提公因式法知识讲解
-
提公因式法（基础）
【学习目标】
1.
了解因式分解的意义
,
以及它与整式乘法的关系；
2
．
能确定
多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式
.
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成
几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多
项式分解因式
.
要点诠释：
（
1
）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的
整体，
而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式
.<
/p>
（
2
）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止
.
（
3
）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆
.
因式分解是一种恒
等变形，而整式乘法是一种运算
.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式
< br>.
要点诠释：
（
1
）公因式必须是每一项中都含有的因式
.
（
2
）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式
< br>.
（
3
）
公因式的确定分为数字系数和字母两部
分：
①公因式的系数是各项系数
的最大公约数
< br>.
②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的
.
要点三、提公因式法
把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，
其中一个
因式是各项的公因式
m
，另一个因式是
，即
，而
正好是
除以
< br>m
所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：
（
1
）
提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
.
（
2
）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式
.<
/p>
（
3
）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内
的
第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号
.
（
4
）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和<
/p>
为零，则提取公因式后，该项变为：
“＋
1
”或“－
1
”
，不要把该项漏
掉，或认为是
0
而出
现错误
.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1
、观察下列从左到右的变形：
⑴
6
a
b
2
a
b
2
3
3
< br>
2
3
ab
；
⑵
ma
mb
c
< br>m
a
b
c
2
2
2
⑶
6
x
12
xy
6
y
6
x
y
；
< br>
⑷
3
a
2
b
3
a
2
b
9
a
4
b
2
2
其中是因式分解
的有
（填序号）
【思路点拨】
根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式
的积的形式，
从对象和结果
两方面去判断．
【答案】
（
3
< br>）
.
【解析】
解：
(1)
的左边不是多项式而是一个单项式，
(2)
(4)
的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；
<
/p>
只有
(3)
的左边是多项式，右边是整式
的积的形式，所以只有
(3)
是因式分解．
【总结升华】
因式分解是将多项式变成积的形式，
所以等式的左边必须是多项式，
将单项式
拆成
几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】
（
2014?
海南）下列式子从左到右变形是因式分解
的是（
）
2
+4a
﹣
21=a
（
a+4
）﹣
21
2
+4a
﹣
21=
（
a
﹣
3
）
（
a+7
）
C.
（
a
﹣
3
）
（
a+7
）
=a
2<
/p>
+4a
﹣
21
2
+4a
﹣
2
1=
（
a+2
）
2
﹣
25
【答案】
B.
类型二、提公因式法分解因式
2
、
(1)
多项式
3
x
6
xy
3
的公因式
是
________
；
(2)
多项式
4
mn
16
m
8
m
的公因式是
___
_____
；
(3
)
多项式
x
(
b
c
a<
/p>
)
y
(
b
c
a
)
(
a
b
c
)
的公因式是
________
；
(4)
多项式
2(
x
3)
x
(3
x
)
的公因式是<
/p>
________
．
【答案】
(1)3
(2)4
m
(3)
b
c
a
(4)
x
3
【解析】
解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．
<
/p>
(1)
的公因式就是
3
< br>、
6
、
3
的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不
含字母．公因式为
3.
(2)
公因式的
系数是
4
、
16
、
8
的最大公约数，字母部分是
m<
/p>
．公因式为
4
m
.
(3)
公因式是（
b
c
a
）
，为一个多项式因式．
(4)
多项式可变形
2
x
3
x
x<
/p>
3
，其公因
式是
x
3
．
【总结升华】
确定公因式一定要从系
数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，
也
可以是一
个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．
举一反三：
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（
）
2
2
A
．
x
y
B
．
x
2
x
C
．
x
<
/p>
y
D
．
x
xy
y
2
<
/p>
2
2
3
2
【答案】
B
；