加速至第一限速
55
km
/
h
,
所行驶距离为
121m
，
而
55
km
/
h
限速
段距离为
120m
。
当列车加速到
55
km
/
h
时，
已经进入
80
km
/
h
的限速段。
< br>通过上述分析，最终得到结果从
A6-A7
的路况列车节
能最优的方案为情况
2
。
另外，
题中给出了从
A6
到
A7
的运行时间为
110s
，
为了更好的寻找最优能耗的运行方
案，算法在
运行时间的基础上给予一定的裕量
--
富裕时间，为
1
s
。
图
2
对于限速情况的考虑
3.2.2
问题（一）（
1
）建模与算法
优化驾驶模型是一个同时含有等
式约束和不等式约束的非线性规划问题。本文对问题一的
建模如下：
牵引阶段：
E
*
F
i
i
1
N
max
i
*
dL
i
；
N
为
牵引阶段的总步长数，
i
、
F
max
i
为每个步
长对
应
、
F
m
ax
实时的取值，
< br>dL
i
为每个步长列车对应行驶的距离。
巡航阶段：
E
j
*
dL
；由于
F
i
i
1
N
< br>1
实际
（阻力），且只有
0
时，此时
j=1,
牵引
力才做功；当
0
< br>时，
j=
；此时没有牵引力，只有制动力，故没有耗能。
惰行阶段：
E
0
，不耗能。
< br>制动阶段：
E
0
，不耗能。
目标：
min
E
约束条件：
E
；
E
为能耗，
n
为阶段数。
i
i
0
n
- 7 -
n
t
< br>i
t
总
110
s
；
i
0
V
(
t
)
V
max
(
t
)
；
n
L
i
L
< br>总
1354
m
；
i
1
a
(
t
)
<
/p>
a
max
；
惰行
点与制动点的求取：
整个最优方案中最重要的一环就是惰行点与制动点的选取，
本文中采用的求解方法为：如图
3
所示，由于本
题中
V
m
1
限
速并没有影响，首先求取列车
以最大牵引加速到第二次限速
V<
/p>
m
2
可以得到一条牵引曲线；类似，通过
反向推理，在终点
A7
处反向推出制动曲线。
< br>
图
3
问题一算法原理说明图
然后在牵引曲
线选择步长进行迭代运算惰行曲线，由于制动曲线是在终点处方向算出
的，
迭代中只需满足以下两个条件：
（
1
）
以牵引曲线上采样点为基础得出的惰行曲线必须
得与
制动曲线有交点。即一直惰行至速度为
0
时，距离必须超过终点
。
（
2
）牵引阶段、惰
行阶段和制动阶段三部分时间相加总和在
110s
左右
富裕时间
1s
，富裕时间在上文已交代
过。此种方法可以得出多组解，由于题中要求的是求节能最优方案，而上述三个阶段中只
有牵引阶段是耗能的，所以只需取
t
1
最小值的那组解即为所求解。具体主要算法程序见附
录
XXX<
/p>
，全部程序见附件
XXX
。算法伪代码如
下所示：
算法伪代码（一）：
列车运行惰行点与制动点的寻找算法（主要）
1.
计算从起点即
v
=0
、
T=0
时的牵引曲线，采样点共
N
个。
2.
从
110s
终点处方向求解制动曲线，采样点共
M
个。
3.
for
i=1;
i
N; i++
do
4.
以
牵引曲线第
i
个采样点作为惰行阶段的初始点，计算惰行曲线。
5.
如果惰行曲线重点的公里标
，否则返回
<
br>。 <
br>,
公里标，执行
6
3
。
6.
寻找惰行曲线与制动曲线的交点
b
。
- 8 -
7.
如果整个时间
T
，
执行
8
，否则返回
3
（
109
111
）
8.
end for
9.
计算总耗能。
3.2.3
问题（一）（
1
）算法结果分析
根
据上述方法建模与算法，得到问题一（
1
）中的距离速度曲线如
图
4
所示。为了更好对
上文的限速情况
进行分析，特用小图局部放大了公里标在
13747m
处限速改
变时的情况，
证明前面所分析是正确有效的。根据图
4
可以得出如下分析结果：
图
4
问题一
(A)
的迭代结果图
1.
列车从
A6
站开始以最大牵引加速，在限速
55
km
/
h
的下是没有影响的。加速到速度为
64.05
km
/
h
的时候，开始惰行，牵引阶段
的时间为
20.90s
。
2.
到
20.90s
时列
车开始惰行，不产生能耗，惰行至
98s
时，列车速度降为
41.47
km
/
h
。
惰行阶段时间约为
78s.
3.
到
98s
时，
列车开始制动，最大制动减速，当约为
111s
时，列车速度降
为
0
km
/
h
,
刚
好行驶
1
354m
，到达
A7
站。
将问题（一）
(1)
的求
解结果统计在表格
2
中：
表
2
A6-A7
最节能方案结果
站间距离
/m
1353.6
运行时间
/s
111s
惰行距离
/m
1066
惰行点
位置
（公里标）
13380m
制动点
位置
（公里标）
12314m
能耗
/(J)
3
.
49
10
7
另外，求解中关键点
的牵引阶段各个时刻的取值也统计在了附录
XXX
中，其余各相关值
已按要求填写至文件“数据格式
.xlsx
”中。
3.2.4
问题（一）（
2
）分析
问题一（
2<
/p>
）和（
1
）的相比，模型需要做出了很大
的一些改变。首先两个站分别限定的时
间
t
1
、
t
2
并没有告知，只是有条件
t
1
t
2
220
s
；再者所求能耗为两个运行过程的总能耗
最
低。故模型与算法需要重新建立。为了更好的对运行时间进行定性分析，特对最大能力
运
行方案与最节能（最耗时）运行方案两个极端情况进行演算。
- 9 -
理论上在站间存在如图
5
的最大能力运行曲线，这种运行操作序列为：最大牵引加速—巡
航阶段—最大制动减速。
这种运行操作序列所花时间最少，
但是
同时也是最不节能的方案。
单列车单站间最节能运行曲线在上文中已经讨论过“最大牵引
加速—直接惰行”方案的可
能性是不存在的，所以时间最长的方案只能是问题一（
1
）中所采取的方案。运行操作序
列为：最大
牵引加速—惰行阶段—最大制动减速。运行曲线如图
6
所示。<
/p>
图
5
理论站间最大能力运行曲线图
图
6
理论站间时间最长运行曲线
A6
—
A7
站间距离为
1354m
，
A7
—
< br>A8
站间距离为
1280m
，限
速情况前
120m
限速均为
55
km
/
h
，
后面限速均为
80
km
/
h
。
A6
—
A8
站间路况也类似：
曲率均为
0m
，
坡度均为
“平
路—上坡—下坡—平路”阶段，而且坡度均比较小。上述情况均表明两站路程是相似的，
所以运行时间与运行距离速度曲线也是相似的，可以粗略得到问题一（
< br>2
）的最优节能运
行曲线如图
7
所示。上述分析表明两段路程的运行时间应均在
[100,12
0]
之间，可以建立题
一（
2
）数学模型如下所示，其中求取每段惰行点位置和制动点位置的方法均与题一（
< br>1
）
相似，模型与算法中不再赘述。
- 10 -
图
7
问题一（
2
）理论分析节能最优运行方案图
目标：
m
in
E
E
min
1
E
min
2
；
E
为总能耗，
E
< br>min
1
、
E
< br>min
2
分别为
A6-A7
、
A7-A8
两个阶
段的耗能。
约束条件：
t
1
[
t
min
1
,
t
max
1
];
t
2
[
t
min
2
,
t
max
2
];
t
< br>t
220
s
< br>；
1
2
V
(
t
)
V
max
(
t
)
；
n
L
i
1
L
总
1
< br>
1354
m
；
i
1
n
L
i
2
<
/p>
L
总
2
1280
m
；
i
1
a
(
t
)
a
max
；
具体算法主要程序见附录
XXX
< br>，
全部程序见附件
XXX
。
由于数据较大，
约束条件增多，
实际
运行中精确到秒
S
就可以了，特将本算法的迭
代步长调整为
1s
，。算法伪代码如下所示：
< br>
算法伪代码（二）
A6-A8
运行能耗最低方案的算法（主要）
1.
for
t
1
=100;
t
1
120;
t
1
++
do
2.
t
2
=220-
t
1
;
3.
计算在
t
1
情况下，
A6-A7<
/p>
站间最优节能方案运行的最小耗能
E
mi
n
1
；
4.
计算在
t
2
情
况下，
A7-A8
站间最优节能方案运行的最小耗能
E
min
2
；
5.
if
E
m
in
<
（
E
m
in
1
+
E
m
in
2
）
do
6.
E
m
i
=
n
E
min
1
+
E
min
2
;
7.
end if
8.
end for
9.
E
min
即为最低的能耗，此时的
t
1
、
t
2
值即为对应在两站的运行时间
- 11 -