完全平方公式解
-
完全平方公式讲解
第一部分
概念导入
1
．问题：根据乘方的定义，我们知道：
a
2
=a
·
a
，那么（
a+b
）
2
应该写成什么样的形式呢？（
a+b
）
的运
2
算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什
么规律？
（
1
）
（
p+1
）
2
=
（
p+1
）
（
p+1
）
=_______
；
（
m+2
）
2
=_______
；
（
2
）
（
p-1
）
2
=
（
p-1
）
（
p-1
）
=________
；
（
m-2
）
2
=_______
；
2
．学生计算
3
．得到结果：
（
1
）
（
p+1
）
2
=
（
p+1
）
（
p+1
）
=p
2
+2p+1
（
m+2
）
2
=
（
m+2
）
（
m+2
）
=
m
2
+4m+4
（
2
）
（
p-1
）
2
=
（
p-1
）
（
p-1
）
=
p
2
-2p+1
（
m-2
）
2
=
（
m-2
）
（
m-2=m
2
-4m+4
4
．分析推广：结果中有两个数的平方和，而
2p=2
·
p
·
1
，
4m=2
·
m<
/p>
·
2
，恰好是两个数乘积的二倍。
（
1
）
（
2
）
之间只差一个符号。
推广：计算（
a+b<
/p>
）
2
=_____
___
（
a-b
）
2
=_____
___
【
2
】
得到公式，分析公式
（
1
）
．结论：
(a+b)
=a
2
+2ab+b
2
(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
即：
2
两数
和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的
2
倍．
（
2
）公式特征
左边：二项式的平方
<
/p>
右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积
2
倍的和．
注意：公式右边
2
ab
的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则
2
ab
取“＋”
，
若这两
项异号，则
2
ab
的符号为“－”
．
（
3
）公式中字母可代表的含义
公式中的
a
和
b
可代表一个字母，一个数字及单项式．
（
4
）几何解释
图
1
－
5 <
/p>
图
1
－
5
中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（
a
＋
b
）
2
②
a
2
＋
2
ab
＋
b
2
，由于这两个代数式表
< br>示同一块面积，所以应相等，即（
a
＋
< br>b
）
2
＝
a
2
＋
2
a
b
＋
b
2
因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．
【学习方法指导】
［例
1
］计算
（
1
）
（
3
a
＋
2
b
）
2
（
2
）
（
mn
－
n
2
）
2
点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中
a
，
b
在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它
们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中
< br>2
ab
的符号．
解：
（
1
）
（
3
a
＋
2
b
）
2
＝（
3
a
）
2
＋
2
·
（
3
a
）
·
（
2
b
）＋（
2
b
）
2
＝
9
a
2
< br>＋
12
ab
＋
< br>4
b
2
1 / 9
注意：
（
2
）
中
n
2
的指数
2
与公式中
b
2
的二次方所代表含义
不同，
所以在展开过程中不要漏掉
“二次方”
< br>．
［例
2
］计算
（
1
）
（－<
/p>
m
－
n
）
2
（
2
）
（－
5
a
－
2
）
< br>（
5
a
＋
2
）
点拨：
（
1
）可直接用完全平方公式．由于－
m
与－
n
是同号，所以公式中的
2
ab
取“＋”
．
（
2
）中两个
二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平
方公式进行计算．
解：
（
1
）
（－
m
－
n
）
2<
/p>
＝（－
m
）<
/p>
2
＋
2
·
（－
m
）
（－
n
）＋（－
n
）
2
＝
m
2
＋
2
mn
＋
n
2
（
2
）
（－
< br>5
a
－
2
）
（
5
a
＋
2
）
＝－（
5
a
＋
2
）
（
5
a
＋
2
）
＝－（
5
a
＋
2
）
2
< br>＝－（
25
a
2
＋
20
a
＋
< br>4
）
＝－
25
a
2
－
20
a
－
4
小结：由（
2
）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一
项都相反的话，可先作适当调整，再利用
完全平方公式进行计算．
［例
3
］计算
（
1
）
（
x
－
2
y
）
2
－（
x
－
y
）
（
x
＋
y
）
（
2
）
（
m
－
n
）<
/p>
（
m
2
－
n
2
）
（
m
＋
n
）
点拨：
（
1
）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．
（
2
）可先利用平方差公式
将
m
－
n
与
m
＋
n
相乘，再将所得结果
m
2
－
n
< br>2
与中间括号里的
m
2
－
n
2
相乘，可利用完
全平方公式．
解：
（
1
）
（
x
－
2
y
）
2
－（
x
－
y
）
（
x
＋
y
）
＝（
x
2
－
4
xy
＋
4
y
2
）－（
x
2
－
y
2
）
< br>
＝
x
2
－
4
xy
＋
4
y
2
－
x<
/p>
2
＋
y
2
＝－
4
xy
＋
5
y
2
（
2
）
（
m
－
n
）
（
m
2
－
n
2
）
（<
/p>
m
＋
n
）
＝（
m
－
n
）
（
m
＋
n
）
（
< br>m
2
－
n
2
）
＝（
m
2
－
n
2<
/p>
）
（
m
2
－
n
2
）
＝（
m
2
）
2
－
2
< br>·
m
2
·
n
2
＋（
n
2
）
2
＝<
/p>
m
4
－
2
m
2
n
2
＋
n
4
说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也
可．
［例
4
］计算：
（
x
＋<
/p>
y
2
）
2
－（
x
－
y
2
）
2
2 / 9
点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，
第二种方法是可利用平方差公式逆运算：
a
2
< br>－
b
2
＝
（
a
＋
b
）
（
a
－
b
）
，将此题转化为平方差公式进行计算．
解法一：
（
x
＋
y
2
）
2<
/p>
－（
x
－
y
2
）
2
＝（
x
2
＋
xy
＋
y
2
4
）－（
x
2
－
xy
＋
y
2
4
）
＝
x
＋
xy
＋
＝
2
xy
解法二：
2
y
2
4
－
x<
/p>
＋
xy
－
2
y
2
4
［例
5
］计
算：
（
a
－
2
b
＋
1
）
（
a
＋
2
b
－
1
）
点拨：此题“三项式乘三项式”
，且这两个括号中
的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的
项放在一起，
再把互为相反数的项放在一起，
构成
（
a
＋
b
）
（
a
－
b
）
的形式，
利用平方差公式进行简化运算．
关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数
式在形式发生变化的同时，大小不变！
随堂练习
一、选择题
1
．下列运算中，正确的是（
）
A
．
3a+2b=5ab
B
．
（
a
－
1
）
2
=a
2
－
2a+1
C
．
a
6
÷
a
3
=a
2
D
．
（
a
4
）
5
=a
9
2
．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（
）
A
．
（
x+y
）
2
=x
2
+y
2
B
．
（
x
－
y
）
2
=x
2
－
y
2
3 / 9
C
．
（－
x+y
）<
/p>
2
=x
2
－
2xy+y
2
D
．
（－
x
－
y
）
2
=x
2
－
2xy+y
2
3
．下列各式计算结果为
2xy
－
x
2
－
y
2
的是（
）
A
．
（
x
－
y
）
2
B
．
（－
x
－
y
）
2
C
．－（
x+y
）
2
D
．－（
x
－
y
）
2
4
．若等式（
x
－
4
）
2
=x
2
－
8x+m
2
成立，则
m
的值是（
）
A
．
16
B
．
4
C
．－
4
D
．
4
或－
4
二、填空题
5
．
（－
x
－
2y
）
2
=_____
．
6
．若（
3x+4y
）
2
=
（
3x
－
4y
）
2
+B
，则
B=_____
．
7<
/p>
．若
a
－
b=3
，
ab=2
，则
a
2
+b
2
=______
．
8
．
（
_____
－
三、解答题
9
．利用完
全平方公式计算：
（
1
）
2008
2
；
（
2
）
78
2
．
10
．先化简，再求值：
（
2x
－
1
）
（
x+2
）－（
x
－
2
）
2
－（
x+2
）
2
，其中
x=
－
11.
利用公式计算：
196
2
1
2
9
y
）
=
4
3
x
2
－
xy+______
；
（
_
____
）
2
=
9
2
a
－
6
ab+_____
．
16
1
．
<
/p>
3
12.
某正方形边长
< br>a
cm
，若把这个正方形的边长减小
3
cm
，则面积减少了多少？
13.
已知
x+y=1
，求
1
2
1
x
+xy+
y
2
的值．
2
2
14.
已知
a+
< br>1
a
=5
，分别求
a
2
+
1
< br>a
2
，
（
a
－
1
a
）
2
的值
15.
为了扩大绿化面积，若将一个
正方形花坛的边长增加
3
米，
•
则它的面积就增加
39
平方米，求这个正方<
/p>
形花坛的边长．
4 / 9