有关几何图形的一些特殊结论
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有关几何图形的一些特殊结论
1
．
阅读材料：
如图
（
1
）
，
△<
/p>
ABC
的周长为
L
，
内切圆
O
的半径为
r
，
连结
OA
，
OB
，
△
< br>ABC
被划分为三个小三角形，用
S
△
ABC
表示△
ABC
的面积．
∵
S
△
ABC
=S
△
OAB
+S
△
OBC
+S
△
OCA
1
1
1
AB
·
r
，
S
△<
/p>
OBC
=
BC
·
r
，
S
△<
/p>
OCA
=
AC
·
r
2
2
2
1
1<
/p>
1
∴
S
△
ABC
=
AB
·
r+
BC
·
r
+
CA
·
r
2
2
2
1
=
L
·
r
（可作为三
角形内切圆半径公式）
2
又∵<
/p>
S
△
OAB
=
<
/p>
（
1
）理解与应用：利用公式计算边长分
为
5
，
12
，
13
的三角形内切圆半径；
（
2
）类比与推理：若四边形
ABCD
存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（
2
）
•
且
面积为
S
，各边长分别为
a
< br>，
b
，
c
，
d
，试推导四边形的内切圆半径公式；
（
3
）拓展与延伸：若一个
n
边形（
n
为不小
于
3
的整数）存在内切圆，且面积为
S
，
各边长分别为
a
1
，
a
2
，
a
3
，„
a
n
，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）
．
1
< br>．
（
•
1
）
2
（
2
）
r=
2
S
a
b
c
d
(3)
r
2
S
a
1
a
2
< br>
a
n
2
．三角形的外接圆
（
1
）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角
形的外
心。三角形的外心到各顶点的距离相等．
（
< br>2
）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三
角
形的外心在斜边中点，外接圆半径
R
c
(
c
为斜
边长
)
．
2
3
．三角形的内切圆
（
1
）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分
线的交
点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．
（
2
）
若三角形的面积为
S
ABC
，
周长为
a+b+c
,
则内切圆半径为
:
r
2
S
ABC
，
当
a
,
b
a
b
c
为直角三角形的直角边，
c
为斜边时，内切圆半径
r
< br>
4
．圆内接四边形的性质
<
/p>
（
1
）圆内接四边形的对角互补；
ab
a
b
c
或
r
.
a
b
c
2
（
2
）圆内接四边形的任何一个
外角等于它的对角．
注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．
5
．两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。
< br>例
1
、已知
R
< br>t
△
ABC
中，∠
C
＝
90
0
，
AB
＝
13
，
AC
＝
5
< br>，
BC
＝
12
< br>，求外接圆半径
R
和内切圆
半径
r
值。
解：
由题意得；
R
c
13
a
b
c
5
1
2
13
2
。
；
r
2
2
2
2
二、非特殊三角
形的外接圆和内切圆半径的求法。
例
2
、已知△
ABC
中，
AB
＝
13
，
AC
＝
14
，
BC
＝
15
，求外接圆半径<
/p>
R
和内切圆半径
r
值。
解：
如图：
< br>作
BC
边上的高线
AD
；
设
BD
＝
x
，
则
CD
＝
15
－
x
。由勾股定理得：
AD<
/p>
2
＝
AB
2
－
BD
2
＝
AC
2
－
CD
2
，
即：
13
2
x
2
14
2
15
x
，得
x=
2
33
；
5
再得：
A
D
＝
56
，
5
1
、先求内切圆半径：
1
a
< br>
b
c
r
2
1
56
1
<
/p>
13
14<
/p>
15
r
得：
15
2
5
2
根据
s
ABC
得：
r
＝
4
；
2
、作△
ABC
的外接圆⊙
O
< br>，连接
AO
并延长交⊙
O
于
E
，
连接
CE
。则△
ABD
∽△
AEC
，
5
6
AB
AD
65
13
则
，即
5
<
/p>
，得
R
＝
。
AE
AC
8
2
R
14
例
3
、已知
△
ABC
中，
AB
＝
13
，
AC
＝
5
2
，
BC
＝
17
，求
外接圆半径
R
和内切圆半径
r
值。
解：
如图：<
/p>
作
BC
边上的高线
AD
；
设
BD
＝
x
，
则
CD
＝
17
－
x
。由勾股定理得：
AD
2
＝
AB
2
－
BD
2
< br>＝
AC
2
－
CD
2
，
2
2
即：
13
x
5
2
2
17
x
，得
x=12<
/p>
；
2
再得：<
/p>
AD
＝
5
，
1
、先求内切圆半径：
1
a
< br>b
c
r
2
1
1
得：
17
5
13<
/p>
17
5
2
r
2
2
根据
s
ABC
6
2
得：
r
＝
；
2
2
、作△
ABC
的外接圆⊙
< br>O
，连接
AO
并延长交⊙
O
于
E
，连接
CE
。则△
ABE
∽
△
ADC
，
则
AB
AE
13
2
R
13
2
，即
，得
R
＝
。
AD<
/p>
AC
5
5
2
2
三、小结
例
2
和例
3
中，求三
角形内切圆半径是通过
s
ABC
三角形的面积和周长来达到目的。
求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。
它们有一共同的特
征就是要
求出一条边上的高线。
例
2
和例
3
中的三角
形分别是锐角三角形和钝角三角形，
为了避免在计算中分
类的问
题，
可统一为选择最长的一边为底边，
再计算这条边上的高线即
可
,
这时就不需考
虑这个三角形是锐角
还是钝角三角形的问题。
1
a
b
c
r
公式，根据
2
处理球的“内切”
“外接”问题
与球有关的组合体问题，
一种是内切，
一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中
也是考查的重点，
但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认<
/p>
真分析图形，
明确切点和接点的位置及球心的位置，
画好截面图是关键，
可使这类问题迎刃
而解。
一、棱锥的内切、外接球问题