初中数学公式定理总结
-
中考数学常用公式定理
一、数与代数
1
、整数
(
包括：正整数、
0
、负整数
)
和
分数<
/p>
(
包括：有限小数和无限环循小数
)
都是
有理数
．如：－
3
，
-
，
0
.231
，
0.737373
…，
如：
π，－
，
．无
限不环循小数叫做
无理数
．
，
0.1010010001
…
(
两个
1
之间依次多
1
个
0
)
．有理数和无理数统称为
实数．
< br>丨
a
丨＝
a
；
a
≤
0
丨＝
丨
a
丨＝－
a
．
2
、
绝对值
：
a
≥
0
如：
丨－
；丨
3.14
－π丨＝π－
3.14
．<
/p>
3
、
一个
近似数
，从左边笫一个不是
0
的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的
有效数字<
/p>
．如：
0.05972
精确到
0.001
得
0.060
，结果有两个有效数字
6
，
0
．
特别提醒：
3.2
4
万精确到百位，而不是百分位，有
3
个有效数字
3,2,4.
又：
5.
17
10
5
精确到千位，有
3
个
有效数字
5,1,7
4
、
把一
个数写成±
a
×
10
< br>n
的形式
(
其中
1
≤
a
＜
10
，
n
是整数
< br>)
，这种记数法叫做
科学记数法．
10
－
5
．
如：
－
4
0700
＝－
4.07
×
10
5
，
0.000043
＝
4.3×
5
、乘法公式
(
反过来就是因式分解的公式
)
：
①
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝
a
2
－
b
2
．
②
(
a
±
b
)
2
＝
< br>a
2
±
2
ab
＋
b
2
．
③
(
a
＋
b
)(
a
2
－
a
b
＋
b
2
)<
/p>
＝
a
3
＋
b
3
．
④
(
a
－
b
)(
a
2
< br>＋
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
－
b
3
；<
/p>
a
2
＋<
/p>
b
2
＝
(
a
＋
b
)
2
－
2
ab
，
(
a
－
b
)
2
＝
(
a
＋
b
)
2
－
4
ab
．
6
、幂的运算性质：
①
a
m
×
a
n
＝
a
m
＋
n
．②
a
m
÷
a
n
＝
a
m
－
n
．③
(
a
m
)
n
＝
a
mn
．④
(
ab
)
n
＝
a
n
< br>b
n
．⑤
(
)
n
＝
n
．
⑥
a
－<
/p>
n
＝
1
－
n
，
特别：
(
)
＝
(
)
n
．⑦
a
0
＝
1
(
a
< br>≠
0
)
．
n
a
＝
，
(
)
－
2
＝
(
)
2
＝
-
如：
a
3
×
a
2
＝
a
5
，
a
6
÷
a
2
＝
a
4
，<
/p>
(
a
3
)
2
＝
a
6
，
(
3
a
3
)
3
＝
27
a
9
，
(
－
3
)
－
1
＝－
，
5<
/p>
－
2
＝
，
(
－
3.14
)
º
＝
1
，
(
－
)
0
＝
1
．
< br>7
、二次根式
：①
(
)
2
＝
a
(
a
≥
0
)
，②
＝丨
a
丨，③
＝
×
，④
< br>＝
(
a
＞
0
，
b
≥
0
)
如：①
(
3
)
2
＝
45
．②
＝
6
．③
a
＜
0
时，
＝－
a
．④
的平方根＝
4
的平方
根＝±
2
．（平方根、立方根、算术平方根的概念）
1 / 12
8
、一元二次方程
：对于一元二次的一般式方程：
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
(
a
≠
0)
：
2
b
b
4<
/p>
ac
①
求根公
式
是
x
＝
，<
/p>
当△＞
0
时，方程有两个不相等的实数<
/p>
2
a
根当△＝
0
时，方程有两个相等的实数
其中△＝
b
2
－
4
ac<
/p>
叫做根的判别式．
根；
当△
＜
0
时，方程没有实数根．
注意：
当△≥
0
时，方
程有实数根
②若方程有两个实数根
x
1
和
x
2
，并且二次三项式
ax
2
< br>＋
bx
＋
c
可分解为
a
(
x
< br>－
x
1
)(
x
－
x
2
)
．
③以
a
和
b
为根的一元二次方程是
x
2
－
(
a
＋
b
)
x
＋
ab
＝
0
．
二、统计与概率
9
< br>、统计初步
：
（
1
）概念
：①所要考察的对象的全体叫做
总体
，其中每一个考察对象叫做
个体．
从总体
中抽取的一部份个体叫做总体的一个
样本
，样
本中个体的数目叫做
样本容量．②
在一组数据中，出现次
数最多的数
(
有时不止一个
< br>)
，叫做这组数据的
众数
．③将
一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一
个数
(
或两个数的平均数
)
叫做这组数据的
中位数．
（
2
）公式：
设有
n
个数
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，那么：
①平均数为：
x
x
1
x
2
......
n
x
n
；
②极差：用一组数据的最大
值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称
为极差，即：
极差
=
最大值
-
最小值；
③方差：
数
据
x
1
< br>x
1
x
2
、
x
2
x
2
x
……
,
2
x
n
的
方
差
为
s
2
，
则
s
2
=
1
n
.....
x
n
x
2
标准差：方差的算术平方根
.
< br>数
据
x
1
、
2
x
2
…
…
,
2
x
n
的
2
标
准
差
s
，
则
s
=
1
n
x
1
x
x
< br>2
x
.....
x
n
x
一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。
10
、频率与概率：
（
1
）频率
=
频数
，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于
1
，频率分布直方图中各个小长
总数
方形的面积为各组频率。
2 / 12
< br>（
2
）概率（大数次实验的频率≈概率）
①如果用
P
表示一个事件<
/p>
A
发生的概率，则
0≤P
（
A
）
≤1
< br>；
P
（必然事件）
=
1
；
P
（不可能事件）
=
0
；
②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状
图）计算简单事件发生的概率。
③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；
三、函数
11
、平面直角坐标系中的有关知识：
（
1
）对称性：
若直角坐标系内一点
P
（
a
，
b
），则
P
关于
x
轴对称的点为
P
1
（
a
，－<
/p>
b
），
P
关于<
/p>
y
轴对
称的点为
P
2
（
－
a<
/p>
，
b
），关于原点对称的点为
P
3
（
－
a
，－
b
）
< br>.
（
2
）坐标平移：
若直角坐标系内一点
P
（
a
，
b
）向左平移
< br>h
个单位，坐标变为
P
（
a
－
h
，
b
），
向右平移
h
个单位，坐标变为
P
（
a
＋
h
，
b
）；
向上
平移
h
个单位，坐标变为
P
（
a
，
b
＋
h
），
< br>向下平移
h
个单位，坐标变为
P
（
a
，
b
－
h
）
.
如：点
A
（
2
，－
1
）向上平移
2
个单位，再向右平移
5
个单位，则坐标
变为
A
（
7
，
1
）
.
12
、一次函数一般式
y
＝
kx
＋
b
(
< br>k
≠
0
)
的图象是一条直线，与
x
轴交于
(<
/p>
b
（
0
，
b
)
．
,0)
，与
y
轴交于
k
（
1
）一次函数性质
：特别：当
b
< br>＝
0
时，
y
＝
kx
(
k
≠
0
)
又叫做正比例函数
(
y
与
x
成正比例
)
，图象必过原点．
【
K
决定：】
1
直线倾斜方向：
< br>
○
当
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大
< br>(
直线从左向右上升
)
直线必过一、三象限
当
k
＜
0
时，
y
随
x
的增大而减小
(
直线从左向右下降
)
直线必过二、四象限
< br>
k
越大，直线越陡峭，直线与
x
轴的夹角越大
2
直线倾斜程度：
○
k
越小，
直线越平缓，直线与
x
轴的夹角越小
3<
/p>
对于直线
y
1
k
1
x
b
1
与直线
y
2
k
2
x
b
2
，
○
< br>当
k
1
k
2
时，
y
1
y
2
当<
/p>
k
1
k
2
1
时，
y
1
y
2
当
< br>b
0,
直线与
y
轴交于正半轴
【
b
决定】
当
b
=0
，直线必过原
点
当
b
<
/p>
0,
直线与
y
轴
交于负半轴
13
、反比例函数
y
＝
(
k
≠
0
)
的图象叫做双曲线
．
（
1
）反
比例函数性质：
当
k
＞
0
时，双曲线在一、三象限
(
在每一象限内，从左向右降
)
；
3 / 12
当
k
＜
0
时，双曲线在二、四象限
(
在每一象限内，从左向右上升
)
．因此，它的增减性与一次函数相反．
（
2
）双曲线矩形：
S
k
（
3
）双曲线三角形：
S
k
2
y
2
x
3
【特别提醒】：（
1
）直线
y
2
x
3
与
< br>y
3
x
2
的交点坐标为二元一次方程组
的解。
y
3
x
2
4
（
2
）直线
y
2
x
1
与双曲线
y
的交点是方程组
4
y
x
x
< br>
y
2
x
1
的解。
14
、二次函数的有关知识：
<
/p>
（
1
）
.
定义
：一般地，如果
y
ax
bx
c
(
a
,
b
,
c
是常数
，
a
0
)<
/p>
，那么
y
叫做
x
的二次函数
.
（
2
）
.
抛物线的三要素
：开口方向、对称轴、顶点
.
①
a
的符号决定抛物线的开口方向：当
a
0
时，开口向上；当<
/p>
a
0
时，开口
向下；
2
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同
.
< br>②平行于
y
轴（或重合）的直线记作
x
h
.
特别地，
y
轴记作直线
x
0
.
（
3
）几种特殊的二次函数的图像特征如下：
（
a
≠
0
）
函数解析式
开口方向
当
a
0
时<
/p>
开口向上
对称轴
顶点坐标
（
0,0
）
(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
y
ax
2<
/p>
y
ax
k
y
a
x
h
< br>2
x
0
（
y
轴）
2
x
0
（<
/p>
y
轴）
x
h
x
h
b
x
2
a
当
a
0
时
< br>
开口向下
y
a
x
h
k
2
y
<
/p>
ax
2
bx<
/p>
c
b
4
ac
b
2
，
(
)
2
a
4
a
（
4
）
.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
b
4
ac
b
2
b
4<
/p>
ac
b
2
2
（
，
）
（
1
）
公式法：
y
ax
bx
c
a
x
，∴顶点是
，对称轴是直
2
a
4
a
2
a
4
a
2
4 / 12
线
x
b
.
2
a
2
（
2
）
配方法：<
/p>
运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
y
a
x
h
k
(
a
≠
0
）的形式，得到顶点为
(
h
< br>,
k
)
，对称轴是直线
x
h
.
（
3
）运用
抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
(
x
2
,
y
)
（及
y
值相同），则对称轴方程可以表示为：
x
若已知抛物线上两点
(
x
1
,
y<
/p>
)
、
（
5
）
.
抛物线
y
ax
bx
c
（
a
≠
0
）
中，
a
,
b
,
< br>c
的作用
< br>○
1
a
决定
开口方向及开口大小，这与
y
a
x
中的
a
完全一样
.
2
2
x
1
x
2
2
○
2
b
和
a
共同决定<
/p>
抛物线对称轴的位置
.
由于抛物线
y
ax
bx
c
（
a
≠
0
）的对称轴是直线
2
b
b
，故：①
b
0<
/p>
时，对称轴为
y
轴；②
< br>
0
（即
a
、
b
同号）时，对称轴在
y
轴左
2
a
a
b
侧；③
0
（即
a
、
b
异号）时，对称轴在
y
轴右侧
.
a
x
○
3
c
的大小决定
抛物线
y
< br>
ax
bx
< br>
c
（
a
≠
0
）与
y
轴交点的位置
.
当
x
0
时，
y
c
，∴抛物线<
/p>
y
ax
bx
c
（
a
≠
0
）与
y
轴有且只有一个交点（
0
，
c
）：
①
c
0
，抛物线经过原点
;
②
c
0
,
与
y
轴交于正半轴；③
c
0
,
与
y
轴交于负半轴
.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立<
/p>
.
如抛物线的对称轴在
y
轴右侧，则
15.
用待定系
数法求二次函数的解析式
（
1
）一般式：
y
<
/p>
ax
bx
<
/p>
c
（
a
≠
0
）
.
已知图像上三
点或三对
x
、
y
的值，通常选择一般式
.
（
2
）顶点式：
y
a
x
h
k
（
a
≠
0
）
.
已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式
.
2
2
2
b
0
.
a
2
（
3
）交点式：
已知图像与
< br>x
轴的交点坐标
x
1
、
x
2
，通常选用交点式
：
y
a
<
/p>
x
x
1
x
x
2
.
16.
直线与抛物线的交点
（
1
）
y
轴与抛物线
y
ax
bx
c
（
a
≠
0
）得
交点
为
(0,
c
).
（
2
）抛物线与
x
轴的交点
< br>二次函数
y
ax
bx
c
（
a
≠
0
）的图像与
x
轴的两个交点的横坐标
x
1
、
x
2
，是对应一元二次方程
2
2
ax
2
bx
c
0
（
a
≠
0
）的两个实数根
.
抛物线与<
/p>
x
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：<
/p>
5 / 12
①有两个交点
(
<
/p>
0
)
抛物线与
x
轴相交；
②有一个交点（顶点在
x
轴上）
(
0
)
抛物线与
x
轴相切；
③没有交点
(
0
)
抛物线与
x
轴相离
.
（
3
）平行于
x
轴的
直线与抛物线的交点
同（<
/p>
2
）一样可能有
0
个交点、
1
个交点、
2
个交点
.
当有
2
个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐
标为<
/p>
k
，则横坐标是
ax
bx
c
k
的两个实数根
.
（
4
）一
次函数
y
kx
n
k
0
的图像
l
与二次函数
y
ax
bx
c
a
0
的图像
G
的
交点，由方程
2
2
组
< br>
y
kx
< br>
n
y
ax
2
bx
c
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时
l
与
G
有两个交点
;
②方
程组只有一组解时
l
与
G
只有一个交点；③方程组无解时
l
与
G
没
有交点
.
0
，
B
x
2
，
0
，
（
5
）抛物线
与
x
轴两交点之间的距离：若抛物线
y
ax
bx
c
与
x
轴两交点为
A
x
1
，
2
则
AB
x
1
x
2
17
、锐角三角函数
：
①
含义
∠
A<
/p>
的正弦：
sin
A
＝
，∠
A
的余弦：
< br>cos
A
＝
，∠
A
的正切：
tan
A
＝
．
②
平方关系：
sin
2
A
＋
cos
2
A
＝
1
．
③
倒数关系：
tan
< br>
1
tan(90
)
④
增减性：
0
＜
sin
A
＜
1
，
0
＜
cos
A
＜
1
，
< br>tan
A
＞
0
< br>．∠
A
越大，∠
A
的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．
⑤余角公
式
：sin(90º－
A
)
＝
cos
A
，
cos(90
º－
A
)<
/p>
＝
sin
A
．<
/p>
⑥特殊角的三角函数值：
三角函数
sinα
cos
α
tan
α
cot
α
0
°
0
1
0
不存在
30
°
45
°
60
°
90
°
1
0
不存在
0
1
2
3
2
3
3
3
2
2
2
2
1
1
3
2
1
2
3
3
3
h
α
l
⑦斜
坡的坡度：
i
＝
铅垂高度
＝
．设坡角为α，则
i<
/p>
＝
tan
α＝
．
水平宽度
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