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2021年2月11日发(作者：公主动画片)

圆

目

录

圆的定义及相关概念

垂经定理及其推论

圆周角与圆心角

圆心角、弧、弦、弦心距关系定理

圆内接四边形

会用切线

,

能证切线

切线长定理

三角形的内切圆

了解弦切角与圆幂定理（选学）

圆与圆的位置关系

圆的有关计算

一．圆的定义及相关概念

【考点速览】

考点

1

：

< /p>

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它

的对称轴。圆心是它的对称中心。

考点

2

：

确定圆的条件；圆心和半径

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

考点

3

：

< /p>

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的

弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）

弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法

：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到

1

直角三角形。如下图：

考点

4

：

三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在

，直角三角形的外心在

,

钝角三角形的外心在

。

考点

5

点和圆的位置关系

设圆的半径 为

r

，点到圆心的距离为

d

< p>
，

则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外



d

＞

r

；②点在圆上



d=r

；③点在圆内



d

＜

r

；

【典型例题】

例

1

在⊿

ABC

中，

∠

ACB

=90

< br>°

,

AC

=2,

BC

=4

，

CM

是

AB

边上的中线，

以点< /p>

C

为圆心，

以

5

为半径作圆，试确定

A,B,M

三点分 别与⊙

C

有怎样的位置关系，并说明你的理由。

A

M

B

C

例

2

．已知 ，如图，

CD

是直径，



EOD



84



< p>
，

AE

交⊙

O

< p>
于

B

，且

AB=OC

，求∠

A

的度数。

E

B

D

O

C

A

2

例

3

⊙

O

平面内一点

P

和⊙

O

上一点的距离最小为

3cm

，< /p>

最大为

8cm

，

则这圆的半径是

_________cm

。

例

4

在半径为

5cm

的圆中，弦

AB

∥

CD

，

AB=6cm

，

CD=8cm

，则

AB

< p>
和

CD

的距离是多

少？< /p>

例

5

如图

,

⊙

O

的直径

AB

和弦

CD

相交于点

E

，已知

AE=6cm

，

EB=2cm,



CEA

< br>

30



，

求

CD

的长．

C

例

6.

已知 ：⊙

O

的半径

0A=1

，弦

AB

、

AC

的长分别为

2

,

3

，求



BAC

的度数．

A

·

O

E

B

D

二．垂径定理及其推论

【考点速览】

考点

1

垂径定理：垂直于弦的直径平 分这条弦，并且平分弦所对的两条孤．

推论

1

：

< /p>

①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤．

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．

③平分弦所对的一条孤的直径

,

垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条孤．

推论

2

．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论

1

中的三条可概括为：

①

经过圆心；②垂直于弦；③平分弦

(

不是直径

)

；④平分弦所

对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意

两点，都可以推得其它两点

3

【典型例题】

例

1

如图

AB

、

CD

是⊙

O

的弦，

M

、

N

分别是

AB

、

CD

的中点，且



AMN





CNM

．

求证：

AB=CD

．

A

M

B

·

O

C

N

D

例

2

已知，

不过圆心的直线

l

交⊙

O

于

C

、

D

两点，

AB

是⊙

O

的直径，

AE

⊥

< p>
l

于

E

，

BF

⊥

l

于

< br>F

。求证：

CE=DF

．

B

B

O

< p>
A

E

C

H

D

F

•

O

E

C

A

•

A

O

•

B

l< /p>

H

F

D

l

E

C

H

D

F

l

问题一图

1

问题一图

2

问题一图

3

【考点速练】

1.

< br>已知⊙

O

的半径为

2cm

，弦

AB

长

2

3

cm

，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点 的距离

为（

）

.

A

．

1cm B.2cm C.

2

cm

D.

3

cm

cm

3

．

如图

1

，

⊙

O

的半径为

6cm

，

AB

、

< br>CD

为两弦，

且

AB

< p>
⊥

CD

，

垂足为点

E

，

若

CE=3cm

，

DE=7cm

，

则

AB

的长为（

）

A

．

10cm B.8cm C.

4

2

cm

D.

8

2

cm

4.

有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直 径；③直径平分弦与弦所

对的孤；④圆的对称轴有无数条

.

其中正确的判断有（

）

A

．

0

个

B.1

个

C.2

个

D.3

个

5

．

如图

2

，

同 心圆中，

大圆的弦交

AB

于

< p>
C

、

D

若

AB=4

，

CD=2

，

圆心

O

到

AB

的距离等于

1

，

那么 两个同心圆的半径之比为（

）

4

A

．

3:2 B.

5

:2 C.

5

:

2

D.5:4

6.

如图,⊙O

的直径为

10,

弦

AB=8,P

是弦

AB

上的一个动点

,

那么

OP

长的取值范围是

< br> .

7

.

< p>
如图

,

已知有一圆弧形拱桥

,

拱的跨度

AB=16cm,

拱高< /p>

CD=4cm,

那么拱形的半径是

_

___m.

C

O

A

P

B

D

B

8.

如图，直径为

1 000mm

的圆柱形水管有积水（阴影部分）

，水面的宽度

AB

为

800mm

，求

水的最大深度

CD

．

O

C

A

A

D

800

B

三．圆周角与圆心角

【考点速览】

考点

1

圆 心角

：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

Eg:

判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

圆周角

：顶点在圆周上，角两边和圆 相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．

Eg:

判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由

5

考点

2

定理

：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

Eg:

如下三图，请证明。

考点

3

4.

推论：

① 同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，

90



的圆周角所对的弦是直径．

③如果 三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

经典例题

例

1

：下图中是圆周角的有

.

是圆心角的有

。

①

②

③

④

⑤

⑥

6

例

2

：如图，∠

A

是⊙

O

的圆周角，且∠

A

＝

35

°

,

则∠

OBC=_____.

B

A

C

O

例

3

：如图，圆心角∠

AOB=100

°，则∠

ACB=

．

例４：如图１，

AB

是⊙

< br>O

的直径，点

C

，

D

，

E

都在⊙

O

上，若

∠

C



∠

D



< br>∠

E

，则

．

∠

A



∠

B



º

C

C

O

A

B

G

O

F

E

D

E

D

例２

（例１）

例

如

O

A

B

C

图

2

，⊙

O

的直径

CD

过弦

EF

的中点

< br>G

，



EOD

< br>

40

，则



< br>DCF



．

例

6

：已知：如图，

AD•

是⊙

O•

的直径，∠

ABC=•30•

°，则∠

CAD=_____ __

．

o

_

D

_

C

_

O

B

_

_

.

_

A

C

O

A

o

.

.

B

cm

例< /p>

7

：已知⊙

O

中 ，



C



30

，

AB



2c m

，则⊙

O

的半径为

< br>

7

四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理

【考点速览】

圆心角

,

弧

,

弦

,

弦心距之间的关系定理

:

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相 等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

推论：

在同圆或等圆中

,

如果 ①两个圆心角

,

②两条弧

,

< p>
③两条弦

,

④两条弦心距中

,

有一组量

相等

,

< br>那么它们所对应的其余各组量都分别相等

.

（务必注意前提为：在同圆或等圆中）

例

1

．如图所示，点

O

是∠

EPF

的平分线上一点，以

O

为圆心的圆和角的两边分别交于

A

、

B

和

C

、

D

，求证：

AB=CD

．

E

A

P

1

2

C

O

B

D

例

2

、已知：如图，

EF

为⊙

O

的直径，过

EF

< p>
上一点

P

作弦

AB

、

CD

，且∠

APF =

∠

CPF

。

F

求证：

PA=PC

。

8

例

3

．如图所示，在



ABC

< br>中，∠

A=

72



，⊙

O

截



ABC

的三条边长所得的三条弦等长，

求∠

< p>
BOC.

·

O

B

C

A

．

例

4< /p>

．如图，⊙

O

的弦

CB

、

ED

的延长线交于点

A

，且

BC=DE

．求 证：

AC=AE

C

B

E

O

·

D

A

例

5

．如图所示，已知在⊙

O

中，弦

AB=CB

，∠

ABC=

120



，

OD

< br>⊥

AB

于

D

，

OE

⊥

BC

于

E

．

求证：



ODE

是等边三角形．

A

D

O

·

E

C

B

五．圆内接四边形

【考点速览】

圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。

圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。

判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。

【典型例题】

例

1

（

1< /p>

）已知圆内接四边形

ABCD

中，∠

A:

∠

B:

∠

C=2:3:4

，求∠

D

< br>的度数．

9

（

2

）已知 圆内接四边形

ABCD

中，如图所示，

AB

、

BC

、

CD

、

AD

的度数之比为

1:2:3:4,

求

∠

A< /p>

、∠

B

、∠

C< /p>

、∠

D

的度数．

D

例

2

四边形

ABCD

内接于⊙

O

< p>
，

点

P

在

CD

的延长线上，

且

AP

∥

BD

．

求证：< /p>

PD



BC

< /p>

AB



AD

例

3

如图所示，



ABC

< br>是等边三角形，

D

是

BC

上任一点．求证：

DB+DC=DA

．

A

P

D

C

A

·

O

B

·

O

C

A

B

O

·

B

D

C

考点速览：

考点

1

直线与圆的位置关系

六．会用切线，能证切线

10

图形

公共点个数

d

与

r

的关系

直线与圆的位置关系

0

1

2

d

>

r

相离

d

=

r

相切

d

<

r

相交

考点

2

切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

符号语言

O

∵

OA

⊥

l

于

A

，

OA

为半径

∴

l

为⊙

O

的切线

A

l

考点

3

判断直线是圆的切线的方法：

①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。

②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）

考点

4

切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论

1

：经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点。

推论

2

：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

（请务必记住切线重要用法：

见切线就要连圆心和切点得到垂

直）

经典例题：

例

1.

如图，△

ABC

内接于⊙

O

，

AB

是

⊙< /p>

O

的直径，∠

CAD

＝

∠

ABC

，判断直线

AD

与⊙

O

< p>
的位置关系，并说明理由。

A

D

C

O

B

11

例

2.

如图

,OA=OB=13cm

，

AB=24cm

，⊙

O

的半径为

5cm

，

AB

与⊙

O

相切吗？为什么

?

例

3.< /p>

如图

,PA

、

P B

是⊙

O

的切线，切点为

A

、

B

，

< br>C

是⊙

O

上一点，若∠

P

＝

40

，

< p>

求∠

C

的度数。

< p>
。

O

A

A

P

O

C

B

B

例

4

．

如图所示，

Rt



ABC

中，



C



90



，

以

< br>AC

为直径作⊙

O

交

< p>
AB

于

D

，

E

为

BC

中点。

< p>
A

求证：

DE

是⊙

O

的切线．

中考链接

1.

如图，在以

O

为圆心的两个同心圆中，

AB

经过圆心

O

，且与小

< p>
圆相交于点

A

，与大圆相交于点

< br>B

，小圆的切线

AC

与大圆相交 于

点

D

，且

C O

平分∠

ACB.

试判断

< p>
BC

所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。

2.

如 图，在

Rt

△

ABC

< br>中，∠

C=90

。

< p>
，点

O

在

AB

< p>
上，以

O

为圆心，

OA< /p>

长为半径的圆与

AC

、

< br>AB

分别交于点

D

、

< p>
E

，

且∠

CBD=

∠

A

，

A

判断

BD

与⊙< /p>

O

的位置关系，并证明你的结论。

·

O

D

C

E

B

C

D

O

A

B

C

D

O

E

B

12

七．切线长定理

考点速览：

考点

1

切线长概念：

经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

切线长和切线的区别

切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的 长，而圆外一已知点到切点

之间的距离，可以度量．

考点

2

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相

等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角．

要注意：此定理包含两个结论，如图，

PA

、

PB

切⊙

O

于

A

、

B

两点，

①

PA=PB

②

PO

平分



APB< /p>

．

考点

3

两个结论：

圆的外切四边形对边和相等；

圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．

经典例题：

例

1

已知

PA

、

PB

、

DE

分别切⊙

O

于

A

、

B

、

C

三点，若

PO=13

㎝，

< p>


PED

的周长为

24< /p>

㎝，

求：①⊙

O

的半径；②若



APB



40



，



EOD

的度数．

A

P

·

< /p>

O

C

D

A

B

P

E

C

·

O

D

B

13

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