第8讲 正弦定理余弦定理面积公式学生
-
第七讲
平面向量的应用
[
玩前必备
]
1
．
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
2
．
解三角形
一般地
，把三角形的三个角
A
，
B
，
C
和它们的对边
a
，
b
，
c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫做解三角
形
．
3.
余弦定理
a
2
＝
b
2
＋
c
2
－
2
bc
cos
A
，
余弦定理
公式表达
b
2
＝
a
2
＋<
/p>
c
2
－
2
ac
cos_
B
，<
/p>
c
2
＝
a
2
＋
b
2
－
2
ab
cos_
C
三角形中任何
一边的平方等于其他两边的平
语言叙述
方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积
的两倍
余弦定理
推论
b
2<
/p>
＋
c
2
－
a
2
cos
A
＝
，
2
bc
a
2
＋
c
2
－
b
2
cos
B
＝
，
2
ac
a
2
＋
b
2
－
c
2
cos
C
＝
2
ab
4.
三角形常用面积公式
1
(1)
S
＝
a
·
h
a
(
h
a
表示边
a
上的高
)
；
2
1
1
1
(2)
S
＝
ab
sin
C
＝
ac
sin
B
＝
bc
sin
A
；
2
2
2
[
玩转典例<
/p>
]
题型一
正弦定理
【例
1
】
（
1
）
（
2020
·
陕西高二期中）
在△
ABC
中，
B
＝
135
°，
C
＝
15
°，
a
＝
5
，
则此三角形的最大边长为
。
（
2
）在
△
ABC
中，
若
a
【玩转跟踪】
a
b
c
＝
＝
.
sin
A
sin
B
sin
C
2
，
b
2<
/p>
，
A
30
，则
B
______.
1
．
（
2020
·甘肃高二期中）在△
ABC
中，
a
4,
A
30
，
B
60
，则
b
等于
(
)
A.
4
3
B.
6
C.
3
D.9
2
．在
△
ABC
中，若
a
< br>
6
3
，
b
6
，
A
60
，则
B
______.
题型二
余弦定理
【例
2
】
（
1
）
（
2020
·
上海曹杨二中高三月考）
在△
ABC
的
内角
A
、
B
、
若
a
2
，
C
的对边分别为
a
、
b
、
c<
/p>
，
c
2
3
，
C
2
，则
b
的值为
。
<
/p>
3
C
5
，
BC
1
，
AC
5
，则
AB
2
5
（
2
）
（
2020
·上海市复兴高级中学高一期末）在
△
ABC
，若
cos
__________________
．
【玩转跟踪】
1
．
（
2020
·
河南高二月考）
在
AB
C
中，
角
A
，
B
，
C
的对边
分别是
a
，
若
b
3
，
c<
/p>
2
，
cos<
/p>
A
b
，
c
，
则
a
_______.
2
．在
ABC
中，
a
2
3,
b
6,
A
30
，则边长
c
__________.
3
．在
△
ABC
中，
A
120
，
a
7
，
c
5
，则
b
____
__.
题型三
外接圆的半径
【例
< br>3
】
（
2020
·
甘肃高二期中）
已知△
AB
C
的两边长分别为
2,3
，
这两边的夹角的余弦值为
的外接圆的直径为（
）
A.
1<
/p>
，
3
1
，
则△
ABC
3
9
2
2
B.
9
2
4
C.
9
2
6
D.
8
2
【玩转跟踪】
1
．
（
2020
·江西高
二月考）已知等腰三角形的底边长为
6
，一腰长为
12
，则它的外接圆半径为
(
)
A.
7
15
5
B.
4
3<
/p>
C.
8
15
5
D.
6
3<
/p>
2
．
（
2020
·
扬州市邗江区蒋王中学高一月考）
在
ABC
中
，
若
A
60
，
a
的值为
_______
题型四
正余弦定理运用
--
边角互换
则
3
，
a
2
b
3
< br>c
sin
A
< br>2sin
B
3sin
C
【例
4
】<
/p>
(1)
（
2020
·安徽高二月考）设
a
，
b
，
c
分别为
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边
.
已知
a
sin<
/p>
A
2
b
cos
A
cos
C<
/p>
2
c
cos<
/p>
A
cos
B
，则
tan
A
（
）
A.
2
B.1
C.
1
D.2
2
(2)
．
（
2020
·山东省烟台第一中
学高三月考）在
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
.
已知
则
A
3
b
sin
A
a
cos
B
2
b
c
，
A.
6
B.
4
C.
<
/p>
3
D.
2
3
【玩转跟踪】
1
．
（
202
0
·河南高二月考）在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
b
c
sin
B
sin
C
a
sin
A
A.
6
3
sin
C
，则
B
（
）
C.
B.
3
2
3
D.
5
6
2
．
（
2020
·
黑龙江双鸭
山一中高一期末）
在
ABC
中，
已知
sin
2
A
sin
2
B
sin
A
sin
B
sin
2
C
，
且满足
ab
4
，<
/p>
则
ABC
的面
积为（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
2
D
．
3
3
．
（
2020<
/p>
·上海市奉贤中学高三开学考试）在
A
BC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
b
cos
< br>A
a
cos
< br>B
2
c
cos
C
，则
C
______.
题型五
三角面积
【例
5
】
（
1
）
（
2020
·贵州凯里一中高一月考）
在
ABC
中，内角
< br>A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
< br>a
2
b
2
c
2
ab
3
，则
ABC
的面积为
( )
A.
3
4
B.
3
2
C.
3
2
D.
3
<
/p>
4
（
2
）
．
（
2020
·
辽宁高考模拟
（理）
）
在
ABC
中，
< br>cos
A
1
< br>，
AB
2
，
BC
3
，
则
ABC
的面积为
（
）
3
D
．
3
2
A
．
1
【玩转跟踪】
B
．
2
x<
/p>
1
C
．
x
2