安徽省皖南八校2020届高三第一次联考理科数学试卷(含答案)
-
“皖南八校”<
/p>
2020
届高三第一次联考
数学（理科）
考生注意：
1.
< br>本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
.
满分
150
分，考试时间
120
分钟
.
2.
本
卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数、三角函与解三角形、平面向量、复数
.
第Ⅰ卷（选择题
共
60
分）
一、选择题：本大题共
12
小题，每小
题
5
分，共
60
分
.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的
.
1.
在
复平面内，复数
z
A.
第一象限
2
i
的共轭复数的对应点位于（
）
1
i
B
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
2.
若集合
A
x
|
x
2
5
x
6
<
/p>
0
，
B
x
|
2
x
1
，则
C
R
A
< br>I
B
（
）
A.
x
|
1
x
0
B.
x
|
0
x
6
< br>
C.
x
< br>|
2
x
0
D.
x
|
0
x
3
3.
若
a
log
3
0.3
，
b
log
0.3
0.2
，
c
0.2
0.3
，则（
）
A.
a
b
c
B.
b
c
a
C.
a
c
b
D.
b
a
c
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
< br>u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
4.
已知向量
AB
1,
2
，
BC
x
,5
，若
A
B
BC
7
，则
AC
（
）
A.
5
5.
函数
y
B.
4
2
C.
6
D.
5
2
x
sin
x
的部分
图象大致为（
）
1
x
2
A.
B.
C.
D.
6.
为了测量铁塔
OT
的高度，
小刘同学在地面
A
处测得铁塔在东偏北
19
7'
方向上，
塔顶丁处的仰角为
30
< br>，
小刘从
A
处向正东方向走
140
米到地面
B
处，
测得铁塔在东偏北
79
7'
方向上
.
塔顶
T
处的仰角为
60
，
则铁
塔
OT
的高度为（
）
A.
20
7
米
B.
25
7
米
C.
20
21
米
D.
25
21
米
7.
在平面直角坐标
xOy
系中，角
的顶点为
O
，始边与
x
轴正半轴重合，终边过点<
/p>
2,
14<
/p>
，则
5
sin
4
A.
（
）
B.
1
7
7
1
1
7
C.
D.
4
4
4
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
8.
已知非零向量<
/p>
a
，
b
满足
a
2
b
7
a
，
a
a
< br>2
b
，则向量
a
，
b
的夹角为（
）
1
7
4
A.
6
B.
4
C.
3
2
D.
2
9.
关于复数
z
x
yi
x
,
y
R
，下列命题①若
z
i
1
，
则
x
2
<
/p>
y
1
1
：②
z
为实数的充要条件是
y
0
；③若
zi
是纯虚数，则
x
0
；④若
A. 1
B. 2
x
2
1
1
i
，则
x<
/p>
y
1
，其中真命题的个数为（
）
z
C. 3
D. 4
10.
若曲线
f
x
ax
1
e
A.
0
,
在
点
2,
f
2
处的切线过点
3,3
，
则函数
f
x
的单调递增区间为
（
）
C.
2,
D.
,2
B.
,0
11.
已知函数
f
x
< br>sin
x
cos
x
，则下列说法正确的是（
）
A.
函
数
f
x
<
/p>
的图象关于直线
x
kx
k
Z
对称
B.
函数
f
x
在
<
/p>
,2
上单调递增
C.
函数
f
x
的图象关于点
k
< br>
,0
k
Z
<
/p>
对称
2
D.
函
数
f
x
<
/p>
的值域为
2
,
2
<
/p>
ax
x
2
,
x
0
12.
已知函数
f
x
ax
x
，
g
x
，若方程
g
f
x
< br>0
有四个不等的实数根，则实
a
2
x
,<
/p>
x
0
2
数
a
的取值范围是（
）
A.
4,0
B.
0,4
C.
,
4
U<
/p>
0,
<
/p>
D.
,0
U
<
/p>
4,
<
/p>
第Ⅱ卷（非选择题共
90
分）
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
13.
若
1
1
a
x
2
dx
4
，则
a
< br>______.
3
14.
已知
sin
1
，
sin
tan
7
______.
，则
< br>tan
25
15.
已知四边形
ABCD
是平行四边形，点
E
在
CB
的延长线上，
BC
3
，<
/p>
AE
AB
<
/p>
1
，
C
30
.
若
u
u
u
r
u
u
u
< br>r
u
u
u
r
AE
xAB
y
AD
，则
x
3
y
______.
16.
已知函数
f
x
sin
2
x
2cos
x
，则
f
x
的最大值为
______.
三、解答题：
本大题共
6
小题
.
共
70
分
.
解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤
.
17.
已知
p
：函数
f
x
<
/p>
x
2
a
4
x
6
在
1,
上是增函数，
q
：
x
R
，
x
2
ax
2
a
3
0
，
2
若
p
<
/p>
q
是真命题
，求实数
a
的取值范围
.
18.
已知
a
cos
x
x
,
sin
，
b
2,1
2
2
r
r
（
1
）若
a
/
/
b
，求
sin
x
cos
x
3sin<
/p>
x
的值；
<
/p>
（
2
）
若
f
x
a
b
2sin
2
x
，
< br>将函数
f
x
< br>
的图象向右平移
个单位长度后，
得到函数
g
x
的图象，
2
2
< br>求函数
g
x
< br>
的表达式及
g
x
的最小正周期
.
19.
在
△
ABC
中
，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
< br>，
b
，
c
，且
2
a
b
sin
A
C
<
/p>
B
cos
c<
/p>
sin
C
a<
/p>
sin
A
.
2
2
13
，求
△
ABC
的面积
.
14
（
1
）求角
< br>C
的大小；
（
2
）若
c
< br>7
，
cos
< br>A
C
20.
已知函数
f
x
cos
x
3
si
n
x
co
s
x
<
/p>
0
，
A
，
B
分别是曲线<
/p>
y
f
x
上的一个最高点
和一个最低点，且
AB
的最小值为<
/p>
2
4
4
.
（
1
）求函数
f
x
的单调递增区间和曲线
y
< br>
f
x
的对称中心的坐标；
（
2
）若不等式
f
x
m
1
对
x
21.
已知函数
f
x
ax
6
x
1
，<
/p>
a
R
.
3
2
,
恒成立，求实数
m
的取值范围
.
12
2
（
1
）当
a
2
，
x<
/p>
3,3<
/p>
时，求函数
f
x
的最大值；
（
2
）若函数
< br>f
x
存在唯一零点
x
0
，且
x
0
0
< br>，求实数
a
的取值范围
.
1
x
2
a
ln
x
1
22.
已知函数
f
x<
/p>
，
g
x
e
1
x
.
a
x
< br>（
1
）函数
f
< br>
x
是否有极值？若有，求出
极值
;
若没有，说明理由
.
（
2
）若对任意
x
1
，
f
x
g
x
< br>，求实数
a
的取值范围
.
“皖南八校”
2020
届高三第一次联考·数学（理科）
参考答案、解析
一、选择题
1
-
5
：
DBCAB
< br>
1. D
z
6
-
10
：
CDCCA
11
-
12
：
AD
2
i
1
i
< br>
1
i
，
z
1
i
.
2
2. B
C
R
A
x
|
x
2
5
x
6
0
x
|
1
< br>
x
6
，
B
x
|
x
0
，
C
R
A
I
B
< br>x
|
0
x
6
.
3. C
b
log
0.3
< br>0.2
log
0.3
0.3
1
，
0
c
0.2
0
1
，
a
0
< br>，∴
a
c
b
.
u
u
u<
/p>
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
4. A
AB
< br>
BC
x
10
7
，
x
3
，∵
AC
AB
BC
4,3
，∴
AC
5
.
6.
C
塔底为
O
，则在
Rt
△
TAO
中，
OA
3
OT
，在
Rt
△
TBO
中，
OT
3
OB
，∴
OA
3
OB
.
在
1
△
AOB
，
AOB
60
，
AB
140
，∴
140<
/p>
2
9
OB
2
OB
2
2
3
OB
2
7
OB
2
，∴
OB
20
7
，
2
∴
OT
20
21
.
7. D
sin
14
2
5
，
cos
，
sin
4
4
< br>4
2
14
2
1
7
<
/p>
sin<
/p>
.
4
2
4
4
4
<
/p>
r
r
r
r
2
r
r
r
r
8. C
a
a
2
b
a
2
a
b
0
a
b
<
/p>
r
2
a
2
，
r
r
r
r
r
r
2
r
r
r
2
r
2
r
r
r
r
r<
/p>
r
a
b
1
a
2
b
7
a
a
4
a
b
4
b
7<
/p>
a
，∴
a
b
，
cos
a
,
b
r
r
，∴
a
,
b
.
3
a
b
2
9. C
①②③是真命题
.
10. A
f
2
2
a
1
，<
/p>
f
'
x
ax
1
a
e
x
< br>2
，
f
'
2
3
a
1
，
切线方程为
y
2
a
1
3
a
1
x
2
，
4
2
a
3
a
1
，
a
1<
/p>
，
∴
f
'
x
xe
x
2
，∴
f
'
x
0
，
x
0
，∴
f
x
的单调增区间为
< br>0,
.
< br>
11. A
x
2
k
,2
k
< br>
k
Z
时
，
sin
x
0
，
f
x<
/p>
sin
x<
/p>
cos
x
<
/p>
2
sin
x
，
4
x
2
k
,2
k
k
Z
时，
sin
x<
/p>
0
，
f
x
sin
x
cos
x
2
cos
x
.
4
12.
D
当
a
0
时，由
g
t
0
得
t
0
或
t
a
，
g
f
< br>x
0
化为
f
x
0
或
f<
/p>
x
a
，
f
x
0
有