微专题：双曲线的焦点三角形的内切圆
巡山小妖精
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2021年02月11日 19:35
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微专题：双曲线的焦点三角形的内切圆
x
2
y
2
定理：已知
F
1
,
F
2
为双曲线
2
<
/p>
2
1
的左、右
焦点，
a
b
A
为双曲线上一
点，则
AF
1
F
2
的内切圆与
x
轴切于双曲线的顶点。
简证：由圆的切线长相等，
即
AF
AD
，
F
1
F
F
1
E
，
F
2
D
F
2
E
。
结合双曲线的定义：
AF
1
AF
2
2
a
F
1
E
F
2
E
2
c
F
1
E
F
2
E
F
1
E
< br>a
c
,
F
2
E
c
a
。
延伸：椭圆的焦点三角形
F
1
PF
2
的旁心与
x
轴相切于顶
点。
例
1
：
（
2005
年浙江省数学联赛）
设双曲线
x
y
1
的左、
右焦点分别为
F
1
、
F
2
，
若△
PF
1
F
2<
/p>
的顶点
P
在第一象限的双曲线上移动，<
/p>
求△
PF
1
F<
/p>
2
的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边
PF
2
上的切点轨迹。
由以上定理可得：内心必在直线
x<
/p>
1
上；
由点
P
在右支上，观察直线
F
1
P
的运动范围：其斜率小
于渐近线的斜率。
而
F
1
I
是
< br>PF
1
F
2
的平分线，所以
IF
1
F
2
2
2
8
。
考查点一：圆锥曲线的定义与三角形的内心性质相结合。
1
、已知点
P
是椭圆上一点，
F
1
,
F
2
分别为椭圆的左、右焦
点，
M
为
F
1
PF
2
的内
心，
若
S
MPF
1
S
MF
1<
/p>
F
2
S
MPF
2
成立，则
λ
的值为
a
2
b
2
a
2
b<
/p>
2
A
.
B
.
C
.
D
.
2
2
2
2
a
2
a
a
b
a
< br>b
a
2
a