周世勋量子力学习题答案
-
第六章
散射
1<
/p>
．粒子受到势能为
U
(
< br>r
)
a
r
2
的场的散射，求
S
分波的微分散射截面。
[
解
]
为了应用分波法，
求微分散射截面，
首先必
须找出相角位移。
注意到第
l
个分波的
相角位移
l
是表示在辏力场中的矢径波函数
R
l
和
在没有散射势时的矢径波函数
j
l
在<
/p>
r
时的位相
差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。
矢径的波动方程是：
1
d
2
dR
l
r
2
r
dr
dr
l
(
l
1
)
2
<
/p>
(
k
V
(
r
)
)
R
l
0
2
r
其中
R
l
是波函数的径向部分，而
V
(
r
)
2
U
(
r
),
2
k
2
2
E
2
令
R
l
x
l
(
r
)
r
，不难把矢径波动方程化为
l
(
l
1
)
2
x
l
k
2
2
2
x
l
0
2
< br>r
r
再作变换
x
l
r
f
(
r
)
，得
f
(
r
)
0
2
1<
/p>
2
e
2
1
2
< br>f
(
r
)
f
(
r
)
k
2
r
r
2
这是一个贝塞尔方程
，它的解是
f
(
r
)
AJ
p
(
kr
)
BN
p
(
k
r
)
1<
/p>
2
p
l
2
2
< br>其中
2
2
注意到
N
p
(
kr
)
在
r
0
时发散，因而
当
r
0
时波
函数
R
l
N
p
r
，不符合波函数的标准条件。所以必须有
B
0
故
R
l
A
1
J
p
(
kr
)
r
现在考虑波函数
R
l
在
r
处的渐近行为
，以便和
j
l
在
r
时的渐近行为比较，而求
1
/
91
/
9
得相角位移
l
，由于：
1
< br>p
1
l
R
(
r
)
sin(
kr
)
sin(
kr
l
)
r
2
4
r
2
2
1
2
d
1
< br>
l
p
l
l
2
l
< br>
2
4
2
2
2
2
当
< br>
l
很小时，即
较小时，把上式展开，略去高次项得到
2
l
2
l
1
2<
/p>
2
i
l
e
1
2
i
l
又因
1
f
(
)
(
2
l
1
)(
e
2
i
l
1
)
P
l
(cos
)
2
ik
l
0
故
2
2
1
P
l
(cos
)
(
2
l
1
< br>)
i
2
ik
l
0
2
l<
/p>
1
k
2
P
(cos
)
l
l
< br>0
1
r
l
2
P
l
(cos
)
当
r
1
r
2
r
1
l
0
r
1
1
1
<
/p>
2
l
2
r
12
r
1
r
2
2
r
1
< br>r
2
cos
< br>
1
r
1
r
r
P
l
(cos
)
当
r
1
r
2
2
l
0
2
注意到
如果取单位半径的球面上的两点来看
则
r
1
r
2
1
，即有
1
1
P
l
(cos
)
2
(
1
cos
)
l
0
2
sin
2
r
1
r
r
12
f
(
)
故
2
1
2
k
2
sin
0
r
2
微分散射截面为
2
/
92
/
9
f
(
<
/p>
)
d
2
2
2
k
2
4
1
4
sin
2
2
d
2
2
8
2
E
csc
2
2
d
由此可见，粒子能量
E
< br>愈小，则
较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常
数
愈大，
微分散射截面也愈大。
U
,
U
(
r
)
0
< br>
0
,
2
．慢速粒子受到势能为
当
r
a
当
r
a
的场的散射，若<
/p>
E
U
0
,
U
0
0
，求散射截面。
[
解
]
慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑
S
< br>分波。
在
r
< br>
a
处，方程为
l(
l
<
/p>
1
)
x
l
k
2
x
l
0
2
r
其中
k
2
2
E
2
在
r
a
处，则有
l(
l
1
)
< br>
x
l
k
2
x
l
0
2
r
其中
<
/p>
k
2
2
(
U
0
E
)
2
R
l
x
l
r
而波函数是
在
a
的情况下，只故虑
< br>S
分波，即
l
0
的情况，上面两个方程变为
r
a
k
2
x
0
0
x
0
r
a
其解分别为
k
2
x
0
0
< br>x
0
当
r
a
时，
x
0
B
sin(
kr
0
)
当
r
a
时，
x
0
Ashk
r
A
c
hk
r
R
0
由于在
r
0
时，
x
0
r
有限，但
cos
k
r
当
1
r
0
故
A
0
即
x
0
Ash
k
r
(
r
a
)
3
/
93
/
9
在
r
a
处，波函数
R
0
及其微商必须连续，因此得出
Ash
k
a
B
sin(
ka
0
)
A
A
B
B
k
ch
k
a
2
sh
k
a
k
cot(
ka
0
)
2
sin(
ka
0
)
a
a
a
< br>a
用前式除后式可得
k
coth
k
a
k
cot(
ka
0
)
即
tg
k<
/p>
a
k
tg
(
ka
0
)
k
0
tg
< br>1
k
tg
k
a
ka
k
因此
S
分波的辐
射截面是
Q
0
4
4
2
2
1
k
sin
sin
tg
tg
k
a
ka
0
k
2
k
2
k
2
U
0
2
当速度较小
时，
k
0
，
可以近似地认为
k
k
0
这时有
tghka
tghk
0
a
0
k
tghk
0
a
ka
k
0
2
< br>
tg
k
0
a
4
Q
0
2<
/p>
0
2
4
a
2
k
a
1
k
0
假如
U
0
<
/p>
，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于
tg
k
0
a
(
tg
< br>k
0
a
)
2
tg
k
0
a
<
/p>
1
1
2
1
当
k
0
k
a
k<
/p>
2
a
2
k
0
a
0
0
2
Q
0
4
a
2
3<
/p>
．只考虑
S
分波，求慢速粒子受到势能<
/p>
U
(
r
)
r
4
的场散射时的散射截面。
[
解
]
<
/p>
当只考虑
l
0
，即
S
分波时，令
R
r
，则
x
满足的方程是：
x
< br>2
x
0
2
4
r
4
/
94
/
9