三角形内切圆几个公式的应用
巡山小妖精
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2021年02月11日 19:26
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三角形内切圆几个公式的应用
公式
1 .
△
ABC
，∠
C
＝
90
°，
BC
＝
a
，
AC
＝
b
，
AB
＝
c
，内切圆半径
为
< br>r
，则
r
＝
1
(a+b-c)
。
2
B
证明
:
如图
1
，⊙
O
内切于
△
A
BC
，
D
、
E
、
F
为切点，
由切线长定理知：
AF=AE
，
CE=CD
，
BF=BD
。
∴
a+b-c=
（
BD+DC
）
+
（
AE+EC
）
-
（
AF+BF
）
=
2CE
=2r
。∴
r
＝
(a+b-c)
。
点评
：
此公式只适用于直角三角形。
公式
2
.
若
O
为
△
ABC
的内心，则∠
AOB=90
°
+
证明
:
如图
2
，∴⊙
O
为
△
ABC
的内切圆，
∴∠
1=
1
1
∠
CAB
，∠
2=
∠
ABC
，
2
2
1
A
A
F
D
O
E
C
1
2
图
1
<
/p>
1
∠
ACB
。<
/p>
2
C
O
2
B
∴∠
AOB=180
°
-
（∠
1+
∠
2
）
=180
°
1
1
（∠
CAB+
∠
ABC
）
=180
°<
/p>
-
（
180
°
-
2
2
1
∠
ACB
）
=90
°
+
∠
ACB
。
2
-
图
2
公式
3
.
如图
3
，在△
ABC
中，内切圆
O
和
BC
、
AC
、
AB
分别相切
于点
E
、
F
、
D
，则∠
FDE=90
°
-<
/p>
∠
ACB
。
证明
:
连结
O
E
、
OF
，则
OF
⊥
AC
，
OE
⊥
BC
，
四边形
CFOE
内角和为
360
°，∴∠
FOE+
∠
C
1
=180
°，又因为∠
FDE=
∠
FOE<
/p>
，∴∠
FDE=
2
1
90
°
-
∠
ACB
。
2
A
D
F
O
1
2
C
E
B
图
3
点评
：由
在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等可知，即使
D
点
不为切点，只要∠
FDE
所对的弧为
EF
，都有∠
FDE=90
°
-
1
∠
2