初一数学乘法公式
-
乘法公式
一、平方差公式：（
a+b
）
(a-b)=a
2
-b
2
要注意等式的特点：
（
1
）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，
另一项互为相反数；
（
2
）等式
的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相
反数的项的平方．
值得注意的是，这个公式中的字母
a
，
b
可以表示数，也可以是单项式或多
项式．
平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，
也可以逆用做为快
速
计算的工具．
例１
下列各式中不能用平方差公式计算的是（
）．
A
．（
a<
/p>
－
b
）（－
a<
/p>
－
b
）
B
．（
a<
/p>
2
－
b
2
）（
a
2
＋
b
2
）
C
．（<
/p>
a
＋
b
）（－<
/p>
a
－
b
）
D
．（
b
2
－
a
2
）（－
a
2
－
b
2
）
< br>
解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－
b
是相同
的项，
a
与－
a
是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中
a
2
< br>是相同项，－
b
2
与
b
2
是互为相反数符
合公
式特点；
同样Ｄ也符合．
而Ｃ中的两个二项式互为相反数，
不符合上述的等
式的特征，因此不可使用平方差公式计算．
例２
运用平方差公式计算：
（１）（
x
2
－
y
）（
－
y
－
x
2
）；
（２）（
a
－
3
）（
a
2
＋
9
）（<
/p>
a
＋
3
）．
解：
（１）（
x
2
－
y
）
（－
y
－
x
2
）
1
/
20
＝（－
y
＋
x
2
）（－
y
－
x
2
）
＝
(
－
y)
2
－（
x
2
）
2
＝
y
2
－
x
4
；
（２）（
a
－
3
）（
a
2
＋
9
）（
a<
/p>
＋
3
）
＝（
a<
/p>
－
3
）（
a
＋
3
）（
a
2
＋
9
）
＝（
a
2
－
3
2
）（
a
2
＋
9
）
＝（
a<
/p>
2
－
9
）（
a
2
＋
9
）
＝
a
4
－
81
．
例３
计算：
（１）
5
4.5
2
－
45.5
< br>2
；
（２）
(
2x
2
+3x+1)(2x
2
-3x+1)
．
分析：
（１）
中的式子具有平方差公式的右边的形式，
可以逆用平方差公式；
（２）
虽然没有明显的符合平方
差公式的特点，
值得注意的是，
平方差公式中的
字母
a
，
b
< br>可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把
2x
2
+1
看做公式
中字母
a
，
以便能够利用公式．
正如
前文所述，
利用平方差可以简化整式的计算．
解：<
/p>
（１）
54.5
2
－
45.5
2
＝（<
/p>
54.5
＋
45.5
）
(54.5
－
45.5)
2
/
20
＝
100
×
9
＝
900
；
（２）
(2x
2
+
3x+1)(2x
2
-3x+1)
=(2x
2
+1)
2
-(3x)
2
=4x
4
+
4x
2
+1-9x
2
< br> =4x
4
-5x
2
+1
二、完全平方公式：
(a
＋
b)
2
＝
a
2
＋
2ab
＋
b
2
(a
－<
/p>
b)
2
＝
a <
/p>
2
－
2ab
＋<
/p>
b
2
．
二项式
的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两
项积的两倍．
完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，
在有关代数式的变形和
求值中应用广泛．
正确运
用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，
通过与平方
差公式的
类比加深理解和记忆．
运用中要防止出现
（
a
±
b
）
2
＝
a
2
±<
/p>
b
2
，
或
（
a
－
b
）
2
＝
a
2
－
2ab
－
b
2
等错误．
3
/
20
需
要指出的是，
如同前面的平方差公式一样，
这里的字母
a
，
b
可以表示数，<
/p>
也可以是单项式或多项式．
例１
利用完全平方公式计算：
（１）（－
3a
－
5
）
2
；
（２）
（
a
－
b
＋<
/p>
c
）
2
．
分析：
有
关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（
a
－
b
＋
c
）
2
＝
[
（
a
－
b
）＋
c]
2
或
[a
－（
b
－
c
）
]
2
，通过两次应用完全平方公式来
计算．
解：
（１）（－
3a
－
5
）
2
＝（－
3a
）
2
－
2
×（－
3a
）×
5
＋
5
2
＝
9a
2
＋
30a
＋
25
（２）（
a
－
b
＋
c<
/p>
）
2
＝
[
（
a
－
b
）＋
c]
2
＝（
a
－<
/p>
b
）
2
＋
2
（
a<
/p>
－
b
）
c +
c
2
＝
a
2
－<
/p>
2ab
＋
b
2
＋
2ac
－
2
bc + c
2
＝
a
2
＋
b
2
+ c
2
＋
2ac
－
2ab
－
2bc
．
例２
利用完全平方公式进行速算
.
(1)101
2
(2)99
2
4
/
20
解
:
(1)101
2
分析
:<
/p>
将
101
变形为
(100+1)
原式可
2
2
=(100+1)
2
利用完全平方公式来速算
.
=100
2
+2
×
100
×
1+1
2
=10201
解
:
(2)99
2
分析
:
将<
/p>
99
2
变形为
(
100-1)
2
原式可
=(100-1)
2
利用完全平方公式来速算
.
=100
2
-2
×
100
×
1+1
2
=9801
例３
计算：
（１）
99
2
－
98
×
1
00
；（２）
49
×
51
－
2 499
．
解：
（１
）
99
2
－
9
8
×
100
＝（
10
0
－１）
2
－
98
×
100
＝
100
2
－２×
100
＋１－
< br>9800
＝
10000
－
200
－
9800
＋１
＝１；
（２）
49
×
51
－
2499
＝（
50
－
1
）（
50
＋
１）－
2499
＝
2500
－
1
－
2499
5
/
20
＝０．
例４
<
/p>
已知
a
＋
b
＝
8
，
ab
＝
10
，求
a
2
＋
b
2
，（
a
－
b
）
2
的值．
分析：
由前面的公式变形可以知道：
a
2
＋
b
2
＝
(a
＋
b)
2
－
2ab
，
(a
－
b)
2
＝
(a
＋
b)
2
－
4ab
．
解：
由于
a
2
＋
b
2
＝
(a
＋
b)
2
－
2ab
，
(a
－
b)
2
＝
(a
＋
b)
2
－
4ab
．
而
a
＋
b
＝<
/p>
8
，
ab
＝
10
所以
a
2
＋
b
2
＝
(a
＋
b)
2
－
2ab
＝
8
2
－
2
×
10
＝
44
(a
－
b)
2
＝
(a
＋
b)
2
－
4ab
＝
8
2
－
4
×
10
＝
24
．
三：练习
1
．利用乘法公式进行计算：
(1) (x-1)(x+1)(
x
2
+1)(x
4
+1)
(2)
(3x+2)
2
-(3x-5)
2
(3)
(x-2y+1)(x+2y-1)
(4)
(2x+3y)
2
(2x-3y)
2
(5) (2x+3)
2
-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)
2
6
/
20
(6)
(x
+x+1)(x
-x+1)
解：
(1)
原式
=(x
2
-1)(x
2
+1)(x
4
+1)
=(x
4
-
1)(x
4
+1)
=x
8
-1.
(2)
解法
1
：原式
=(9x
2
+12x+4)
-(9x
2
-30x+25)
=9x
2
+
12x+4-9x
2
+30x-25
=42x-21
解法<
/p>
2
：原式
=[(3x+2)+(3x-5
)][(3x+2) -(3x-5)]
=(6x-3)
×
7
=42x-21.
(3)
原式
=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]
=x
2<
/p>
-(2y-1)
2
=x
2<
/p>
-(4y
2
-4y+1)
=x
2<
/p>
-4y
2
+4y-1
(4)
原式
=[(2x+3y)(2x-3y)]
=(4x
2
-9y
2
)
2
< br>=16x
4
-72x
2
y
2
+81y
4
2
2
2
7
/
20
(5)
原式
=[(2x+3)
-(3x-2)]
2
=(-x+5)
2
=x
2
-10x+25
(6)
原式
=[(x
2
+1)+x][(x
2
+1) -x]
=(x
2
+1)
2
-x
2
=
(x
4
+2x
2
+1) -x
2
=x
4
+x
2
+1
2
．已知：
a+b=5,
ab=3
，求：
(1)
(a-b)
2
；
解：
(1) (a-b)
2
=(a+b)
2
-4ab
=5
2<
/p>
-4
×
3
=13
(2) a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab
=5
2
-2
×
3
=19.
在线测试
8
/
20
2
+b
2
；
(2) a
选择题
1
．在下列多项式的乘法中，可以用
平方差公式计算的是（
）
A
、
(x+1)(1+x)
B
、
(
a+b)(b-
a)
C
、
(-a+b)(a-b)
D
、
(x
2
-y)(x+y
2
)
2
．下列各式计算正确的是（
）
A
、
(a+4)(a-4)=a
2
-4
B<
/p>
、
(2a+3)(2a-3)=2a
2<
/p>
-9
C
、
(5ab+1)(5ab-1)=25a
< br>2
b
2
-1
D
、
(a
+2)(a-4)=a
2
-8
3
．
(-
x+2y)(-
x-2y)
的计算结果是（
）
A
、
x
-4y
B
、
4y
-
2
2
2
x
2
C
、
x
2<
/p>
+4y
2
D
、
-
x
2
-4y
2
4
．
(ab
c+1)(-abc+1)(a
2
b
2
c
2
+1)
的
结果是（
）。
A
、<
/p>
a
4
b
4
c
4
-1
B
、
1-a
4
b
4
c
4<
/p>
C<
/p>
、
-1-a
4
b
4
c
4
D
、
1+
a
4
b
4
c<
/p>
4
5
．下列各式计算中，结果错误的是（
）
A
、
a(4a+1)+(2a+b)
(b-2a)=a+b
2
.
B
、
9
/
20
C
、
m
-(5m+3n)(5m-3n
)+6(2m-n)(n+2m)=3n
2
2
D
、
答案与解析
答案：
1
、
B
2
、
C
3
、
A
4
、
B
5
、
D
解析：
1
．
B
．
(
B
。
a+b)(b-
)=(b+
a)(b-
a).
符合平方差公式的
特点，
故选
2
．
C
．
(
a+4)(a-4)=a
2
-4
2
=a
2
-16,
故
A
错；
(2a+3)(2a-3)=(2a)
2
-3
2
=4a
2
-9
，故
B
错。
(5a
b+1)(5ab-1)=(5ab)
2
-1
< br>2
=25a
2
b
2
-1
，故
C
正确；
(a+
2)(a-4)=a
2
+(2-
4)a
+2´(
-4)=a
2
-2a-8
，故
D
错。
3
．
A
．原式
=(-
x)
2
-(
2y)
2
=
x
2
-4y
2
.
4
．
B
．原式
=(1+abc)(1-abc)
(1+a
2
b
2
c
2
)
=[1
2
-(abc)
2
](1+a
2
b
2
c
2
)
=(1-a
2
b
2
c
2
)
(1+a
2
b
2
c
2
)
=1-a
4
b
4
c
4<
/p>
.
10
/
20