平面直角坐标系中的基本公式
-
2.1.2
平面直角坐标系中的基本公式
课程学习目标
目标重点
：平面上两点间的距离公式和中点公式；
目标难点
：两点间距离公式的推导；
［学法关键］
1
．领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式；
2
．距离公式的实质是将二维空间的长度计算问题转化为一维空间的长度计
算问题。
研习点
1.
两点间的距离公式
1
．
两点
A
(<
/p>
x
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
间的距离公式表示为<
/p>
d
(
A
，
B
)=
(
x
2
x
1
)
2
(
< br>y
2
y
1
)
2
。
2
．
当
AB
平行于
x
轴时
，
d
(
A
，<
/p>
B
)=|
x
2<
/p>
－
x
1
|
；
当
AB
平行于
y
轴时，
d
(
A
，
B
)=|
y
2
－
y
1
|
；
当
B
为原点时，
d
(
A
，
B
)=
x
1
2
y
1
2
。
求两点距离的步骤
已知两点的坐标，
为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分
步骤计算：
（
1
）给两点的坐标赋值：
(
x
1
，
y
1
)
，
(
x
2
，
y
2
).
（
2
）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△
x
=
x
2
－
x
1
，
△
y
=
y
2
－
y
1
.
（
3
）计算
d
=
x
2
y
2
.
（
< br>4
）给出两点的距离
d
.
通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后
算出两点的距离
1 /
6
研习点
2.
坐标法
坐标法：就是通过建立坐标系
（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为
代数问题，再通过一步步地计算来
解决问题的方法
.
用坐标法证题的步骤
（
1
）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）
；
（
2
）设
出未知坐标；
（
3
< br>）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论
.
研习点
3.
中点坐标公式
x
1
x
2
x
<
/p>
2
已知
A
(
x
1
，
y
1
),
B
(
x
2
，
y
2
)
两点，
M
(
x
，
y
)
是线段
AB
的中点，则有
y
y
1
y
2
2
（
1
）两点间线段的中点坐标是
常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识
点，这一思想常借助于图象的线段中
点特征加以研究，确定解题策略。
（
2
）若已知点
P
(
x
，
y
)
，则点
P
关于点
M
(
x
0
，
y
0
)
对称的点坐标为
P
’(2
x
0
－
x
，
2
y
0
－
y
).
（
3
）利用中点坐标可以求得<
/p>
△
ABC
（
A<
/p>
(
x
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)
，
C
(
x
3
，
y
3
)<
/p>
）的重心坐标为
x
1
x
2
x
3
x<
/p>
3
y
y
1
y
2
y
3
3
题型
1.
公式的基本应用
例
< br>1.
求下列两点的距离及线段中点的坐标，
（
1
）
A
(
－
1
，－
< br>2)
，
B
(
－
3
，－
4)
；（
2
）
C
(
－
2
，
1
)
，
D
(5
，
2).
解：（
1
）设
AB
的中点为
M
(
x
，
y
< br>)
，得线段
AB
的中点坐标为<
/p>
M
(
－
2
，－
3)
，
AB
两点的距离
d
(
A
，
B
)=<
/p>
(
2)
2
(
2)
2
2
2
。
3
3
（
2
）设
CD
的中点为
N
(
x
，
y
)
，得线段
CD
的中点坐标为
N
(<
/p>
，
)
，
2
2
AB
两点的距离
d
(
C
，
D
)=
7
2
1
2
5
2
。
2 / 6
例
2
．
已知点
A
(
－
1
，
3)
，
B
(3
，
1)
，点
C
在坐标轴上，∠
ACB
=90°
，则满足条件的点
C
的个数是（
）
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
4 <
/p>
解：若点
C
在
x
轴上，设
C
(
x
，
0)
，由∠
ACB
=90°
，得
|
AB
|
2
=|
AC
|
2
+|
BC
|
2
，
∴
(
－
< br>1
－
3)
2
+(3
－
1)
2
< br>=(
x
+1)
2
+3
2
+(
x
－
3)
3
+1
2
，解得
x
=0
或
x
=2,
若点
C
在
y
轴上，设
C
(0
，
y
)
，由由∠
ACB
=9
0°
，得
|
AB
|
2
=|
AC
|
2
+|
BC
|
2
，可得
y
=0
或
y
=4
，而其中原点
O
(0
，
0)
计算了两次，故选
C
.
题型
2.
公式的逆用
例
3.
已知点
A
(3
，
6)
，在
x
轴上的点
P
< br>与点
A
的距离等于
10
，求点
P
的坐标
. <
/p>
解：设点
P
的坐标为
P
(
x
，
0)
，由
d
(
P
，
A
)=10
，得
(
x
3)
2
6
2
10
，解得
x
=11
或
x
=
－
5
，∴点
P
的坐标为
(11
，
< br>0)
或
(
－
5
，
0).
< br>例
4
．
△
ABD
和
△
BCE
< br>是在直线
AC
同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：<
/p>
|
AE
|=|
C
E
|.
证明：如图，以
B
点为坐标原点，取
AC
所在的直线为
x
轴建立直角坐标系
.
设
△
ABD
和
△
BCE
的边长分别为
a
和
c
，
a
3
a
则
A
(
－
a
，
0)
，
D
(
,
)
，
2
2
c
3
c
)
，
C
(
c
，
0)
，于是
E
(
,
2
2
c
2
3
c
2
|
AE
|=
a
ac
<
/p>
a
2
ac
c
2
，
4
4
2
a
3
< br>|
CD
|=
(
< br>
c
)
2
(
a
0)
2
a<
/p>
2
ac
c
2
2
2
所以
|
AE
|=|
CD
|.
< br>例
5
．已知
△
< br>ABC
的顶点为
A
(
－
1
，
3)
，
B
(3
，－
2)
，
C
(2
，
4)
，求
BC
边上的中线
AM
的
长
.
3 / 6