(完整版)初中数学数与式总复习
-
初中数学
实数的有关概念
(1)
实数的组成
数与式
总复习
正整数
整数
<
/p>
零
负整数
有尽小数或无尽循环小数
有理数
正分数
实数
分数
负分数
正无理数
无理数
无尽不循环小数
负无理数
<
/p>
注意：
1.
最简分数是有理数。
2.
π、最简根式、
e
等是无理数。
(2)
数轴：规定了原点、正方向和
单位长度的直线叫做数轴
(
画数轴时，要注意
< br>上述规定的三要素缺一个不可
)
，实数与数轴上的点是一
一对应的。数轴上任一
点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，
(3)
相反数
实数的相反数是一对数
(
只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反
数是零
)
．
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．
(4)
绝对值
a
(
a
0
)
|
a
|
0
(
a
0
)
< br>a
(
a
0
)
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离
(5)
倒数
1
实数<
/p>
a(a≠0)
的倒数是
(
乘积为
1
的两个数，叫做互为倒数
)
；零没有倒数．
a
【例题经典】
理解实数的有关概念
1
例
1
①<
/p>
a
的相反数是
-
,
则
a
的倒数是
_______
．
5
②
实数
a
、
b
在数轴上对应点的位置如图所示
:
< br>
则化简
│
b
-
a│+
(
a
b
)
2<
/p>
=______
．
③去年泉州市林业用地面积约为
10200000
亩
,
用科学记数法表示为约
_________
_____________
．
【点
评】
本大题旨在通过几个简单的填空，
让学生加强对实数有关概
念的理
解．
1
b
0
a
例
2.(-2)
3
与
-2
3
(
)
．
(A)
相等
(B)
互为相反数
(C)
互为倒数
(D)
它们的和为
16
分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。
1
4
例
3.-
3
的绝对值是
；
-3
的倒数是
；
的平方根是
．
2
9
分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。
答案：
3
，
-2/7
，
±
2/3
例
4.
下列各组数中，互为相反数的是
(
)
1
1
A
．
-3<
/p>
与
3
B
．｜<
/p>
-3
｜与一
C
．｜
-3
｜
与
<
/p>
D
．
-3
与
(-3)
2
3<
/p>
3
分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念
< br>
掌握实数的分类
22
例
1
下列实数
、
sin60°
、
、
（
< br>2
）
0
、
3.14159
、
-
9
、
（
-
7
< br>）
-2
、
8
中无
7
3
理数有（
）个
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4 <
/p>
【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．
实数的运算
(1)
加法
同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加。
取绝对值较大的数的符号，
并用较大的绝对值减去较小的绝
对值；
任何数与零相加等于原数。
(2)
减法
a-b=a+(-b)
(3)
乘法
两数相
乘，
同号得正，
异号得负，
并把绝对值
相乘；
零乘以任何数都得零．
即
|
a
|
|
b
|
(
a
,
b
< br>同号
)
ab
|
a
|
|
b
|
(
a
,
b
异号
< br>)
0
(
a
或
b
为
零
)
a
1<
/p>
a
(
b
0
)
b
b
a
(5)
乘方
a
n
aa
(4)
除法
n
个
(6)
开方
如果
x
2<
/p>
＝
a
且
x≥0<
/p>
，那么
a
＝
x<
/p>
；
如果
x
3
=a
，那么
3<
/p>
a
x
在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括
号里面．
3
．实数的运算律
(1)
加法交换律
a+b
＝
b+a
(2)
加法结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
2
(3)
乘法交换律
ab<
/p>
＝
ba
．
(4)
乘法结合律
(ab)c=a(bc)
(5)
分配律
a(b+c)=ab+ac
其中
a<
/p>
、
b
、
c
表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．
【例题经典】
例
1
、
若家用电冰箱冷藏室的温度是
4
℃，
冷冻室的温度比冷藏室的温度低
22
℃，
则冷冻室的温度（℃）可列式计算为
< br>
A
．
4―22
＝－
18
Ｂ．
22
－
4
＝
18
Ｃ．
22―
（
―4
）＝
26
Ｄ．
―4
―22
＝－
26
点评：本题涉及对正
负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈
现，同时也强调
< br>“
列式
”
，即过程。
例
2
．我国宇航员杨利
伟乘
“
神州五号
”
绕地球飞行了
14
周，飞行轨道近似看作
< br>圆，
其半径约为
6
．
71×
10
3
千米，
总航程约为
(π
取
3
．
14
，
保
留
3
个有效数字
)
(
)
<
/p>
A
．
5
．
90
×
10
5
千米
B
．
5
．
90
×
10
6
千米
C
．
5
．
89
×
10
5
千米
D
．
5
．
89×
10
6
千米
分析：本题考查科学记数法
例
3.
化简
3
7
2
的结果是
(
)
．
7
+2
(C)3(
7
-2)
(D)3(
7
+2)
(A)
7
-2
(B)
分析：考查实数的运算。
例
4.
实数
a
、
b
、
c
在数轴上的对应
点的位置如图所示，
下列式子中正确的有
(
)
．
①
b+c>0
②
a+b>a+c
③
bc>ac
④
ab>ac
(A)1
个
(B)2
个
(C)3
个
(D)4
个
分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。
1
例
5
计算：
-
+
（
< br>-2
）
2
×
（
-1
）
0
-
│
-
12
│
．
3<
/p>
1
【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算。
例
5.
校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪
费现象十分严重，
于是决定
写一张标语贴在食堂门口，
告诫大家不要浪费粮食．
请你帮他把标语中的有关数
据填上．
(
已知
1
克大米约
52
粒
)
如果每人每天浪费
1
粒大米，全国
13
亿人口，
每天就要大约浪费
吨大
米
分析：本题考查实数的运算。
例
7.
阳阳和明明玩上楼梯游戏，
规定一步只
能上一级或二级台阶，
玩着玩着两人
发现：当楼梯的台阶数为一
级、二级、三级
……
逐步增加时，楼梯的上法数依次
为：
1
，
2
，
3
，
5
< br>，
8
，
13
，
21
，
．
．
．
…(
这就是著名的斐波那契数列
)
．请你仔细观
察这列数中的规律后回
答：上
10
级台阶共有
种上法．
分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和
例
8.
观察下列等式
(<
/p>
式子中的
“!”
是一种数学运算符号
)
3
1!=1
，
2!=2×
1
，
3!=3×
2×
1
，
4!=4×
3×
2×
1
，
…
，
100
!
计算：
=
．
98
!
分析：阅读各算式，探究规律，发现
100
！
=100*99*98
！
整
式
【回顾与思考】
知识点
代数式、代数式的值、整式、
同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的
运算法则、
整
式的加减乘除乘方运算法则、
乘法公式、
正整数指数幂、
零指数幂、
负整数指数幂。
大纲要求
考查重点
1
．代数式的有关概念．
(1)
代数式：代数式是由运算符号
(
加、减、乘、除、乘方、开方
)
把数或表示
数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
(2)
代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的
结果
p
叫做代
数式的值．
求代数式的值可以直接代入、
计算．
如果给出的代数式可以化简，
要先化简
再求值．
(3)
代数式的分类
2
．整式的有关概念
1
、
单项式的有关概念
（
1
）
单项式：
由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式。单独的一个数或字
．．．．．．
．．
2
3
3
a
,
m
n
,
abx
,
4
x
,
9
,
a
母
也叫做单项式。
例如：
．
注意：
单项式不含加减运算，只含字母与字母或字母的乘法（包括乘方）运算
（
2
）
单项式的系数：<
/p>
单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。例如：单项式
1
1
2
x
y
,
7
xy
2
的系数分别是
,
7
，
当单项式系数是
1
或－
1
时，
“1”
通常省略不写，
2
2
如
ab
就是
1
ab
，系数是
1
；
n
就是
1
n
，系数是－
1.
4 <
/p>
（
3
）
单项式的
次数
（指数）
：
一个单项式中，
所有字母的指数的和叫做这个单项
式的次数。
如
4
x
的次数是
1
，
3
x
2
y
3
z
的次数
是
2+3+1
＝
6
；
数学的次数是
0
，
如
3
，
－
< br>9
等可以当作
0
次单项式。
1
一个单项式的次数是几就叫做几次单项
式，如
a
2
b
2
中，
a
与
b
的指数和为
4
，
3
1
则
a
2
b
2
是四次单项式。
< br>
3
例
1
：
指出下列各单项式的系数和次数
2
3
a
2
2
3
x
y
,
5
ab
,
a
bc
,
< br>
3
7
提示：圆周率
是常数，当单项式中含有
时，
是单项式的系数，且在计算单
项式的次数时应注意不要加上
的指数。
2
、多项式的有关概念
（
1
）
多项式：
几个单项式的和叫做多项式。
其中，
每个单项式叫
做多项式的项，
不含字母的项叫做常数项。如
3
x
2
2
x
5
是多项式，它的项分别是<
/p>
3
x
2
，
2
x
和
5
，其中
5
是常数项。<
/p>
（
2
）
多项式的次数：
多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。
如
2
y
4
<
/p>
3
x
2
2
的次为是
3
，即<
/p>
“
2
x
3
”
的次数。一个多项式中含有几项，最高次数是
几次就叫几次几项式。如
2
y
4
6
y
3
6
叫做四次三项式。
在多项中，含有字母的项的次数是几次就叫做几次项。如
3
a
2
b
2
ab
b
5
中，
3
a
2
b
就是它的三次项，二
次项是
2
ab
，一次项是
b
，常数项是－
5.
3
、整式的概念
单项式与多项式统称为整式。
判断一
个式子是不是整式应注意几点（
1
）分母不含字母；
（
2
）根号里面不含字
母
①单项式
整式
②多项式
代
数
分式
式
根式
5
<
/p>
(1)
单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．
对于给出的单项式，
要注意分析它的
系数是什么，
含有哪些字母，
各个字母
的指数分别是什么。
(2)
多
项式：几个单项式的和，叫做多项式
对于给出的多项式，要注
意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再
像分析单项式那样来分析
(3)
多项式的降幂排列与升幂排列
把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，
叫做把
这个多
项式按这个字母降幂排列
把
—
个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，
叫做把这个多
项式技这个字母升幂排列，
给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．
(4)
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．
要
会
判
断
给
出
的
项
是
否
同
类
< br>项
，
知
道
同
类
项
可
以
合
并
．
即
ax
bx
(
a
b
)
x
其中的
X
可
以代表单项式中的字母部分，
代表其他式子。
3
．整式的运算
(1)
整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起
来，再
用加减号连接．整式加减的一般步骤是：
(i)
如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是
“
十
”
号，把括号和
它前面的
“+”
号去掉。括号里各项都不变
符号，括号前是
“
一
”
号，把括号和它前
面的
“
一<
/p>
”
号去掉．括号里各项都改变符号．
(ii)
合并同类项：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的
指数不变．
(2)
整式的乘除：单项式相乘
(
除
)
，把它们的
系数、相同字母分别相乘
(
除
)
，
对于只在一个单项式
(
被除式
)
里含有的字母，则连同它的指数作为积
(
商
)
的一个
因式相同字母相乘
(
除
)
要用到同底数幂的运算性质：
a
m
a
n
a
m
n
(
m
,
< br>n
是整数
)
a
< br>
a
a
m
n
m
n
(
a
0
,
m
,
n
是整数
)
多项式
乘
(
除
)
以单
项式，先把这个多项式的每一项乘
(
除
)
以这个单项式，再
把所得的积
(
商
)
相加．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一
项，再把所得的积相加．
遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：
(
x
a
)(
x
b
)
x
2
(
a
b
)
x
ab
,
(
a
b
)(
a
b
)
a
2
b
2
,
(
a
b
)
a
2
ab
b
,
2
2
(
a
b
)(
a
2
ab
b
2
)
a
3
< br>
b
3
.
(3)
整式的乘方
6