初中数学三角形内切圆几个公式的应用
-
三角形内切圆几个公式的应用
公式
1
.
△
ABC
，∠
C
＝
90
°，
BC
＝
a
，
A
C
＝
b
，
AB
＝
c
，内切圆半径为
< br>r
，则
r
＝
证明
:
如图
1
，⊙
O
内切于
< br>
△
ABC
，
< br>D
、
E
、
F
为切点，
由切线长定理知：
AF=AE
，
CE=CD
< br>，
BF=BD
。
∴
a+b-c=
（
BD+D
C
）
+
（
AE
+EC
）
-
（
AF+BF
）
=2CE
=2r
。∴
r
＝
F
D
O
A
E
C
1
(a+b-c)
。
2
B
1
(a
+b-c)
。
2
1
∠
ACB
。
2
点评
：
此公式只适用于直角三角形。
公式
2
.
若
O
为
△
ABC
的内心，则∠
AOB=90
°
+
证明
:
如图
2
，∴⊙
O
为
△
ABC
的内切圆，
∴∠
1=
图
1
C <
/p>
1
1
∠
CAB<
/p>
，∠
2=
∠
ABC
，
2
2
O
1
A
2
B
∴∠
AOB=180
°
-
（∠
1+
∠
2
）
=180
°
1
1
（∠
CAB+
∠
ABC
）
=180
°
-
（
180
°
-
2
2
1
∠
ACB
）
=90
°
+
∠
ACB
。
2
-
图
2
C
E
O
B
A
D
公式
3
.
如图
3
，
在△
ABC
中，
内切圆
O
< br>和
BC
、
AC
< br>、
AB
分别相切于点
E
、
F
、
D
，
则∠
FDE=90
°
1
-
∠
ACB
。
2
证明
:
连结
OE
、
OF
，
则
OF
⊥
AC
，
OE
⊥
BC
，
四边形
CFOE
< br>内角和为
360
°，∴∠
FOE
+
∠
C
=180
°，又因为∠
FDE=
90
°
-
F
1
∠
FOE
，
∴∠
FDE=
2
1
< br>∠
ACB
。
2
1
∠
ACB
。
2
图
3
点评
：由在同一个圆中，同弧所对
的圆周角相等可知，即使
D
点不为切点，只要∠
FDE
所
对的弧为
EF
，都有∠
FDE=90
°
-
公式
4
.
△
ABC
的三边长分别为
a
、
b
、
c
，
其面积为
S
，<
/p>
，
内切圆半径为
r
，
则
r =
证明
:
如图
4
，⊙
I
内切于
△
ABC
，连结
IA
，
IB
，
IC
，
2
s
。
a
b
c
1
1
1
AB
·
r+
AC
·
r+
CB
·
r
2
2
2
1
1
1<
/p>
1
=
cr+
ar+
br=
（
a+
b+c
）
r
2
< br>2
2
2
S=S
△
AIB
+S
△
AIC
+S
△
BIC
=
A
I
B
C
图
4