求三角形面积的海伦公式
绝世美人儿
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2021年02月11日 04:45
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求三角形面积的海伦公式
若
ABC
的三边长分别为
a
< br>，
b
，
c
，则
S
ABC
(
a
b
c<
/p>
)(
a
b
c
)(
a
b
c
)(
a
b
c
)
< br>4
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
),
其中
p
是
ABC
的半周长，即
p
(
a
b
c
)
2<
/p>
。
（证明一）设边
c
上的高为
h
。由于
A
D
DB
c
，而在
ADC
和
DBC
中，根据勾股定理有
AD
2
AC
2
< br>CD
2
AD
< br>
b
2
h
2
;
DB
2
<
/p>
CB
2
CD<
/p>
2
DB
a
2
h
2
.
C
b
h
a
< br>A
c
D
B
于是有
b
2
h
2
a
2
h
2
c
,
即
a
2
h
2
c
b
2
h
2
< br>.
两边平方，化简得
2
c
b
2
h
2
b
2
c
2<
/p>
a
2
.
两边平方，化简得
h
b
2
(
b
2
c
2
a<
/p>
2
)
2
4
c
2
S
1
1
(
b
2
c
2
ABC
2
c
h
2
c
b
< br>2
a
2
)
2
4
c
2
.
仔细化简一下，得