著名的数学公式总结.
-
一些著名的数学公式
塞尔伯格迹公式
泰勒公式
乘法公式
二倍角公式
全期望公式
全概率公式
和差平方
和平方
和立方
外尔特征标公式
婆罗摩笈多公式
差平方
差立方
拉普拉斯展开
斯托克斯公式
斯特灵公式
斯科伦范式
柯西
-
阿达马公式
柯西积分公式
格林公式
格林第一公式
格林第二公式
欧拉
< br>-
笛卡尔公式
欧拉公式
海伦公式
牛顿
-
寇次公式
立方和差
素数公式
蔡勒公式
角平分线长公式
诱导公式
默比乌斯反演公式
基本<
/p>
乘法公式
及
恒等式
（
因式分解
）
分配律
基本
和平方
三数
差平方
平方差
和立方
差立方
立方和
立方差
其他公式
立方和
是数学公式的一种，它属于<
/p>
因式分解
、
乘法公式
及
恒等式
，被普遍使用。立
方和是
指一个
立方数
，加上另一个立方数，即是它们的总和。公式如下
：
同时
立方和被因式分解后，答案分别包含
二项式
及
三项式
，与立方差相同。此公
式对
几何学
及
工程学
等有很大作用。
主验证
验证此公式，可透过因式分解
，首先运用
环
的原理，设以下公式：
然后代入：
透过因式分解，可得：
这样便可验证：
和立方验证
透过
和立方
可验证立方和的原理：
那即是只要减去
及
< br>便可得到立方和，可设：
右边的方程
运用因式分解的方法：
这样便可验证出：
几何验证
图象化
透过绘
立体的图像
，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：
把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：
要得到
部分：
，可使用
的空白位置。该空白位置可分割为
3
个
把三个部分加在一起，便得：
之后，把
减去它，便得：
上公式发现
两个数项皆有一个公因子
，把它抽出，并得：
可透过
和平方
公式，得到：
这样便可证明
反验证
透过
也可反验证立方和。
以上计算方法亦可简化为一个表格：
x)
这样便可证明
例题讲解
1.
把
因式分解
把两个数项都转为立方：
运用
立方
和
可得：
2.
把
因式分解
把两个数项都转为立方：
运用立方和便可得：
但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：
亦可使用另一个方法来减省步骤。首先把公因子抽出：
直接使用立方和，并得：
立方差
立方差也可以使用立方和来验证，例如：
把两个数项都转为
立方
数：
运用负正得负，可得：
然后运用立方和，可得：
这个方法更可验证到立方差的公式是
平方差
平
方差公式
是数学公式的一种，
它属于
乘
法公式
、
因式分解
及
< br>恒等式
，
被普遍使用。
平方差指
一个
平方数
或正方形，减去另一个
平方
数
或正方形得来的
乘法公式
：
及
的排列并不重要，可随意排放。
主验证
平方差可利用
因式分解
及
分配律
来验证。先
设
及
。
<
/p>
那即是
，同时运用了
环
< br>的原理。把这公式代入：
若上列公式是
的话，就得到以下公式：
以上运用了
，也即是两方是相等，就
得到：
注：
塞尔伯格迹公式
在
< br>数学
中，
塞尔伯格迹公式
是
非交换调和分析
的重要定理之一。此公式表达了
齐性
空间
的函数空间上某类算子的
迹数
，其中
是
李群
而
是其离散子群。
< br>塞尔伯格
在
1956
年
处理了紧
黎曼曲面
上的
拉普拉斯算子
的情形。借由拉普拉斯算
子及其幂次，
塞尔伯格定义了
塞尔伯格
ζ
函数
。
此时的公式相似于
解析数论<
/p>
关注的
“
明
确公
式
”
：黎曼曲面上的
测地线
在公式中扮演
素数
在明确公式里的角色。
一般而言，塞尔伯格迹公式联系了负常数
曲率
紧曲面上的拉普拉斯算子的谱，以及
该曲面上的周期测地线长度
。对于
环面
，塞尔伯格迹公式化为
泊松
求和公式
。
定义
设
为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面
对
的某
离散子群
的商。
考虑
上的拉普拉斯算子
由于
值
为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的
特征
至多可数
事实上，更可将其由小至大排列：
对应的特征函数
件：
，并满足以下周期条
行变元代换
于是特征值可依
排列。
迹公式
塞尔伯格迹公式
写作
和式中的
取遍所有双曲共轭类。所取函数
须满足下述性质：
在带状区域
偶性：
< br>满足估计：
。
上为
解析函数
，在此
为某常数。
，在此
为某常数。
函数
是
的
傅里叶变换
：
。
后续发展
为了计算
赫克算子
作用于
尖点形式
上的迹，出现了
Eichler-
塞尔伯格迹公式。
志村
五郎
后来采取的方法省去了迹公式中的分析技巧。抛物上同调也为非紧黎曼曲面与
模曲线
的尖点问题提供了纯粹的代数框架。最后，
< br>
为紧的情形可藉
阿
蒂亚
-
辛格指标定理
处理，然而，一旦取
为
算术子群
，便不免要处理非紧的情形。
在
1960
年代，
塞尔伯格迹公式由苏联的
盖尔芳特
学派、
普林斯顿大学
< br>的
、
罗伯特
·
郎兰兹
与日本的
洼田富男
接手推动。
非紧情形的连续谱是郎兰兹发展
艾森斯
坦级数
理论的动机之一。拉普拉斯算子与赫克算子的迹公式表明了
赋值向量环<
/p>
之妙
用。
亚瑟
-
塞尔伯格迹公式适用于一般的
半单群
（或
约化群
）。此公式的一侧称为
谱侧
，
与群的表示相关；另一侧称为
几何侧
，与函数之轨道积分相关。群表示通常带有重
< br>要的数论信息，而轨道积分则较容易操作。亚瑟
-
塞尔伯
格迹公式是证明
郎兰兹函子
性猜想
的重
要进路之一。
泰勒公式
在
数学
中，
泰勒公式
是一个用
函数
在某
点
的信息描述其附近取值的
公式
。如果
函数
足够
光滑
的话，在已知函数在某一
点的各阶
导数
值的情况之下，泰勒公式可以用这
些导数值做
系数
构建一个
多项
式
来近似函数在这一点的
邻域
中的值。
泰勒公式还给
出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒
公式得名于
英国数学家布鲁克
·
泰
勒
。他在
1712
年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管
1671
年
詹姆斯
·
格雷高里
已经发
现了它的特例
[1]
。
泰勒公式
泰勒公式的初衷是用
多项式
来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，
< br>指数函数
e
x
在
x
= 0
的附近可以用以下多项式来近似地表示：
称为指数函数在
0
< br>处的
n
阶
泰勒展开公式。
这个公式只对
0
附
近的
x
有用，
x
离
0
越远，
这个公式就越不准确。
实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式
的
余项
。
对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。
这个想法的原由可以由
微分
的定义开始。
微分是函数在一点附近的最佳线性
近似：
，其中
也就是说
。
，或
是
h
的高阶
无穷小
。
注意到
和
在
a
处的零
阶
导数
和一阶导数
都相同。对足够光滑
的函数，如果一个多项式在
a
处的前
n
次
导数值都
与函数在
a
处的前
n
次
导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似
描述函数在
a<
/p>
附近的情况。以下定理说明这是正确的：
定理
：
设
n
是一个
正整数
。如果函数
f
< br>
是
区间
[
a
,
b
]
上的
n
阶连
续可微函数，并且在
区间
[
a
,
b
)
上
n
+1
次
可导
，那么对于
[
a
,
b
)
上的任意
x
，都有：
[2]
是
泰勒公式的余项，
其中的多项式称为函数在
a
< br>
处的
泰勒展开式
，剩余的
是
的高阶无穷小。
的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。
带有
皮亚诺
型余项的泰勒公式说明了多项式和函数
的接近程度：
也就是说，
当
x
无限趋近
a
时，
余项
穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于
由下面更强的结论推出。
将会是
[3]
的高阶无
。这个结论可以
带有
拉格朗
日
型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日
微分中值定理
的推
广：
即
，其中
[4]
。
带有
积分
型余项的泰勒公式可以看做
微积分基本定理
的推广
[5]
< br>：
余项估计
拉格朗日型余项或积分型余
项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误
差。
设函
数在区间
[
a
−
r
,
a
+
r
]
上
n
次连续
可微并且在区间
(
a
−
r
,
a
+
r
)
上
n
+ 1
次可
导。如果存在正实数
M
n
使得区间
(
a
−
r
,
a
+
r
)
里的任意
x
都
有
，那么：
其中
立，是一个
一致估计
。
。
这个上界估计对区间
(
a
−
r
,
a
+
r
)
里的任意
x
都成
如果当
n
趋向于无穷大时，
还有
，
那么可以推出
，
f
是区间
(
a
−
r
,
a
+
r
)
上
解析函数
。
f
在区间
(
a
−
r
,
a
+
r
)
上任一点的值都等于在这一
点的泰勒展开式的
< br>极限
。
多元泰勒公式
对于多元函数，也有类
似的泰勒公式。设
B
(
a
,
r
)
是
欧几里得空间
R
N
中的
开球
，
ƒ
是定义在
B
(
a
,
r
)
的
闭包
上的实值函数，并在每一点都存在所有的
n
+1
次
偏导数
。
这时的泰勒公式为：
对所有
，
其中的
α
是
多重指标
。
其中的余项也满足不等式：
对所有满足
|α|
=
n
+ 1
的
α
，
π
的莱布尼茨公式
< br>在
数学
领域，
π
的
莱布尼茨公式
说明
左边的展式是一个
无穷级数
，被称为
莱布尼茨级数
，这个级数
收敛
到
π
⁄
4
。它
通
常也被称为
格雷戈里
-
莱布尼茨级数<
/p>
用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数
学家
詹姆斯
·
格雷戈里
。使用
求和
符号可记作：
证明
考虑下面的
幂级数
对等式两边
积分
可得到
反正切
的
幂级数
：
将
x
= 1
代入，便得莱布尼兹公式
(1
的反正切是
π
⁄
4)
。这种推理产生的一
个问题是
1
不
在幂级数的
收敛半径
以内。因此，需要额外论证当
x
= 1
时级
数收敛到<
/p>
tan
−
1
(1
)
。一种方法是利用
交替级数判别法
，
然后使用
阿贝尔定理
证明级数收敛到
t
an
−
1
(1)
。然而，也可以用一个完全初等的证明。
初等证明
考虑如下分解
对于
|
x
|
< 1
，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含
无穷级数，并且对任何实数
x
成立。上式两端从
0
到
1
积分可得：
当
到
0
：
时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛
当
这便证明了莱布尼茨公式。
乘法公式
乘法公式
1.
分配律
：
2.
和平方
：
。
。
三数和平方
：
3.
差平方
：
4.
平方差
：
5.
和立方
：
6.
差立方
：
7.
立方和
：
8.
立方差
：
9.
。
10.
。
。
。
。
。
。
。
二倍角公式
二倍角公式
是
数学三角函数
中常用的一组公式，通过角
的三角函数值的一些变换
关系来表示其二倍角
的
三角函数值，
二倍角公式包括正弦二倍角公式、
余弦二倍
角公式以及正切二倍角公式。二倍角公式均可通过
和角公式
推出。
正弦二倍角公式
此式就是
正弦二倍角公式
：
余弦二倍角公式
<
/p>
余弦二倍角公式
有三组表示形式，三组形式等价：
正切二倍角公式
此式就是
正切二倍角公式
：
全概率公式
假设
{
B
n
:
n
= 1, 2, 3, ... }
是一个
概率空间
的有限或者可数无限的
分割
，
且每个集合
B
n
是一个
可测集合
，则对任
意事件
A
有
全概率公式
：
又因为
此处
Pr(
A
|
B
)
是
B
发生后
A
的
条
件概率
，所以
全概率公式
又可写作：<
/p>
条件概率的期望值
在离散情况下，上
述公式等于下面这个公式。但后者在连续情况下仍然成立：
此处
N
是任意
随机变量
。
这个公式还可以表达为：
A
的
先验概率
等于
A
的
后验概率
的先验
期望值
。
全期望公式
全期望公式
，即设
X,Y,Z
为
随机变
量
，
g(·
)
和
h(·
)
为
连续函数
，下列期望和条件期望
均存在，则
1.
三数和平方
三数和平方，指三个（或
可多个）数目的总和的
平方
，得来的公式是：
< br>
验证
验证方法与两数和平方差不多，可透过多项式乘法验证：
透过几何验证也同样，根据右图将所有部分加在一起：
因式分解
因式分解
，在数学中一般理解为把一个
多项式
分解为两个或多个的
因式
的过程
。在
这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。
两个平方之和或两个平方之差
（请参
见
平方差
）
根据以上两条
恒等式
，如原式符合以上
条件，即可运用代用法直接分解。
两个
n
次方数之和与差
两个立方数之和
可分解为
两个立方数之差
可分解为
两个
n
次方数之
差
两个奇数次方数之和
一次因式检验法
一个整系数的一元多
项式
因式
，
假如它
有整系数
，
且
p,q
< br>互质
，则以下两条必成立：（逆叙述并不真）
和
都成立
时，整系数多项式
的因式
也不一定是
整
不过反过来说，
即使当
系数多项式<
/p>
另外一个看法是：
一个整系数的ｎ次多
项式
，
若
是
f
(x)
之因式，
且
p,q
互质
，则：（逆叙述并不真）
因式定理
在代数，
因式定理
(
< br>factor theorem
)
是关于一个
多项式
的因式和
零点
的定
理。这是一
个
余式定理
的特殊案件。<
/p>
因式定理
指出，一个多项式
有一个因式
当且仅当
。
多项式的因式分解
因式定理
普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理
的推论结果，这些问题基本上是等价的。
若多项式已知一个或
数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变
成一个阶数较低的多项式，
其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根
的过程。方法如下：
1.
先设法找出多项式
的一个零点
。
2.
利用因式定理确认
3.
利用
长除法
计算多项式
4.
中，所有满足
的
多项式阶数
较
单。
另外欲使
A=
BQ+R
成立
,
就令除式
BQ=0,
则被除式
A=R,
能使此方程式成立
,
被除式
=(
商式
)(
除式
)+
余式
or
被除式
/
除式
=
商式
+
余式
/
除式
是多项式
的因式。
。
条件的根
都是方程式
的根。因为
要小。因此要找出多项式
的零点可能会比较简
外尔特征标公式
外尔特征标公式
（
Weyl's
character formula
)
描述
紧李群
不可约表示的特征标。其
名来自证明者
赫尔曼
·
外尔
。
定义：
群
G
的表示
r
的
特征标<
/p>
为一函数
，
，
其中
Tr
为
线性算子之
迹
。
（由
彼得
-
外尔定理
可知紧李群的任何不可约表示都是有限维
的；故迹
之定义为线性代数中之定义。）
特征标
χ
记住了表示
r
本身的重要讯息。
外尔特征标公式用
群
G
的其他资料来表
达
χ
。
< br>本文考虑复表示，不失一般亦设其为
酉表示
，因而
“
不可约
”
亦等价于
“
不可
分解
”
（即非二子表示之直和）。
公式
紧李群
G
之
不可约表示
之特征标符合下式：
其中
ρ
为群
G
之<
/p>
外尔向量
，即各
正根
之和之半；
W
为
外尔群
；
λ
为不可约表示之
最高权
；
α
遍历
G
之每一
正根
。
外尔分母公式
在
1
维表示的特例中，特征标为
1,
而外尔特征标公式简化成
外尔分母公式
：
若
G
为特殊
么正群，则简化成
范德蒙行列式
的等式：
。
外尔维度公式
若只考虑单位元
1
之迹，则外尔特征标公式
特殊化成
外尔维数公式
,
其中
V
Λ
为有限维表示，其最高权为
Λ
；
ρ
为外尔向量，
α
遍历所有正根。
由于式中分子与分母
俱为高阶零，
故必须取
G
中之元素渐近
单位元
1
时之极限。
Freudenthal
公式
Hans Freudenthal
发现了权重数
[1]
符合之一递归公式。此公式等价于外尔特征标公
式，而在某些情况下更简便。式曰：
；
其中
Λ
为一最高权，
λ
为另一权，
dim
V
λ
为权
λ
之重数，
ρ
为外尔向量，
外和中之
α
历遍所有正根。
外尔
-Kac
特征标公式
外尔特征标公式
亦适用于
卡茨
-
穆迪代数
之
可积最高权表示
——
外尔
-Kac
< br>特特征
标公式
。同样地，分母恒等式亦可推广至卡茨
-
穆迪代数，其在
仿射李代数
之特例成
为
Macdonald
恒等式
。其在
A
1
仿射李代数之例成为经典的
雅可比三
重乘积
恒等
式：
此特征公式可推广至
广义卡茨
-
穆
迪代数
之可积最高权表示：
其中
S
为一修正项：
其中
I
历遍虚简单根集内
所有与最高权
正交、且互相正交之有限子
集；
|I|
集
I
之基数，而
Σ
I
为集
I
内元素之和。
而
Monster
李代数
之
分母公式
则为
椭圆模函数
[2]
j
之积公式：
。
Peterson
发现了
（广义）<
/p>
可对称化
[3]
卡茨
-
穆迪代数之根重数
mult(β)
递归公式。此公式等价于外尔
-
卡茨分母公式，但更便于计算：
,
其中
γ
与
δ
遍历所有正根，而
。
婆罗摩笈多公式
欧氏平面几何
中，
婆罗摩笈多公式
是用以计算
四边形
的
面积
。它最常用于
计算圆内
接四边形面积
基本形式
婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形
的四边
长为
a
,
b
,
c
,
d
，则其面积为：
其中
p
为<
/p>
半周长
：
证明
圆内接四边形的面积
=
的面积
+
的面积
但
由于
是圆内接四边形，因此
。所以：
。故
对
和
利用<
/p>
余弦定理
，我们有：
代入
（这是由于
和
是
互补角
）
，并整理，得：
把这个等式代入面积的公式中，得：
它是
的形式，因此可以写成
的形式：
引入
，
两边开平方，得：
证毕。
更特殊情况
若圆
O
的圆内接四边形的四边长为
a
,
b
,
c
,
d
，且外切于圆
C
，则其面积为：
证明
由于四边形内接于圆
O
，所以：
其中
p
为半周长：
又因为四边形外切圆
C
，所以：
则：
同理
:
，
综上：
证毕。
，
一般情况
对一般四边形的面积，扩展的婆罗摩笈多公式用到了四边形的对角和：
其中
是四边形一对角和的一半。（选
取另一对角也不会影响答案，因其和的一
半是
。而
，所以
。
)
因为圆内接四
边形的对角和为
，
为零，给出公式的基本形式。
，
而
，
所以项
差分
差分
，又名
差分
函数
或
差分
运算
，是数学中的一个概念。它将原函数
到
概念。
映
射
。差分运算，相应于微分运算，是
微积分
中重要的一个
差分的定义
差分的
定义分为
前向差分
和
逆向差分
两种。
前向差分
<
/p>
函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数
，如果：
，
则称
为
的一阶前向差分。在微积分学中的有限差分（
finite
differences
）
，
前向差分通常是
微分
在
离散
的函数中的等效运算。
差分方程
的解
法也与
微分方程
的解
法相似。当
是
多项式
时，前向差分为<
/p>
Delta
算子，一
种
< br>线性算子
。前向差分会将多项式阶数降低
1
。
逆向差分
对于函数
，如果：
则称
为
的一
阶逆向差分。
差分的阶
称
为
的
阶差分，即
前向阶差分
，如果
根据数学归纳法，有
其中，
为
二项式系数
。
特别的，有
前向差分有时候也称作
数列
的
二项式
变换
差分的性质
< br>对比
解析函数
中的
微分
的属性，差分的性质有：
如果
C<
/p>
为
常数
，则有
线性
：如果
和
为常数，则有
乘法
定则：
除法
定则：
或
级数
：
牛顿数列
牛顿数列（级数）
，也称作
牛顿前向差分方程
< br>是一个以数学与物理学家
牛顿
命名的
函数关系。具体为：
要注意的
是，上式对
所有的
多项式都成立，但只对
部分
解析函数
成立。其中
为
二项式系数
，
为
的
阶
下降阶乘幂
。
牛
顿数列与泰勒级数的相似性是
哑微积分
的一
个典型。
卡尔森定理
（
Carlson's t
heorem
）
指出，
如果一个函数的
牛顿数列存在，
则该函数存在的牛顿数列是唯一的。然而牛顿数列并不总存在。
牛顿数列是
差分多项式
（差分级数）的特例。
差立方
<
/p>
差立方
是数学公式的一种，它属于
因式分
解
、
乘法公式
及
恒等式
，被普遍使用。
差
立方
是指一个数项，减去另一个数项后，得出来的差的立方：
主验证
差立方
可直接计算验证：
以上计算方式便可证明
:
布巴克尔多项式
布巴克尔多项式
在数学中，布巴克尔
多项式
[1]
有两种常见定义。第一种是
:
有时也会使用另一种定义
,
可以通过递归的方式进行定义。
首先，
规定前三
个布
巴克尔多项式为：
然后运用下面的
递推关系
得到更高阶的多项式。
布巴克尔
多项式也可以用
母函数
表示
:
产生了许多整数序列在
On-Line
Encyclopedia of Integer
Sequences
(
OEIS
)
[2]
e
PlanetMath
.
生成解
布巴克尔
多项式的
< br>通解
为
:
微分操作代表
布巴克尔
多项式亦可记为
:
布雷特施奈德公式
在
几何学
当中
,
布雷特施奈德公式
是一条任意
四边形
的
面积
公式
:
在公式当中
,
a
,
b
,
c
,
d
均是四边形的边长
,
s
则是半周界
,
亦即是
a
+
b
+
c
+
d
再除
以
2,
而
and
则是其中两个对角。
半周界
Bretschneider's
公式可运用于任何四边形<
/p>
,
不论是否为
圆内接
四边形
公式是由一位德国的数学家
Carl
Anton Bretschneider
所发现
一个四边形
在
几何学
当中
,
布雷特施奈德公式
是一条任意
四边形
的
面积
公式
:
布雷特施奈德公式的证明
设四边形的面积为
A
。由此得到
因此
由
余弦定理
所指出
这亦可改写为
接着在
中代入
这亦可改写为
刚才半周界的公式
因此上式成为
得证。
弗莱纳公式
在
向量微积分
中，
弗莱纳公式
(
Frenet
–
Serret
公式
)
用来描述
欧几里得空
间
R
3
中的
粒
子在连续可微
曲线
上的运动。
更具体的
说，
弗莱纳公式描述了曲线的
切向，
法
向，
副法方向
之间的关系。
单位切向量
T
，单位法向量
N
，单位副法向量
B
，被称作
弗莱纳标架
，他们的具体
定义如下：
T
是单位
切向量
，方向指向粒子运动的方向。
N
是切向量
T
对
弧长参数
的微分单位化得到的向量。
B
是
T
和
N
的
外积
。
弗莱纳公式如下：
其中
d
/
ds
是对弧长的微分，
κ <
/p>
为曲线的
曲率
，
τ
为曲线的
挠率
。
< br>弗莱纳公式描
述了空间曲线曲率挠率的变化规律。
弗莱纳公式
平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中
的旋转。
记
r
(t)
为
欧式空间
R
3
中的
曲线
，
表示粒子在时间
t
时刻的
位置向量
。
弗莱纳公式
只适用于正则曲线，即
速度
向量
r<
/p>
′(t)
和
加速度
向量
r
′′(t)
不为零的曲线。<
/p>
记
s(t)
为
t
时刻粒子所在位置到曲线上某定点的
弧长
：
由于假设
r
′ ≠
0
，因此可以将
t
表示为
s
的函数，因此可将曲线表示为弧长
s
的
函数
r
(s) =
r
(
t
(
s
))
。
s
通常也被称为曲线的弧长参数。
对于由弧长参数定义的正则曲线
r<
/p>
(
s
)
，
弗莱纳标架
(
或
弗
莱纳基底
)
定义如下：
单位切向量
T
：
主法向量
N
：
副法向量
B
定义为
T
和
N
的
外积
：
螺旋线
上弗莱纳标架的运动。
蓝色的箭头表示切向量，
红色的箭头表示法向量，
黑丝的箭头表示副法向量。
由于
所以
N
与
T
垂直。
方程
(3)
说明
B
垂直于
T
和
N
，因此向量
T
，
N
，
B
互相垂直。
弗莱纳公式如下：
其中
κ
为
曲线的
曲率
，
τ
为曲线的
挠率
。
弗莱纳公式有时也被称作
弗莱纳定理
，并且可以写做矩
阵的形
式：
[1]
其中的矩阵是
反对称矩阵
。
对弧长
s
求导，可以看成是对切方向的协变导数。
拉普拉斯展开
在
数学
中，
拉普拉斯展开
（或称
拉普拉斯公式
）是一个关于
行列式
的展开式。将一
个
n
×
n
矩阵
B
的行
列式进行拉普拉斯展开，
即是将其表示成关于矩阵
B
的某一行
（或
某一列）
的
n
个元素
的
(
n
-1)
×
(
n
-1)
余子式
的
和
。
行列式的拉普拉斯展开一般被简称
为行列式
按某一行
（或
按某一列
）
的展开
。由于矩阵
B
有
n
行
n
列，它的拉普拉斯
展开一共有
2
n
种。拉
普拉斯展开的推广称为
拉普拉斯定理
，是将一行的元素推广
为关于
k
行的一切
子式
。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是
B<
/p>
的
行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵
B
之行列式的计算，拉普拉斯公式
也常用于一些抽象的
推导中。
公式
设
B
= (
b
ij
)
是一个
n
×
n
矩阵。
B
关于第
i
行第
j
列的
余子式
M
ij
是指
B
中去掉第
i
行
第
j
列后得到的
n
−
1
阶子矩阵的行列式。有时可以简称为
B
的（
i
，
j
）
余子式
。
B
的
（
i
，
j
）
代数余子式
：
C
ij
是指
B
的
（
i
，
j
）
余子式
M
ij
与
(−1)
i
+
j
的乘积：<
/p>
C
ij
=
(−1)
i
+
j
M
ij
拉普
拉斯展开最初由
范德蒙德
给出，为如下公式：对于任意
i
,
j
∈
{1, 2, ...,
n
}
：
例子
考虑以下的矩阵：
这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：
也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：