初中数学组合 ()
-
组
教学目标
：
1
、理解组合的概念，正确区分排列、组合问题；
合
2
、掌握组合数的计算公式；
<
/p>
3
、通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生
分析问题和
解决问题的能力；
教学内
容
：
组合的概念及组合数的计算方法
教学重点
：
组合的概念、组合数
教学难点
：
解组合
的应用题
教学方法
：
排列与组合结合法
教学过程设计
一、知识回顾
1
、排列的概念
一般地，从
n
个不同的元素中取出
m
(
m
<
/p>
n
)
个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫
做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列。
2
、排列数概念
一般地，
从
n
个不同的元素中每次
取出
m
(
m
n
)
个元素
的所有排列的个数，
称为从
n
个不同元
素中取出
m
个不同元素的排列数，记作
A
n
。
m<
/p>
m
n
(
n
1)(
n
2)
3
、
排列数计算公式：
A
n
n
A
n
n
!
(
n
m
1)(
m
n
)
< br>m
A
n
n
!
n
m
!
二、学习新课
课题引入
< br>：
通过上节课研究排列的问题出发，
对比引出另一种与排
列不同的计数方法，
即组
合。
【
问题
1
】从甲、乙
、丙
3
名同学中选出
1
名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？
(
若把
问题改为从甲、乙、丙
3
名同学中选出
2
名担任班委，共有多少种不同的方法？该问
题与原问题有何区
别？
)
解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为<
/p>
A
3
，对应的排列为：
< br>
甲
乙
乙
甲
甲
丙
丙
甲
2
丙
乙
乙
丙
变化后的问题对应的可能情况为：
甲
乙
甲
丙
丙
乙
分析：
与
排列不同的是，
这个问题是从
3
个不同
的元素中取出
2
个，
而取出的这两个元
素是
一个组合，
没有顺序。
这就是本节
课研究的另外一个计数问题，
组合问题
（引出组合的概念）
组合
一般地，
从
n
个不同的元素中取出
m
(
m
n
)
个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素
中取出
m
个元素的一个组合。
分析：对比排列和组合的定义，
同样是从
n
个不同的元素中取出
m
(
m
n
)
个元素，而排
列是
把取出的
m
个元素按照一定的顺序排成一列，也就是说排列与元
素的顺序有关，而组
合单单是把取出的
m
个元素并成一组，与元素的顺序无关。
组合数
同样地类似于排列，我们研究
从
n
个不同的元素中取出
m
(
m
n
)
个元素的组合共有
多少个
，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为
C
n
。
【
问题
2
】从
3
个不同的元素<
/p>
a
,
b
,
c
中每次取出
2
个，
共有多少种不同的排列？（若改为从
3
个不同的元素
a
,
b
,
c
中每次取出
2
个，共有多少
种不同的组合？）
解：原问题为从三个不同的元素中每次取出
两个元素的排列问题，排列数为
A
3
，
对应的排
列为：
2
m
ab
ba
ac
ca
bc
cb
变化后的问题为从三个不同的元素
中取出两个元素的组合问题，组合数为
C
3
，对应的
组合为：
2
ab
ac
bc
<
/p>
总结：通过问题
1
与问题
2
可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若
果与顺序无关，则是组合问题。
通过例题讲解区分排列与组合问题。
【
例
1
】判断下面
问题是排列问题，还是组合问题？
(1)
从
6
个风景点中选出
2
个安排游览，有多少
种不同的方法？
(2)
从
6
个风景点中选出
2<
/p>
个，并确定这
2
个风景点的游览顺序，有
多少种不同的方法？
解：
(1)
选出的
2
个风景点，
不必明确游览顺序，
这是一个组合问题，
对应的组合数为
C
6
（先
2
标记在后面，一会再求解）
。
(2)
选出的
2
个风景点，
< br>必须明确游览顺序，
这是一个排列问题，
对应的排列数为
A
6
（学
生求
解排列数
A
6
，复习巩固上节课排列数
的计算公式）
。
课堂练习
：书
55
页课后练习题
3
(1)8
名同学聚会，每两人握手一次，共握手多少次？
解：与顺序无关，因此是组合问题，组合
数为
C
8
（先标记在后面，一会再求解
）
。
(2)6
名同学约定元旦互送贺卡一张，共寄多少张
?
解：
甲→乙贺卡与乙→甲贺卡代表的意义不一样，
因此有顺序性，
是排列问题，
排列数为
A
6
2
2
2
2<
/p>
（学生计算，使学生熟练掌握排列数的计算公式）
(3)
某铁路沿线有
5
个站
，需要准备多少种车票？有多少种不同的票价？
解：第一个问
题车票种数：南通→南京与南京→南通为两种不同的车票，有顺序性，是排列
问题，排列
数为
A
5
（学生求解）
；
第二个问题票价问题：
南
通→南京与南京→南通车票的票价是一样的，
没有顺序性，
是<
/p>
组合问题，组合数为
C
5
（标记在后面，一会再求解）
。
(4)
平面内有
10
个点，以其中
2
个点为端点的线段
(
有向线段
)
共有多少条？
<
/p>
解：
线段
AB
与
线段
BA
为两条相同的线段，
因此没有
顺序性，
是组合问题，
组合数为
C
10
（标
记在后面，一会再求解）
；
有向线段（有方向的线段，即：有向线段<
/p>
AB
与有向线段
BA
是两条不同的线段）
，因此
有顺序性，是排列问题，排列数
为
A
10
（学生计算）
。
组合数计算公式
思考：排列数有相应的计算公式，那上面标记的组合数该如何计算呢？
回到问题
2
，从三个不同的元素
a
,
b
,
c
中每次取出
2
个的排列
与组合的关系如图：
2
2
2
2
A
3
2
：
ab
ba
A
2
2
ab
C
3
2
ac
ca
ac
bc
cb
bc
从图
中关系可以看出组合共有
C
3
个；
将每一个组合中的元素进行全排列，均有
A
2
=2
个排列；
因此，从
3
个不同的元素中取出
2
个元素的排列数
A
< br>3
，可以分成以下两个步骤来完成：
< br>第一步：从
3
个不同的元素中取出
2
个元素的组合数为
C
3
；
第二步：对每一个组合中的
< br>2
个不同的元素进行全排列，其排列数为
A
2
。
2
< br>2
2
2
2