乘法公式计算练习含答案
-
乘法公式计算练习
一．完全平方公式（共
30
小题）
1
．计算：
（
1
）
（﹣
2
x
）
3
﹣
4
x
（
x
﹣
2
x
2
）
；
（
< br>2
）
（
a
﹣
b
）
2
+
b
（
a
﹣
b
）
．
2
．计算：
（
2
x
+1
）
2
﹣（
x
+2
）
2
．
3
．计算：
（
2
a
﹣
3
b
）
2
﹣（
3
a
< br>﹣
2
b
）
2
．
4
．
计算：
（
2
a
+
b
）
2
[<
/p>
（
a
﹣
b
）
2
+2
a
（
a
﹣
b
）
+
a
2
< br>]
．
5
．已知（
m
﹣
53
< br>）
（
m
﹣
47
）＝
12
，求（
m
﹣
53
）
< br>2
+
（
m
﹣
47
）
2
的值．
6
．已知：
< br>x
+
y
＝
5
，
xy
＝
3
．
求：
①
x
2
+5
xy
+
y
2
；
②
x
4
+
y
4
．
7
．某学生化简
a
（
a
+1
）﹣（
a
﹣
2
）
2
出现了错误，解答过程如下：
解：原式＝
a
2
+
a
﹣（
a
2
﹣
4
a
+4
）
（第一步）
＝
a
2
+
a
﹣
a
2
﹣
< br>4
a
+4
（第二步）
＝﹣
3
a
+4
（第三步）
（
1
）该学生解答过程是从第
步开始出错，其错误原因是
；
（
2
）请你帮助他写出正确的简化过程．
8<
/p>
．运算：
（
x
+
2
）
2
9<
/p>
．已知：
a
m
•
a
n
＝
a
5
，
（
a
m
）
n
＝
a
2
（
a
< br>≠
0
）
．
（
1
）填空：
m
+
n
＝
，
mn
＝
；
（
2
）求
m
2
+
n
2
的值；
（
3
）求（
m
﹣
n
）
2
的值．
10
．利用整式乘法公式计算：
（
1
）
201
2
；
（
2
）
1999
2
﹣
1998
×
200
0
．
11
．
已知
x
﹣
y
＝
1
，
x
2
+
y
2
＝
9
，求
xy
的值．
12
．计算：
（
1
）
999
2
．
第
1
页（共
21
页）
（
2
）计算（
）
2<
/p>
﹣（
）
2
．
13
．若
x
，
y
满足
x
2
+
y
2
＝
8
，
xy
＝
2
，求下列各式的值．
（
1
）
（
x
+
y
）
2
；
（
2
）
x
4
< br>+
y
4
；
（
3
）
x
﹣
y
．
14
．
（
1
）已知
a
m
＝
2
，
a
n
＝
3
，求
a
3
m
+2
n
的值；
（
2
）已知
a
﹣
b
＝
4
，
ab
< br>＝
3
求
a
2
﹣
5
ab
+
b
2
的值．
15
．已知
a
+
b
＝
2
，<
/p>
ab
＝﹣
24
，
（
1
）求<
/p>
a
2
+
b
2
的值；
（
2
）求（
a
+1
）
（
b
+1
）的值；
（
3
）求（
a
﹣
b
）
2
的值．
16
．化简：
（
a
+1
）
2
﹣<
/p>
a
（
a
+1
）﹣
1
．
17
．已知
a
﹣
b
＝
5
，
ab
＝
1
，求下列各式
的值：
（
1
）
（
a
+
b<
/p>
）
2
；
（
2
）
a
3
b
+
ab
3
．
18
．若
x
+
y
< br>＝
3
，
xy
＝
2
，求
x
2
﹣
xy
+
y
2
的值．
19
．已知
x
＝
2
y
﹣
6
，
求﹣
3
x
2
+
12
xy
﹣
12
y
2
的值．
20
．已知
x
+
y
＝
4
，
x
2
+
y
2<
/p>
＝
10
．
（
1
）求
xy
的值；
（
2
）求（
x
﹣
y
）
2
﹣
3
的值．
21
．
23.14
2
﹣
23
.14
×
6.28+3.14
2
．
22
．
（
a
﹣
3
b
）
（
3
< br>b
﹣
a
）
．
23
．
（
3
a
﹣
b<
/p>
）
2
．
24
．计算（
2
a<
/p>
﹣
1
）
2
+2
（
2
a
﹣
1
）
+3
．
25
．
（
1
）计算：
（
a
+1
）
2
+
a
（
2
< br>﹣
a
）
．
（
2
）解不等式：
3
x
﹣
5
＜
2
（
2+3
x
）
．
26
．已知
a
﹣
b
＝
1
，
a
2
+
b
2
＝
13
，求下列代数式的值：
（
1
）
< br>ab
；
（
2
）
a
2
﹣
b
2
﹣
8<
/p>
．
第
2
页（共
21
页）
27
．已
知（
a
+
b
）
2
＝
13
，<
/p>
（
a
﹣
b
）
2
＝
7
，求下列各式的值：
（
1
）
a
2
+<
/p>
b
2
；
（
2
）
ab
．
28
．若（
4
x
﹣
y
）
2
＝
9
，
（
4
x
+
y
）
2
＝
81
，求
xy
的值．
29
．已知（
x
+
y
）
< br>2
＝
16
，
（
x
﹣
y
）
2
＝
4
，求
x
2
+
y
2
和
3
xy
的值．
30
．我国
古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个
三角形
的构造法则：
两腰上的数都是
1
，
其余每个数均为其上方左右两数之和，
它给出了
（
a
+
b
）
n
（
n
为正
整数）
的展开式
（按
a
的次数由大到小的顺序排列）
的系数规律．
例如，
在三角形中第三行的三个数
1
，
2
，
1
，恰好对应（
a
+
b
）
2
＝
a
2
+2
ab
+
b
2
展开式中的系数；
第四行的四个数
1
，
3
，
3
，
1
，恰好对应着（
a
+
b
）
3
＝
a
3
+3
a
2
b
+3
ab
2
+
b
3
展开式中的系数等
等．
（
1
）根据上面的规律，写出（
a
+
b
）
5
的展开式．
（
2
）利用上面的规律计算
：
2
5
﹣
5<
/p>
×
2
4
+10<
/p>
×
2
3
﹣
10
×
2
2
+5
×
2
﹣
1
．
二．平方差公式（
共
14
小题）
31
．计算：
（
a
< br>+5
b
）
（
a
﹣
5
b
）﹣（
a
+2
b
）
2
．
3
2
．
（
a
+1
）
（
a
2
﹣
1
）
（
a
﹣
1
）
．
33
．利用乘法公式进行简算：
（
1
）
2019<
/p>
×
2021
﹣
2
020
2
；
（
2
）
97
2
+6
×
97+9
．
34
．
（
a
+2
b
）
（
a
﹣
2
b
）﹣（
a
﹣
2
b
）
2
﹣
4
ab
．
35
．计算：
（
x
+
y
+
z
）
（
x
+
y
﹣
z
）﹣（
x
+
y
+
z
）
2
．
36
．计算：
（
x
+3
）
（
x
﹣
3
）
﹣（
2
﹣
x
）
2
．
37
．计算
（
1
）
（
2<
/p>
a
+
b
）
2
第
3
页（共
21
页）
（
2
）
（
5
x
+
y
）
（
5
x
﹣
y
< br>）
38
．运用适当的公式计算：
（
1
）
（﹣
1+3
x
）
（﹣
3
x
﹣
1
）
；
（
2
）
（
x
+1
）
2
﹣（
1
﹣
3
x
）
（
1+3
x
）
．
39
．
利用整式乘法公式计算下列各题：
（
1
）
201
×
199
（
2
）
101
2
40
．计算：
（
2
x
+3
y
）
（
2
x
﹣
3
y
）
．
41
．计算：
3
（
2
x
﹣
1
）
2
﹣（﹣
3
x
﹣
4
）
（
3
x
﹣
4
）
．
< br>42
．化简：
b
（
a
+
b
）
< br>+
（
a
+
b
）
（
a
﹣
b
）
．
43
．
（﹣
2
x
+3
y
﹣
1
）
（﹣
2
x
﹣
3
y
+1
）
．
44
．
（
1
< br>﹣
a
）
（
a
+1
）
（
a
2
+1
）
（
a
4
+1
）<
/p>
．
第
4
页（共
21
页）
秋季第十讲——乘法公式计算练习
参考答案与试题解析
一．完全平方公
式（共
30
小题）
1
．计算：
（
1
）
（﹣
2
x
）
3
﹣
4
x
（
x
﹣
2
x
2
）
；
（
< br>2
）
（
a
﹣
b
）
2
+
b
（
a
﹣
b
）
．
【分析】
（
1
）根据幂
的乘方与积的乘方运算法则以及单项式乘多项式的运算法则计算即
可；
< br>
（
2
）根据完全平方公式以及
单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】
解：
（
1
）
（﹣
2
x
）
< br>3
﹣
4
x
（
x
﹣
2
x
2
）
＝﹣<
/p>
8
x
3
﹣
4
x
2
+8
x
3
＝﹣
4
x
2
；
（
2
）
（
a
﹣
b
）
2
+
b<
/p>
（
a
﹣
b
）
＝
a
2
﹣
2
ab
+
b
2
+
< br>ab
﹣
b
2
＝
a
2
﹣
ab
．
【
点评】
本题主要考查了整式的混合运算，熟记完全平方公式以及单项式乘多项式的运
算法则是解答本题的关键．
2
．计算：
（
2
x
+1
）
2
﹣（
x
+2
）
2
．
【分析】
根据完全平
方公式展开后，再合并同类项即可．
【解答】
解：
（
2
x
< br>+1
）
2
﹣（
< br>x
+2
）
2
＝
4
x
2
+4
x
+1
﹣
x
2
﹣
4<
/p>
x
﹣
4
＝
3
x
2
﹣
3
．
【点评】
本题主要考查了整式的混合运算，
熟记完全平
方公式是解答本题的关键．
（
a
±
b
）
2
＝
a
2
±
2
ab
+
b
2
．
3
．计算：
（
2
a
﹣
< br>3
b
）
2
﹣（
3
a
﹣
2
b
）
2
．<
/p>
【分析】
利用完全平方公式将其展开，
然后合并同类项．
【解答】
解：原式
＝
4
a
2
﹣<
/p>
12
ab
+9
b
2
﹣
9
a
2
+12
ab
﹣<
/p>
4
b
2
＝﹣
5
a
2
+5
b
2
．
第
5
页（共
21
页）
【点评】
本题主要考查了完全平方公式：
（
a
±
b
）
2
＝
a
2
±
2
ab
+
< br>b
2
．可巧记为：
“首平方，<
/p>
末平方，首末两倍中间放”
．
4
．计算：
（
2
a
+
b
）
2
[
（
a
﹣
b
）
2
+2
a
（
a
﹣
b
）
+
a
2
]
．
【分析】
根据平方差公式以及单项式乘以多项式的运算把括号展开，
再合并同类项，最
后运用平方差公式计算即可．
【解答】
解：
（
2
a
+
b
）
2
[
（
a
< br>﹣
b
）
2
+2
a
（
a
﹣
b
）
+
a<
/p>
2
]
＝（
2
a
+
b
）
2
（
a
2
﹣
2
ab
+
b
2
+2
< br>a
2
﹣
2
ab
+
a
2
）
＝（
2
a
+
b
）
2
（
4
a
2
﹣
4
ab
+
b
2
）
＝（
2
a
+
< br>b
）
2
（
2
a
﹣
b
）
2
＝（
4<
/p>
a
2
﹣
b
2
）
2
．
【点评】
此题主要考查了整式的乘法，熟练掌握
忒覅覅买基金解答此题的关键．
5
．
已知（
m
﹣
53
）
（
m
﹣
4
7
）＝
12
，求（
m
﹣
53
）
2
+
（
m
﹣
47
）
2
的值
．
【分析】
先根据完全平方公式得出
（
m
﹣
53<
/p>
）
2
+
（
m
﹣
47
）
2
＝
[
（
m
﹣
53
）﹣
（
m
﹣
47
）
]
2
+2
< br>（
m
﹣
53
）
（
m
﹣
47
）
，再求出即可．
【解答】
解：
（
m
﹣
53
）
2
+
（
m
﹣
47
）
2
< br>＝
[
（
m
﹣
53
）﹣（
m
﹣
47
）
]
2
+2
（
m
﹣
53
）
（
m
﹣
47
）
<
/p>
＝（﹣
6
）
2<
/p>
+2
×
12
＝
60
．
<
/p>
【点评】
本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是
解此题的关键，注意：
（
a
+
b
）
2
＝
a
2
+2
ab
+
b
2
< br>6
．已知：
x
+
y
＝
5
，
xy
＝
3
．
求：
①
x
2
+5
xy
+
y
2
；
②<
/p>
x
4
+
y
4
．
【分析】
①
先根据完全平方公式得出
x
2
+5
xy
+
y
2
＝（
x
+
y
）
2
+3
xy
，再代入求出即可；
<
/p>
②
先根据完全平方公式求出
x
2
+
y
2
＝（
x
+
y
< br>）
2
﹣
2
xy
＝
19
，再根据完全平方公式得
出
x
4
+
y<
/p>
4
＝（
x
2
+
y
2
）
2
﹣
2
x
2
y
2
，代入求出即可．<
/p>
【解答】
解：
①
∵
x
+
y<
/p>
＝
5
，
xy
＝
3
，
∴
x
2
+5
xy
+
y
2
＝（
x
+
y
）
2
+3
xy
＝
5
2
+3
< br>×
3
＝
34
；
②
∵
x
+
y
＝<
/p>
5
，
xy
＝
3
，
第
6
页（共
21
页）
∴
x
2
+
y
2
＝（
x
+
y
）
2
﹣
2
xy
＝
5
2
﹣
2
×
3
＝
19
，
<
/p>
∴
x
4
+
y
4
＝（
x
2
+
y
2
）
2
﹣
2
< br>x
2
y
2
＝
19
2
﹣
2
×
3
2
＝<
/p>
343
．
【点
评】
本题考查了完全平方公式，
能正确根据完全平方公式进行变
形是解此题的关键，
注意：
（
a
+
b
）
2
＝
a
2
+2
ab
+
b
2
．
7
．某学生化简
a
（
a
+1
）﹣（
a
﹣
2
）
2
出现了错误，解答过程如下：
解：原式＝
a
2
+
a
﹣（
a
2
﹣
4
a
< br>+4
）
（第一步）
＝
a
2
+
a
﹣
a
2
﹣
4
a
+4
（第二步）
＝﹣
3
a
+4
（第三步）
（
1
）该学生解答过程是从第
< br>
二
步开始出错，其错误原因是
去括号时没有变号
；
（
2
）请你帮助他写出正确的简化过程．
【分
析】
（
1
）解答过程从第
2
步开始算错，根据去括号法则，括号前面是“﹣”号的，
< br>去括号和它前面“﹣”号，括号里面的每项都变号．
第
二步在去括号时，﹣
4
a
+4
应变为
4
a
﹣
4
．故错误原因为去括号时没有变号．
（
2
）正确化简过程为：
a
2
+
a
﹣（
a
2
﹣
4
a
+4
）＝
a
2
+
a
﹣
a
2
+4
a
﹣
4
＝
5
a
﹣
4
．
【解答】
解：
（
1
）第二步在去括号时，﹣
4
a
+4
应变为
4
< br>a
﹣
4
．故错误原因为去括号时
没
有变号．
（
2
）原式＝
a
2
+
a
﹣（
a
2
﹣
4
a
+
4
）＝
a
2
+
a
﹣
a
2
+4
a
﹣
4
＝
5
a
﹣
4
．
【点评】
本题考查整式的加减，整式加减实际是去括号、合并同类项的过程．
<
/p>
8
．运算：
（
x
+2
）
2
【分析】
根据完全平方公式求出即可．
【解答】
解：
（
x
+2
）
2
＝
x
2
+4
x
+4
．
【点
评】
本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键．
9
．已知：
a
m
•
a
n
＝
a
5
，
< br>（
a
m
）
n
＝
a
2
（
a
≠
0
）
．
（
1
）填空：
m
+
n
＝
5
，
mn
＝
2
；
（
2
）求
m
2
+
n
2
的值；
（
3
）求（
m
﹣
n
）
2
的值．
【分析】
（
1
）利用同底
数幂的乘方和幂的乘方得到
m
+
n
和
mn
的值；
<
/p>
（
2
）利用完全平方公式得到
m
2
+
n
2
＝（
m
+
< br>n
）
2
﹣
2
mn
，然后利用整体代入的方法计算；
（
3
）利用完全平方公式得到（
m
﹣
n
）
2
＝
m
2
+
n
2
﹣
2
mn
，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：
（
1
）∵
a
m
•
a
n
＝
a
5
，
（
< br>a
m
）
n
＝
a
2
，
第
7
页（共
2
1
页）
∴
a
m
+
n
＝
a
5
，
a
mn
＝
2
，
∴
m
+
n
＝
5
，
mn
＝
2
，
故答案为
5
，
2
；
（
2
）
m
2
+
n
2
＝（
m
+
n
）
2
﹣
2
mn
＝
5
< br>2
﹣
2
×
2
＝
21
；
<
/p>
（
3
）
（
m
﹣
n
）
2
＝
m
2
+
n
2
﹣
2
mn
＝
21
﹣
2
×
2
＝
17
．
<
/p>
【点评】
本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决
此类问题的关键．也
考查了积的乘方与幂的乘方．
10
．利用整式乘法公式计算：
（
1
）
201
2
；
（
2
）
1999
2
﹣
1998
×
200
0
．
【分析】
（
1
）把
201
化为
200+1
，然后利用完全平方公式计算；
（
2
）把
1998
化为
1999
﹣<
/p>
1
，
2000
化
为
1999+1
，然后利用平方差公式计算．
< br>
【解答】
解：
（
1
）原式＝（
200+1
）
2
＝
200
2
+2
×
20
0
×
1+1
2
＝
40401
；
（
2
）
原式＝
1999
2
﹣（
1999
﹣
1
）
（
1999+1
）
＝
1999
2
﹣
1999
2
+1
＝
1
．
【点评】
本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此
类问题的关键．完
全平方公式为：
（
a
±
b
）
2
＝
a
2
±
2
ab
+
b
2
．也考查了平方差公式．
11
．已知
x
﹣
< br>y
＝
1
，
x
2
+
y
2
＝
9
，求
xy
的值．
【分析】
把
x
﹣
y
＝
1
两边平方，然后代入数据计算即可求出
xy
的值．
【解答】
解：因为
x
﹣
y
＝
1
，
所以（
x
﹣
y
）
2
＝
1
< br>，
即
x
2
+
y
2
﹣
2
xy
＝
1<
/p>
；
因为
x
2
+
y
2
＝
9
，
第
8
页（共
21
页）
所以
2
xy
＝
9
﹣
1
，
< br>
解得
xy
＝
< br>4
，
即
xy
的值是
4
．
【点评】
本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完
全平方公式，两数的平方和，
再加上或减去它们积的
2
倍，就构成了一个完全平方式．
12
．计算：
（
1
）
999
2
．
（
2
）计算（
）
2
﹣（
）
2
．
【分析】
（
1
）把
999
化为
1000
﹣
1
，然后利用完全平方公式计算；
（
2
）利用完全平方公式展
开，然后去括号后合并即可．
2
【解
答】
解：
（
1
）
999
2
＝
（
1000
﹣
1
）
＝
1000
2
﹣
2
×
1000+1
＝
1000000
﹣
200
0+1
＝
9980001
；
（
2
）原式＝
＝
x
2
+5
x
+1
﹣
x
2
+5
x
+1
﹣（
x
2
+5
x
﹣
1
< br>x
2
﹣
5
x
+1
）
＝
10
x
．
【点评】
本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式．完
全平方公式为（
a
±
b
）
2
＝
a
2
±
2
ab
+
b
2
．
13
．若
x
，
y
满足
x
2<
/p>
+
y
2
＝
8
，
xy
＝
2
，求下列各式的值．
（
1
）
（
x
+
y
）
2
；
（
2
）
x
4
+
y
4
；
< br>（
3
）
x
﹣
y
．
【
分析】
（
1
）先根据完全平方公式进行
变形，再代入求出即可；
（
2
）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（
3
）先求出（
x
﹣
y
）
2
的值，再根据完全平方公式求出即可．
【解答】
解：
（
1
）∵
x
2
+
y
2
＝
8
，
xy
＝
2
，
∴（
x
+
< br>y
）
2
＝
x
2
+
y
2
+2
xy
＝
8+2
×
2
＝
12
；
<
/p>
（
2
）∵
x
2
+
y
2
＝
8
，
xy
＝
2
，
第
9
页（共
21
页）
∴
x
4
+
y
4
＝（
x
2
+
y
2
）
2
﹣
2
x
2
y
2
＝
8
2
﹣
2
×
2
< br>2
＝
64
﹣
8
＝
56
；
<
/p>
（
3
）∵
x
2
+
y
2
＝
8
，
xy
＝
2
，
∴（
x
﹣
y
< br>）
2
＝
x
2
+
y
2
﹣
2
xy
＝
8<
/p>
﹣
2
×
2
＝
4
，
∴
x
﹣
y
＝±
2
．
< br>【点评】
本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的内容是解此题的关键，
注意：
（
a
+
b
）
2
＝
a<
/p>
2
+2
ab
+<
/p>
b
2
，
（
a
﹣
b
）
2
＝
a
2
﹣
2
ab
+
< br>b
2
．
14
．
（
1
）已知
a
m
＝
2
，
a
n
＝<
/p>
3
，求
a
3
m
+2
n
的值；<
/p>
（
2
）已知<
/p>
a
﹣
b
＝
4
，
ab
＝
3
求
a
2
﹣
5
ab
+
b
2
的值．
【分析】
（
1
）由
a
3
m
+2
n
＝
a
3
< br>m
•
a
2
n
＝（
a
m
）
3
•
（
a<
/p>
n
）
2
，即可求
得答案；
（
2
）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【解答
】
解：
（
1
）
∵
a
m
＝
2<
/p>
，
a
n
＝
3
，
∴
a
3
m
+2
n
＝
a
3
< br>m
•
a
2
n
＝（
a
m
）
3
•
（
a<
/p>
n
）
2
＝
2
3
×
3
2
＝
72
；
（
2
）∵
a
﹣
b
＝
4
，
ab
＝
3
，
∴
a
2
﹣
5
ab<
/p>
+
b
2
＝（
a
﹣
b
）
2
﹣
3
ab
＝
4
2
﹣
3
×
3
＝
16
﹣
9
＝
7
．
【点评】
此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方，完全平方公式．此题难度适中，注意
掌握整
式的运算法则和乘法公式是解题的关键．
15
．已知
a
+
b
＝
2
，
ab
< br>＝﹣
24
，
< br>（
1
）求
a
2
+
b
2
的值；
（
2
）求（
a
+1
）
（
b
+1
）的值；
< br>
（
3
）求（
< br>a
﹣
b
）
2
的值．
【分析】
根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】
解：
（
1
）因为
a
+
b
＝
2
，
ab
＝﹣
24
，
所以
a
2
+
b
2
＝（
a
+
b
）
2
﹣
2
ab
＝
4+2
< br>×
24
＝
52
< br>；
（
2
）因为
a
+
b
＝
2
，
ab
＝﹣
24
，
所以（
a
+1
）
（
b
+1
）＝
ab
+
a
+
b
+1
＝﹣
24+2+1
＝﹣
21
；
（
3
）因为
a
+
b
＝
2
< br>，
ab
＝﹣
24
，
第
10
< br>页（共
21
页）