五年级 长方体正方体经典例题(精选版!)
-
五（下）数学第三单元——长方体和正方体
【知识点梳理】
一、
长方体和正方体
1.
我们周围许多物体的形状都是长方体或正方体（正方体也叫立方体）。
※举例：长方体：砖块、箱子……
/
正方体：
魔方、骰子……
2.
（
1
）
长方体是由
6
个长方形
（特殊情况有两个相对的面是正方形）
围成的立体图形。
在一个长方体中，
相对的
< br>2
个面完全相同，相对的
4
条棱
长度相等。长方体有
12
条棱，
8
个顶点。
（
2<
/p>
）相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。
3.
正方体是由
6
个完全相同的正方形围成的立体图形。正方体有
6
个面，
12
条棱，
8
个顶点
，
6
个面都是
正方形，面积都相等，<
/p>
12
条棱长度都相等。
4.
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。我们可以
用上图来表示长方体和正方体的关系。
当长方体有两个相对的
面是正方形时，其他的
4
个面是相等的长方形。
（在长方体中最多可以有
4
个相
同的面）
5
）正方体的
6
个面都是相等的正方形，
12
< br>条棱的长度都相等。
6
）正方体是特殊的长方体。
二、
表面积
1.
长方体或正方体
6
个面的总面积，叫做它的表面积。
※举例：表面积即为长、正方体展开图总面积。
2.
日常生活和生产中，经常需要计算一些长方体或正方体的表面积。
※举例：粉刷房间、贴瓷砖、包装礼盒、油漆水管、制作玻璃鱼缸（
求面的大小）……
3.
求长方体、正方体表面积的公式：
S
长方体
=
（
长×宽
+
长×高
+
宽×高）×
2 =2
（
a
·
b+a
·
h+b
·
h
）
2
S
正方体
=
棱长×棱长×
6 =6a
4.
注意：求几个面。
当计算长方体的表面积时，
有时候需要计算的不需要是
6
个面，因此需要仔细理解题
意，求出需要的面的面积和。
求
5
个面的面积是：无盖的盒子、箱子等；游泳池的四壁和底面、一个抽屉、
一个火柴盒的内盒、一
本影集的封套；
求
4
个面的面积是：一根方柱的涂漆表面、一个盒子四周的商
标纸、一个烟囱或通风管或排水管、一
个火柴盒的外盒；
三、
体积
1.
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体和正方体的表面积是指
6
个面的总面积；体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体
积（比如说，一个洗
发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积）
；一个物体的容积一般都比
它的体积小。
※举例：手指尖约占了
1
立方厘米的空间，即它的体积约为
1
立方厘米。
3
3
3
2.
计量体积用
体积单位
，常用的体积单位有：立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成
cm
、
dm
、
m
。
3
※举例：一个
粉笔盒的体积约为
1 dm
。
3.
求长方体、正方体体积的公式：
3
V
长方体
=
长×宽×高
V
正方体
=
棱长
3
=a b h
=a
=
底面积×高
=
底面积×高
3
4.
在工程上，“
1m
”的土、沙
、石等均简称“
1
方”。
※举例：建一游泳池，约要挖土
6000
方。
3
3
3
3
3
3
3
3 <
/p>
5.
体积单位间的进率：
1dm
=1000 cm
1m
=1000
dm
※举例：
1.36
dm
=1360 cm
4.573m
=4573 dm
1
四、
容积
1.
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的
容积。
※举例：一个汽车油箱约能容纳
40L
油，即它的容积为
40L
。<
/p>
2.
计量容积，一般就用体积单位。计
量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成
L
和
ml
。
※举例：一个烧杯约能装水
500ml
。
3
3
3.
容积单位间及容积单位和体积单位间的进率：
1L=1000ml
1L=1dm
1ml=1cm
3
3
※举例：
520ml=0.52L 5.67L=5.67
dm
=5670cm
4.
形状不规则的
物体可以用排水法求得它们的体积。
※举例：一个烧杯中原有
水
200
毫升，放入西红柿后水位上升至
350
毫升处，则西红柿的体积就是水
3
面上升的那部分水的体积：
350-200=150
（
ml
）
=150
（
cm
五、
补充的知识点
1
）
如果将
长方体沿平行一个面的方向切下去，那么得到的
2
个长方体的表
面积的和比原来一个大长方
体的表面积多了，多出了切口的
2<
/p>
个面，而且分
3
种情况：一种是多了
2
个上面或下面；一种是多
了
2
个左面或右面；一种是多了
2
个前面或后面。
（需要考虑表面积增加的最多和最少的情况）
2
）
反
过来如果将
2
个相同的长方体粘合在一起，那么也分成
3
种不同的情况，即粘合的是上下面、左
右面、
前后面。
3
）
如果将
一个长方体沿高削去一块就得到一个正方体，那么正方体的表面积比原先的长方体的表面积
少了一周
4
个面的面积；并且可以知道原先的长方体就是一个
特殊的长方体，肯定有
2
个相对的面
是
正方形。
4
）
一个正
方体的棱长扩大几倍，那么表面积就扩大这个数的平方倍，体积就扩大这个数的立方倍。
5
）
等积变
形
就是指物体的形状发生的变化而体积是相等的，一般有两种情况：一种是锻造，例如把
一
个长方体锻造成一个正方体，那么长方体的体积就等于正方体的体积；一种是排水，例
如将一个小
石块投入水中，石块的体积就等于上升部分水的体积；
6
）
将
一个正方体分成若干相等的小正方体，在不同位置去掉一块，表面积也有不同的变化：在顶点处
< br>去掉一块，那么表面积不变，在棱上除顶点处去掉一块，那么表面积就多出
2
个小正方形的面，在
一个面上，除掉棱上的一周，中间部分去掉一块
，那么表面积多出
4
个小正方形的面。
【归纳总结】
表一：长方体和正方体的特征
形体
长方体
正方体
相同点
面
棱
顶点
不同点
面的形状
面的面积
棱长
联系
表二：长方体和正方体的计算
类别
表面积
长方体
正方体
长方体
正方体
长方体
正方体
定义
2
常用计量单位
计算方法
体积
容积
【例题精讲】
考点一
长方体与正方体的表面积
【例
1
】
右图中共有多少个面？多少条棱？
后
面
上面
左面
前面
下面
右面
【解析】
如
右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有
1<
/p>
个面，
左面看有
1
个面，右面看有
2
个面，上面看有
2
个面，下面看有
1
个面．所以共有
1
1
1
2
2
1
< br>8
(
个
)
面．
前后方向的棱有
6
条，
左右方向的棱有
6
条
，
上下方向的棱也有
6
条，
所以共有棱
6
6
6
18
(
条
)
．
【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？
【解析】
9
个面，
21
条棱．
【例
2
】
如右图，
在一个棱长为
10
的立方体上截
取一
个长为
8
，
宽为
3
，
高为
2
的小长方体，
那么新的几何体的表面积
是多少？
【解析】
我
们从三个方向
(
前后、左右、上下
< br>)
考虑，新几何体的表面积仍为原
立方体的表面积：
10
10
6
600
．
【巩固】在一个棱长为
50
厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为
5
厘米的小正方体，问
剩下的立体图形的表面积是多少？<
/p>
【解析】
对
于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后
3
个方向考虑．变化前后的表面
积不变：
50
50
6
15000
(
平方厘米
)
．
【例
3
】
如右图，有一个边长是
5
的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是
5
，
3
，
2<
/p>
的长方体，那么它的表面积减少了多少
?
【解析】
原
来正方体的表面积为
5
5
6
150
．
现在立体图形的表面积减少了前后两个
面中的部
分面，它们的面积为
(
3
2
)
2
12
，所以减少的面积就是
12
．
【例
4
】
右图是一个边长为
4
厘米的正方体，分
别在前后、左右、上下各面的中心
位置挖去一个边长
l
厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平
方厘米
?
（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
【解析】
原
正方体的表面积是
4
4
6
96
(
平方厘米
)
．
每一个面被挖去一个边长是
1
厘米的正方形，同时又
增加了
5
个边长是
1
< br>厘米的正方体作为玩具的表
面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了
4
个边长是
1
厘米的
正方
形．从而，它的表面积是：
96
4
6
120
平方厘米．
【例
5
】
用
6<
/p>
块右图所示
(
单位：
cm
)
的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其
中表面积最小
3