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2021年2月12日发(作者：深谷幽兰)

专题

02

乘法公式

阅读与思考

乘法公式是多项式相乘得 出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数

式的化简求值 、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：

1

．熟悉每个公式的结构特征；

2

．正用

即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；

3

．逆用

即将公式反过来逆向使用；

4

．变用

即能将公式变换形式使用；

5

．活用

即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用 公式．

例题与求解

【例

1

】

< /p>

1

，

2

，

3

，

…

，

< p>
98

共

98

个自然数中， 能够表示成两个整数的平方差的个数是

．

（全国初中数字联赛试题）

解题思路 ：

因

a



b< /p>



(

a



b

)(

a



b

)

，而

a

< p>


b

a



b

的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差

的数， 要么为奇数，要么能被

4

整除．

【例< /p>

2

】

（

1

）已知

a

,

b

满足等式

x



a



b



20,

y



4(2

b



a

)

，则

x

,

y

的大小关系是

(

)

A

．< /p>

x

≤

y

B

．

x

≥

y

C

．

x



< br>y

D

．

x



y

（山西省太原市竞赛试题）

（

2

）已知

a

,

b

,

c

< p>
满足

a



2

b



7,

b



2

c





1,

c



6

a





1 7

，则

a



b



c

的值等于（

）

A

．

2

B

．

3

C

．

4

D

．

5

2

2

2

2

2

2

2

（河北省竞赛试题）

解题思路：

对于（

1

）

，作差比较

x

,

y

的大小，解 题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；

对于（

2< /p>

）

，由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．< /p>

【例

3

】

计算下列各题：

（

1

）

6(7



1)(7



1)(7



1)(7

< p>


1)



1

；

2

2

< br>2

4

8

（天津市竞赛试题）

（

“希望杯”邀请赛试题）

（

2

）

1.234

5



0.765

5



2.469



0.765

5

；

< br>（

3

）

(1



3



5



2

2

2

< /p>

99

2

)



(2

2



4

2



6

2

< p>




100

2

< p>
)

．

解题思路：

若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，

使之符合乘法公式的结构特征．

7

7

【例

4

】

设

a



< p>
b



1,

a



b



2

< br>，求

a



b

的值．

（西安市竞赛试题）

2

2

解题思路：

由常用公式不能直接求出

a



b

的结构，必须把

a



b

表示相关多 项式的运算形式，而

这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

7

7

7

7

1



2



3



4



1



5

< br>2

;

2

2



3



4



5



1



11

;

【例

5

】

观察：

3



4



5



6



1



19

2

;

（

1

）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；< /p>

（

2

）根据（

1

）

，计算

2 000



2001



< br>2002



2003



1

的结果（用一个最简式子表示）

．

< p>

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：

从特殊情况入手，观察找规律．

【例< /p>

6

】

设

a

,

b

,

c

< p>
满足

a



b



c



1,

a



b



c



2,

a



b



c



3,

求：

（

1

）

abc

的 值；

（

2

）

a



b



c

的值．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：

本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．

4

4

4

2

2

2

3

3

3

能力训练

A

级

1

．已知

x



2(< /p>

m



3)

x



9

是一个多项式的平方，则

m



．

（广东省中考试题）

2

．数

3



1

能被

30

以内的两位偶数整除的是

．

3

．已知

x



y



z



2

x



4

y



6

z



14



0,

那么

x



y



z



．

（天津市竞赛试题）

4

．若

x



y



10,

x



y



100,

则

x



y



< br>

．

5

．已知

a

,

b

,

x

,

y

满足

ax



by



3,

ax



by



5,

则

(

a



b

)(

x



y

)

的值为

．

（河北省竞赛试题）

6

．若

n

满足

(

n



2004)



(2005



n

)



1,

则

(200 5



n

)(

n



2004)

等于

．

7

．

(1



2

2

2

2

2

2

< p>
3

3

2

2

2

2

2

2

48

1

1

1

1

)(1



)

(1



)(1



)

等于（

）

2

2

3

2

1999

2< /p>

2000

2

1999

2001

1999

A

．

< p>

B

．

C

．

200 0

2000

4000

2

2

2

2

D

．

2001

4000

8

．若

M



10

a



2

b



7< /p>

a



6,

N



a



2

b



5

a



1

，则

M



N

的值是（

）

A

．正数

2

B

．负数

2

1992

C

．非负数

D

．可正可负

9

．若

x



y



2,

x



y



4,

则< /p>

x

A

．

4

B

．

199 2

2



y

1 992

的值是（

）

C

．

2

1992

D

．

4

1992

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